高考数学新思维补充材料试题及答案

高考数学新思维补充材料试题及答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共10题）

1.若函数\(f(x)=x^3-3x+1\)在\(x=1\)处取得极值，则该极值是（）

A.极大值

B.极小值

C.没有极值

D.无法确定

2.下列数列中，存在无穷多项是奇数的是（）

A.\(1,3,5,7,9,\ldots\)

B.\(2,4,6,8,10,\ldots\)

C.\(1,4,9,16,25,\ldots\)

D.\(3,6,9,12,15,\ldots\)

3.若\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，则\(\cosA\)的值是（）

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{1}{3}\)

C.\(\frac{2}{3}\)

D.\(\frac{3}{4}\)

4.若\(\log_2x=3\)，则\(x\)的值是（）

A.1

B.2

C.4

D.8

5.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(\sin(\alpha+\beta)\)的值是（）

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

C.1

D.0

6.若\(a,b,c\)成等差数列，\(a+b+c=9\)，\(ab+bc+ca=12\)，则\(a^2+b^2+c^2\)的值是（）

A.15

B.18

C.21

D.24

7.若\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{ab}\)，则\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)的值是（）

A.2

B.4

C.8

D.16

8.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)的值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.若\(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)，\(\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)的值是（）

A.5

B.6

C.7

D.8

10.若\(f(x)=x^2-4x+4\)，则\(f(x)\)的图像是（）

A.抛物线

B.双曲线

C.直线

D.圆

二、判断题（每题2分，共10题）

1.若\(a^2+b^2=c^2\)，则\(\triangleABC\)是直角三角形。（）

2.对于任意的实数\(x\)，\(x^2\geq0\)成立。（）

3.若\(\sin\alpha=\cos\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（）

4.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的根，则\(a+b=5\)。（）

5.\(\log_28=3\)。（）

6.\(\tan45^\circ=1\)。（）

7.若\(a,b,c\)成等比数列，\(abc=27\)，则\(a^2+b^2+c^2=27\)。（）

8.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}=0\)。（）

9.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)当且仅当\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)垂直。（）

10.若\(f(x)=x^3\)，则\(f(x)\)在\(x=0\)处取得极值。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述如何判断一个二次函数的图像是开口向上还是开口向下。

2.如何利用三角函数的周期性来求函数\(y=\sinx\)在区间\([0,2\pi]\)上的图像？

3.请简述求解一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的判别式\(\Delta=b^2-4ac\)的实际意义。

4.如何根据向量的坐标来计算两个向量的点积？请举例说明。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述函数的单调性与导数之间的关系。请结合实例说明如何通过导数来判断函数在某个区间内的单调性，并举例说明。

2.论述数列的收敛性和极限的概念。请解释什么是数列的收敛性，以及如何判断一个数列是否收敛。结合实例说明收敛数列的极限的概念及其求法。

五、单项选择题（每题2分，共10题）

1.若\(\log_216=x\)，则\(x\)的值是（）

A.2

B.4

C.8

D.16

2.若\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则\(\cos\alpha\)的值是（）

A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

B.\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

D.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

3.若\(a^2-b^2=9\)，则\((a+b)(a-b)\)的值是（）

A.3

B.9

C.12

D.18

4.若\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{xy}\)，则\(x+y\)的值是（）

A.2

B.4

C.6

D.8

5.若\(\tan\alpha=-1\)，则\(\alpha\)的取值范围是（）

A.\(\alpha\in(0,\pi)\)

B.\(\alpha\in(\pi,2\pi)\)

C.\(\alpha\in(2\pi,3\pi)\)

D.\(\alpha\in(3\pi,4\pi)\)

6.若\(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)，\(\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\)，则\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)的夹角是（）

A.\(45^\circ\)

B.\(90^\circ\)

C.\(135^\circ\)

D.\(180^\circ\)

7.若\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)，则\(f(x)\)的图像在\(x=0\)处的切线斜率是（）

A.0

B.1

C.3

D.6

8.若\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0\)，则\(\lim_{x\to\infty}\frac{\cosx}{x}\)的值是（）

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

9.若\(\triangleABC\)中，\(a=5\)，\(b=6\)，\(c=7\)，则\(\triangleABC\)是（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.不等边三角形

10.若\(f(x)=e^x\)，则\(f(x)\)的图像是（）

A.抛物线

B.双曲线

C.直线

D.圆

试卷答案如下：

一、多项选择题答案及解析思路：

1.B.极小值。因为\(f'(x)=3x^2-3\)，在\(x=1\)处\(f'(1)=0\)，且\(f''(x)=6x\)，在\(x=1\)处\(f''(1)=6>0\)，所以\(x=1\)处为极小值。

2.C.\(1,4,9,16,25,\ldots\)。这是一个平方数列，所有项都是奇数。

3.A.极大值。因为\(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)，代入\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)得\(\cosA=\frac{1}{2}\)，在\(\triangleABC\)中，\(\cosA\)为正值，所以\(A\)为锐角，故\(A\)处为极大值。

4.C.4。因为\(\log_28=3\)意味着\(2^3=8\)，所以\(x=8\)。

5.A.\(\frac{1}{2}\)。因为\(\sin\alpha=\cos\beta\)意味着\(\alpha\)和\(\beta\)的正弦值相等，而\(\sin\alpha\)和\(\cos\beta\)都是正弦函数的值，所以\(\alpha=\frac{\pi}{2}-\beta\)，所以\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta+\beta\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1\)。

6.C.21。由等差数列的性质\(a+b+c=3d\)，\(ab+bc+ca=3a^2\)得\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9^2-2\times12=21\)。

7.B.4。由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{ab}\)得\(ab=4\)，所以\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{(a+b)^2-2ab}{(ab)^2}=\frac{4^2-2\times4}{4^2}=4\)。

8.A.1。因为\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{\cosx\cdotx}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{\cosx}=1\cdot1=1\)。

9.A.5。因为\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)，其中\(\theta\)是\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)的夹角，当\(\theta=0^\circ\)时，\(\cos\theta=1\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)。

10.A.抛物线。因为\(f(x)=x^2-4x+4\)是一个二次多项式，其图像是一个开口向上的抛物线。

二、判断题答案及解析思路：

1.√。根据勾股定理，若\(a^2+b^2=c^2\)，则\(\triangleABC\)是直角三角形。

2.√。因为任何实数的平方都是非负的。

3.×。三角函数的值可以是正也可以是负，所以\(\sin\alpha=\cos\beta\)并不一定意味着\(\alpha=\beta\)。

4.√。根据韦达定理，\(a+b=-\frac{b}{a}\)，代入\(a\)和\(b\)的值得到\(a+b=5\)。

5.√。因为\(2^3=8\)。

6.√。因为\(\tan45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1\)。

7.×。由等比数列的性质\(a\cdotb\cdotc=a^3\)，所以\(a^2+b^2+c^2\neq27\)。

8.×。因为\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}\)的极限不存在。

9.√。当\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)垂直时，它们的点积为0。

10.×。因为\(f(x)=x^3\)在\(x=0\)处的导数为0，但并不意味着它在该点取得极值。

三、简答题答案及解析思路：

1.函数\(f(x)\)的图像开口向上，当且仅当\(f''(x)>0\)对所有\(x\)成立。函数\(f(x)\)的图像开口向下，当且仅当\(f''(x)<0\)对所有\(x\)成立。

2.利用周期性，\(\sinx\)的周期是\(2\pi\)，所以\(\sinx\)在\([0,2\pi]\)上的图像可以通过将\(\sinx\)在\([0,\pi]\)上的图像向右平移\(\pi\)个单位得到。

3.判别式\(\Delta=b^2-4ac\)可以用来判断一元二次方程的根的情况。当\(\Delta>0\)时，方程有两个不相等的实数根；当\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实