2025年九年级数学中考三轮冲刺训练矩形与折叠问题专题练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级数学中考三轮冲刺训练矩形与折叠问题专题练1．如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接．(1)求证：；(2)设，若，求的值．2．【问题情景】在矩形纸片中，是边上一动点，是边上一动点，将矩形纸片沿所在直线翻折，点的对应点为点，点的对应点为点．【猜想证明】（1）设是边的中点．①如图1，连接，试猜想与的位置关系，并加以证明；②如图2，连接，若点的对应点恰好落在对角线上，延长与边交于点，求证：是边的中点．【问题解决】（2）如图3，若，，，当的延长线正好经过点时，请直接写出的长．3．折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们准备了一张边长为的正方形纸片，以“正方形的折叠”为主题开展了数学探究活动．【操作判断】操作一：如图①，在正方形的边上任选一点，沿折叠，使点落在点处，把纸片展平，折痕与对角线交于点；操作二：将边折叠，使点落在射线上，折痕交于点，把纸片展平，折痕与正方形的对角线交于点．（1）根据以上操作，得的度数为___________．【迁移探究】（2）经过多次操作，同学们发现与的比值不变，试求出该比值．【拓展提升】（3）小明在操作中不慎将正方形纸片撕破，得到一个矩形，其中为，为，如图②，经过上述操作一、二，得到折痕的延长线与的延长线交于点，当点在线段（不与重合）上运动时，求点到直线的最大距离．4．如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．游戏1

折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示．（1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系．游戏2

在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示．（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．游戏3

在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接．（3）设，，的面积分别为，若，，求的长．5．如图1，已知O是坐标原点，点A的坐标是，B是y轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E，H分别在边和上，将沿着对折，使点B落在上的点F处，将沿着对折，使点A落在上的点G处．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)如图2，当点F，G重合时，求点B的坐标，判断四边形的形状，并说明理由．(3)当点F，G将对角线三等分时，求点B的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和．把矩形沿对角线所在的直线折叠，使点落在点处，与轴相交于点．(1)求证；(2)求点的坐标；(3)若点是线段上一点，当的面积为时，求点的坐标．7．在矩形中，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在点处，延长交射线于点，延长交于，如图1，图2．(1)直接写出与的数量关系为______；(2)如图1，求证：；(3)若，在点从点向点运动的过程中．①如图2，当时，求的长；②当时，直接写出的长．8．在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接．(1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；(2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接．①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明；②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由．9．综合与探究：在矩形中，，，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点的对应点为点．

(1)如图1，当点与点重合，点落在上时，求的长；(2)如图2，当点是的中点，且时，连接，求的长；(3)如图3，当，点恰好落在上时，延长交于点，直接写出的长．10．如图，在长方形中，E是边上一点，连接，沿直线翻折后，点A恰好落在长方形的对称轴上的点处，连接．

(1)求证：是等边三角形；(2)延长交于点F，若，求的长．11．在矩形中，点P为边上一点，将沿直线翻折，使点B落在矩形内的点E处，直线与边交于点F．(1)如图1，当点P为中点时，求证：；(2)如图2，若，，，求线段的长；(3)若直线与的延长线交于点Q，，，当时，求的值（用含n的代数式表示）．12．如图，以矩形的边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为．将矩形沿对角线折叠，点A落在点处，交边于点D．

(1)求点D的坐标；(2)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→D→B向点B运动，连接．设点P运动的时间是t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S（不要求写出t的取值范围）；(3)当点P在线段上时，过P作于点Q，交于点E，F是线段上一点，分别连接．当的面积为的面积的，且时，求点F的坐标；此时，在第一象限内是否存在点G，使以P、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．13．综合与实践问题情境：“综合实践课”上，老师画出了如图1所示的矩形，（其中），P（不与点A重合）是边上的动点，连接点P与边的中点E，将沿直线翻折得到，延长交于点F（点F不与点C重合），作的平分线，交矩形的边于点G．问与的位置关系？数学思考：（1）请你解答老师提出的问题，并说明理由．深入探究：（2）老师将图1中的图形通过几何画板改动为如图2，在点P运动过程中，连接，若E，O，G三点共线，点G与点D刚好重合，求n的值．（3）若，连接，当是以为直角边的直角三角形，且点G落在边上时，请直接写出的值．14．如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．

(1)求证：；(2)当时，求的长；(3)令，．①求证：；②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值．15．如图，矩形中，对边平行且相等，四个内角均为直角．，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接．

(1)当时，的长为______．(2)当点恰好在矩形的对角线上，求的长．(3)当点E为的中点时，的长为______．(4)当落在矩形的对称轴上时，的长为______．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级数学中考三轮冲刺训练矩形与折叠问题专题练》参考答案1．(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明，得出，，证明，根据，得出；（2）根据三角函数定义得出，设，则，根据勾股定理得出，根据，得出，即，得出，求出，得出．【详解】（1）证明：由题意得：，∴，，，∵点M是的中点，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：由题意得：，∵，∴，∵，∴，设，则，∴，∵四边形为矩形，∴，∵点M是的中点，∴．由（1）知：，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．2．（1）①，证明见解析②见解析（2）【分析】（1）①连接交于点S，由折叠可得：，进而得到是的中位线，即可求解；②连接，根据矩形的性质和折叠的性质可证，即可得到，从而得到答案；（2）延长，交于点，根据矩形和折叠的性质，得到，，，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用，得到，进而得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用，求出的长即可．【详解】（1）证明：①；连接交于点S，如图，由折叠可得：∴S是的中点，∵E是边的中点，∴是的中位线，∴；

②连接，∵四边形是矩形，∴由折叠得：，∴，∵E是边的中点，∴∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴Q是边的中点；（2）延长，交于点，∵矩形，∴，，，，∴，，∵，∴，∵折叠，∴，，，∴，∴，∵，∴，即：，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查矩形与折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解直角三角形，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．3．（1）；（2）；（3）【分析】（1）由折叠的性质得，，根据，即可求得；（2）连接，由正方形的性质推出，，得到点四点共圆，进而得到，得到，为等腰直角三角形，进而可证明，即可得解；（3）作于，交的延长线于，证明，可得，，，推出当在线段上移动时，在直线上，且接近点时，接近点，得重合时，最大，设，，，根据勾股定理建立方程，进而可得答案．【详解】解：（1）正方形，，由折叠的性质得，，将边折叠，点落在射线上，，，故答案为：（2）如图，连接，正方形，，，由（1）知：，点四点共圆，，，，，，，，，由折叠的性质得，，，；（3）作于，交的延长线于，，，，，，，，，，，，当在线段上移动时，在直线上，且接近点时，接近点，重合时，最大，如图所示：设，，，，，．【点睛】本题考查正方形与折叠，四点共圆，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．4．（1）

（2）

（3）【分析】（1）证明，结合E恰好为的中点可得；（2）在中，，∴，∴证明得，，设，则，，由勾股定理得，证明得，在中，利用锐角三角函数求出即可求解．（3）延长交于点H，证明得，证明得，由求出，证明得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根据即可求解．【详解】解：（1）根据翻折的性质可知，，∴，∴∵四边形是矩形，∴，∴∴∴，∴，即∵E为的中点，∴，∴，∴（2）根据翻折的性质可知，，∴，∴，∴，∴，设，则，，∴在矩形中，，∴，∴，∴（3）延长交于点H，根据翻折的性质可知，又，∴，∴，∵，∴，∴又Q是的中点，∴，∴又，∴，∴∴∵，即，∴∵，，，∴∴，，∴，，在和中，，，解得或（舍去）∴，∴，∵，∴，∴【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，难度较大，属中考压轴题．5．(1)见解析(2)点B的坐标是；四边形是菱形，理由见解析(3)点B的坐标是【分析】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质、平行四边形和菱形的判定方法和折叠的性质；理解坐标与图形的性质；会运用勾股定理进行几何计算；能运用分类讨论的思想解决数学问题是关键．（1）根据矩形的性质得，再利用平行线的性质得，然后根据折叠的性质得到，，所以，根据平行线的判定定理得，加上，于是可根据平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形；（2）先根据折叠的性质得，由点F，G重合得到，根据菱形的判定方法得到平行四边形是菱形，则，所以，而，根据三角形内角和定理可计算出，在中，根据含30度的直角三角形三边的关系得，于是得到点B的坐标是；（3）分类讨论：当点F在点O，G之间时，根据折叠的性质得，则，所以，设，则，在中，根据勾股定理得，解得，则点B的坐标是；当点G在O，F之间时，同理可得，设，则，在中，根据勾股定理得，解得，则，所以点B的坐标是．【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，∴，∴，又∵沿着对折，使点B落在上的F点处；沿着对折，使点A落在上的G点处，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：点B的坐标是；四边形是菱形．理由如下：∵沿着对折，使点B落在上的F点处；沿着对折，使点A落在上的G点处，∴，∵点F，G重合，∴，又∵四边形是平行四边形，∴平行四边形是菱形，∴，∴，又∵，∴，又∵点A的坐标是，∴，∴，在中，，∴点B的坐标是；（3）解：当点F在点O，G之间时，如图，∵沿着对折，使点B落在上的F点处；沿着对折，使点A落在上的G点处，∴，而，∴，∵点F，G将对角线三等分，∴，设，则，在中，，∵，∴，解得，∴，∴点B的坐标是；当点G在O，F之间时，如图，同理可得，设，则，在中，，∵，∴，解得，∴，∴点B的坐标是．6．(1)证明见解析(2)(3)【分析】本题考查了一次函数的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判断及性质等知识点，利用矩形的性质判定出三角形全等是解题的关键．（1）利用矩形的性质判定出即可解答；（2）利用勾股定理建立等量关系运算求解即可；（3）利用待定系数法求出直线的解析式，根据三角形面积公式求出的横坐标后代入直线的解析式运算求解即可得到的纵坐标．【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴，，∵矩形沿对角线所在的直线折叠，∴，，∴在和中，，∴（AAS），∴；（2）解：∵，，∴，，设，则，∴在中：，即：，解得：，∴；（3）解：设直线的解析式为：，分别代入，，可得：解得：，∴，∵，，∴，解得：，∴把代入可得：，∴．7．(1)(2)见解析(3)①；②当在内部时，；当在延长线上时，【分析】（1）由对折可得，，再结合四边形的内角和定理与邻补角的性质可得结论；（2）如图，连接，先证明，结合，可得，再利用相似三角形的性质可得结论；（3）①由，可得，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可；②如图，当在线段上时，求解，，，，结合轴对称的性质可得答案；②如图，当在的延长线上时，同理：，求解，，，证明，可得，设，再进一步解答可得答案．【详解】（1）解：，理由如下：∵将沿折叠，使点落在点处，∴，，∵，∴，∵，∴．（2）证明：如图，连接，由对折可得：，，，∴是的垂直平分线，，∴，∴，∵，∴，∴，而，∴∴，而，∴．（3）①∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∵，∴，解得：，（舍去），∴；②如图，当在线段上时，∵，，∴，，∴，，由对折可得：，，，∴，∴，②如图，当在的延长线上时，同理：，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，设，∴，解得：，∴；综上：当在内部时，；当在延长线上时，．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与应用，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．8．(1)，，理由见解析(2)①结论：四边形是矩形，理由见解析；②四边形的面积不变，四边形的面积，理由见解析【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，进行判断即可；（2）①取的中点，连接，先证明是等边三角形，推出，同理推出，进而得到，结合，即可得出结论；②过点D作于点J，于点K，易得四边形是矩形，求出四边形的面积，证明，推出四边形的面积等于四边形的面积即可．【详解】（1）解：，．理由：四边形是矩形，，由翻折变换的性质可知，，，，，；（2）①结论：四边形是矩形．理由：取的中点，连接．，，是等边三角形，，，同法可得，，，四边形是平行四边形，四边形是矩形；②四边形的面积不变．理由：如图过点D作于点J，于点K，，∴四边形是矩形，，，矩形的面积，由平移变换的性质可知，，的面积的面积，∴四边形的面积矩形的面积．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠问题，平移的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．9．(1)；(2)；(3)AH的长为．【分析】（1）由矩形的性质可得，，由折叠的性质，得，在中，根据勾股定理即可求解；（2）由矩形的性质可得，，，由点是的中点，可得，结合折叠的性质可推出是正方形，得到，推出，在中，根据勾股定理即可求解；（3）连接，，根据题意可求出，在中，由勾股定理得到，由折叠的性质，得，，推出，，进而得到，可证明，得到，设，则，根据勾股定理列出方程即可求解．【详解】（1）解：四边形是矩形，，，由折叠的性质，得，在中，由勾股定理，得；（2）四边形是矩形，，，，点是的中点，，由折叠的性质，得，．，，四边形是矩形．又，四边形是正方形．，，在中，由勾股定理，得；（3）的长为．如图，连接，，

四边形是矩形，，，．，在中，由勾股定理，得，由折叠的性质，得，，，，．在和中，，，，设，则，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，，解得，的长为．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些知识．10．(1)见解析(2)1【分析】本题考查了矩形与翻折的性质，对称轴的性质，等边三角形的判定与性质以及含直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据翻折以及对称轴证明即可．（2）根据是等边三角形与翻折求出，然后得到，根据角度关系判断出，然后得到即可求出的长．【详解】（1）解：∵直线是长方形的对称轴，∴垂直平分，∴，由翻折得，∴，∴是等边三角形；（2）解：∵是等边三角形，∴，由翻折得，，在长方形中，，∴，，∴，∴，∴，∴．11．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由翻折可知，，由点P为的中点，可知．，得，结合，可知，进而可证得结论；（2）过点E作于点H，交于K，则，先证为等腰直角三角形，进而可知也是等腰直角三角形，得，设，由翻折可得，可知，．根据勾股定理得，即，可求得，，进而求得，再证，得进而求出即可求得答案；（3）如图，连接，分别过B，Q作于点M，交延长线于点N，则，结合题意易知，则，即，可证得，可知四边形为平行四边形，得，则，由翻折可得垂直平分BE，得，证得，可知，易证，得，由勾股定理得．，由等面积，过F作于点G，证，，由相似三角形得性质可知，，即可求得．【详解】（1）证明：如图，∵将沿直线翻折得到，∴，．∵点P为的中点，∴．∴．又，∴．∴．（2）解：过点E作于点H，交于K，则，∵，，∴．又∵，∴为等腰直角三角形．∴，则也是等腰直角三角形，∴，在中，设，由翻折可得，．∴，．在中，由勾股定理得，即，解得．∴，．∴．在和中，∵，，∴．∴．∴，∴．∴．（3）解：如图，连接，分别过B，Q作于点M，交延长线于点N，则，根据题意得：，则．∵，∴，∴，即．∴，∴，∴四边形为平行四边形．∴．∴．由翻折可得垂直平分BE．∴．∵，，∴，∴．∴．∴．在中，由勾股定理得．∴，过F作于点G，则，∵，，∴，．∴，∴．∴．【点睛】本题考查了矩形的相关知识，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的计算等知识点．其中利用面积相等求线段或证明平行是解题关键．12．(1)点的坐标为(2)(3)点，存在，点坐标为或【分析】（1）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求解；（2）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解；（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，由勾股定理可求的长，即可求点坐标，分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求点坐标．【详解】（1）解：四边形是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，点坐标为，是矩形，，，设点的坐标为，则，，在中，有，即：，解得：，点的坐标为；（2）解：当点在线段上时，，当点在线段上时，，综上所述：；（3）解：如图，过点作于，连接，

的面积为的面积的，，，，，点，，，四边形和四边形都是矩形，，，是的中位线，，，，，又，，，，，，又，，，，，，，，点，设点坐标为，点，点，点，当为对角线，，，，，点，当为对角线，，，，，点，当为对角线，，，，，点（不合题意舍去），综上所述：点坐标为或．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．13．（1），理由见解析；（2）；（3）3或【分析】（1）根据平行线的性质，得到，翻折和角平分线的定义，推出，即可；（2）证明，得到，设，得到，进而得到，，勾股定理得到，再根据，求解即可；（3）分或两种情形，分别作出图形，然后求解即可．【详解】解：（1）．理由：由翻折可知．∵平分，∴．∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴．（2）由翻折知，，∵E，O，D三点共线，∴又∵，，∴，∴．∵E是的中点，∴设，则．∴，

∴．在中，由勾股定理得，∴．∵，∴，∴．（3）的值为3或．设，∵，∴，由题意知，分或，两种情况求解：若点在上，当时，此时，如图1，

∵，四边形为矩形，∵，矩形为正方形，，，∴；若点在上，当时，如图2，过点作于点，此时，，三点在同一直线上，四边形是矩形，

由（2）可知，，，∴，即，解得，，∴，∴；综上所述，的值为或．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．14．(1)见解析(2)(3)①见解析；②【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答；（2）过点作于，设，则，求得，再利