2024-2025学年河北省NT20名校联合体高一下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省NT20名校联合体高一下学期4月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z⋅(1+i)=4，则z的虚部为(

)．A.−2 B.2 C.−2i D.2i2.已知平面向量a=(2,−1)，b=(x,3)，且a⊥A.−1 B.1 C.−2 D.23.已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为菱形A′B′C′D′，已知A′A.63 B.93 C.4.如图，在▵ABC中，D为AB上靠近B的三等分点，E为CD的中点，设CA=a，CB=b，则AEA.16a+13b B.−5.如图，在正三棱锥P−ABC中，PA=22，三条侧棱两两夹角均为40°，M，N分别是PA，PB上的动点，则三角形CMN的周长的最小值为(

)

A.26 B.25 C.6.如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与山底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得∠CBD=75°，∠BCD=60°，BD=45米，在点C处测得山顶A的仰角为60°，则该座山的高度为(

)A.302 B.452 C.7.已知正方体ABCD−A1B1C1A.若M是C1D1的中点，AM与平面BB1D1D的交点为O，则A1，O，C三点共线

B.以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为13

C.若P是B1D1上的动点，则D，P，B8.在锐角▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=2+2acosC，则2b+acA.(223,233二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在复数范围内，关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的其中一个根为z1=1+A.a=2，b=2 B.z2=2+i C.z10.已知a，b，c分别为▵ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(

)A.a>b是sinA>sinB的充分不必要条件

B.若▵ABC是锐角三角形，则点sinA−cosB,cosC−sinB在第四象限

C.若a=6，b=1511.已知球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，且AB=BC=3，CA=3，若球心O到平面ABC的距离等于12RA.R=3

B.若圆柱的外接球为球O，则圆柱侧面积的最大值为8π

C.若正三棱柱的内切球为球O，则正三棱柱的体积为483

D.若正四面体的各棱与球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(−1,3)，b=(λ,−1)，若a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是13.在锐角▵ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，A=60°，a=2，O为▵ABC外心，则OA⋅OB+OC14.如图，在边长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M过M、N、D1作与正方体的截面为α，则截面α的周长为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a,b满足a=1，b=2，且(1)设向量2a+b与向量a−b(2)求a+b在b16.(本小题15分)已知复数z=a−2i(a∈R)，且z⋅1+i(1)求实数a的值；(2)设复数z1=a+(3)复数z2满足z2−ai17.(本小题15分)在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acosB=c(3−b)(1)求cosA(2)若点D为BC延长线上的一点，且BC=2CD，AD=6，求▵18.(本小题17分)如图，▵BCD是圆锥底面圆的内接三角形，BD=4，cos∠BCD=(1)求圆锥的外接球的表面积；(2)求三棱锥P−BCD体积的最大值；(3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积．19.(本小题17分)若▵ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，O是▵ABC内一点，如图(1)若a=3，OB=2OC，求▵OBC(2)若▵ABC为正三角形，∠BOC=56π，∠AOB=2π3，连接①求tan∠OAB；②求CDBC．参考答案1.A

2.A

3.D

4.C

5.A

6.B

7.B

8.C

9.CD

10.BD

11.BCD

12.−3,113.−414.315.(1)那么2aa所以cosθ=(2)a+b在=a16.(1)因为z=a−2i(a∈所以z⋅又z⋅1+i为纯虚数，所以a−2=0(2)z所以z(3)因为z2−ai=1，即z2−2iz2−a+i=z又因为圆心(0,2)到(2,−1)的距离为所以z2−a+17.(1)因为3acosB=c(3−b)，两边同时乘以c得：由余弦定理可得a2则32a2又b2+c又因为c=2，所以cos(2)由题意可知AC=1两边同时平方，则4AD所以24=9b2+4−6又sinA=那么▵ABC的面积18.(1)设底面圆心为O，半径为r1，cos∠BCD=由正弦定理可知2r1=又圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr1=设圆锥外接球的半径为R，则(6−R)2+12=R所以外接球的表面积为64(2)过圆心O作弦BD的垂线，垂足为E，则OE=那么底面▵BCD面积的最大值为1所以三棱锥P−BCD的最大值为1(3)设圆台的上底面半径为r2，内切球的半径为r由图根据三角形相似可知r2解得r2=2所以圆台的体积为V=19.(1)如图设OB=2x，OC=x，由余弦定理，可得：cos∠BOC=所以sin∠S=34−x2−5(2)①设∠OAB=θ，