2024-2025学年重庆第二外国语学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆第二外国语学校高二（下）期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如表是离散型随机变量ξ的概率分布，则a=(

)ξ1234Paa11A.1 B.2 C.3 D.42.肖华参与答题竞赛，需要从a，b两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级，若肖华选择a，b试题的概率分别为0.8，0.2，答对a，b试题的概率分别为0.8，0.6，则肖华晋级的概率为(

)A.0.64 B.0.68 C.0.72 D.0.763.如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(

)A.f(x)在(−3,1)上是增函数 B.f(x)在(1,2)上是减函数

C.当x=2时，f(x)取得极小值 D.当x=4时，f(x)取得极小值4.二项式(x3−2A.8 B.−8 C.32 D.−325.6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求语文、数学两本书必须摆放在两端，英语、物理两本书必须相邻，则不同的摆放方法有(    )种．A.24 B.36 C.48 D.606.函数f(x)=x3+ax2+3x+1在x=−3时取得极值，则当x∈[−4,−1]A.−9 B.2 C.10 D.57.已知口袋中有3个黑球和2个白球(除颜色外完全相同)，现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球情况下，第三次又摸到白球的概率为(

)A.110 B.14 C.258.设a=4(2−ln4)e2，b=1e，c=ln44，则a，A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.41×42×43×⋯×50可表示为A5010

B.5个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手10次

C.若把英文“englisℎ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有5040种

D.吴老师将手里5张演唱会的门票分给本班数学成绩前10名中的5人，则分法有10.已知(2−x)5=aA.a0=32 B.a1+a211.已知函数f(x)=x3−6xA.若函数y=f(x)−bx不存在极值，则实数b的取值范围是(−3,+∞)

B.方程f(x)=22−x的所有实根的和为8

C.过点M(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有三条

D.方程g(x)=(1+x)ex三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f(x)=x+ln2x，则f′(1)=______．13.已知离散型随机变量ξ所有可能取值为−1，0，1，其中P(ξ=−1)=1−α，P(ξ=1)=1−β，P(ξ=0)=13，则αβ的最大值为______．14.设n为大于2的自然数，将二项式(1+x)n=nk=0(Cn四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数g(x)=x2−2lnx．

(1)求曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程；

(2)求函数g(x)16.(本小题15分)

已知(x+1x)m的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1：1．

(1)求m的值；17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex−ax，x∈[0,+∞)，e≈2.718，ln2≈0.693．

(1)当a=2时，求f(x)在区间[0,1]上的值域；

(2)若对任意x∈[0,+∞)，都有f(x)≥1成立，求a18.(本小题17分)

某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是25，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为13，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为34，如此往复．

(1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率；

(2)求该学生第二天选择C图书馆的概率；

(3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为Qn，求数列19.(本小题17分)

在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线y=k(x)，我们定义曲线段CD的平均曲率为K−=|ΔθΔs|，曲线在点C处的曲率为K=Δs→0lim|ΔθΔs|=|y″|(1+y′2)32(若极限存在)，其中y′，y″分别表示y=k(x)在点C处的一阶、二阶导数值.已知函数k(x)=x2−2x−3．

(1)求函数k(x)在点C(2,−3)处的曲率；

(2)求函数k(x)参考答案1.B

2.D

3.D

4.D

5.A

6.C

7.B

8.A

9.ABD

10.ACD

11.BC

12.2

13.4914.n(n+1)215.解：(1)因为g′(x)=2x−2x，

则g(1)=1，g′(1)=0，

所以线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y−1=0，即y=1；

(2)定义域为(0,+∞)，g′(x)=2x−2x=2(x−1)(x+1)x，

当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

故g(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)．

16.解：(1)由题可得：Cm2=Cm3，

所以m=5．

(2)由(1)，(x+117.解：(1)当a=2时，f(x)=ex−2x，f′(x)=ex−2，

当0≤x<ln2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当ln2<x≤1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

而f(0)=1，f(1)=e−2，因此f(x)max=f(0)=1，f(x)min=f(ln2)=2−2ln2，

所以f(x)在区间[0,1]上的值域为[2−2ln2,1]．

(2)f′(x)=ex−a，对任意x∈[0,+∞)，ex≥1，

当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，

则对任意x∈[0,+∞)，f(x)≥f(0)=1，符合题意；

当a>1时，函数f′(x)在[0,+∞)上单调递增，

当0≤x<lna时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当0<x<lna时，f(x)<f(0)=1，不符合题意，

综上，a≤1，即a的取值范围是(−∞,1]．

18.解：(1)因为第一天选择C图书馆的概率是25，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为13，

所以第一天和第二天都选择C图书馆的概率为25×13=215；

(2)第一天选C图书馆，第二天选C图书馆的概率为25×13=215，

第一天选D图书馆，第二天选C图书馆的概率为(1−25)×(1−34)=320，

故第二天选C图书馆的概率为215+320=1760；

(3)由题意，当n≥2时，Qn=13Qn−1+(1−34)(1−Qn−1)，

则Qn=112Qn−1+14，

所以Qn−311=112(Qn−1−311)，

又因为Q1−311=25−311=755，

所以{Qn−311}是以755为首项，112为公比的等比数列，

故Qn−311=755×(112)n−1，

所以Qn=75