2025届甘肃省陇南市两当县高三下学期4月数学模拟试卷（二模）含解析

2025届甘肃省陇南市两当县高三下学期4月数学模拟试卷（二模）一、单选题（本大题共8小题）1．设集合，，则（

）A． B．C． D．2．命题“，”的否定为（

）A．， B．， C．， D．，3．“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要4．在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点的直线l的方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．5．已知直线与圆，则（）A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分6．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得的仰角为，，，（单位：），（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（

）A． B．C． D．7．设随机变量的概率分布列如表所示，则（

）A． B． C． D．8．已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（

）A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数B．甲得分的极差大于乙得分的极差C．甲得分的第75百分位数大于乙得分的第75百分位数D．甲得分的方差大于乙得分的方差10．关于函数，下列结论错误的是（

）A．最小正周期为 B．最大值为3C．图象关于直线对称 D．在区间上单调递增11．如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（

）A． B．三棱锥的外接球的半径为C．当异面直线和所成的角为时， D．点F到平面与到平面的距离相等三、填空题（本大题共3小题）12．已知，，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是．13．设点P是曲线上一动点，点Q是圆上一动点，点，则的最小值是14．已知函数，则．四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)直接写出直线与平面的位置关系.16．已知函数.(1)求在（为自然对数的底）处的切线方程；(2)证明：当时，．17．已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T．(1)求的方程和双曲线的渐近线方程；(2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切；(3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．18．设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个.(1)在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；(2)在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；(3)在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率.19．已知为实数，数列满足：①；②．(1)当时，求的值；(2)求证：存在正整数，使得；(3)设是数列的前项和，求的取值范围，使数列为周期数列且方程有解（若数列满足：存在且，对任意且，成立，则称数列为以为周期的周期数列）．

答案1．【正确答案】C【分析】解一元二次不等式确定集合，根据对数函数的性质确定集合，集合的补集交集运算求解.【详解】因为，又或，则，所以.故选：C.2．【正确答案】A【详解】由全称命题的否定为特称命题，故原命题否定为“，”.故选A3．【正确答案】A【详解】因为“”可以推出“”，而“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.4．【正确答案】B【详解】经过点的直线的方程为，即，则直线的一个方向向量为.又经过点的平面的方程为，即，所以的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则.故选B.5．【正确答案】C【详解】因为圆的圆心为，直线过点，所以直线平分，故选C.6．【正确答案】C【详解】在中,，，所以，又，由正弦定理可得,,,在中，,所以，（m）故选C.7．【正确答案】B【详解】由题意可得.故选B.8．【正确答案】B【详解】令，则，故或，令，则或，故或，故有3个不同的解，且解异于.故有一个解且有两个解且解不为，故，且，，解得.故选B.9．【正确答案】AC【详解】解：由统计图可知，甲得分从小到大排列为：81，81，82，83，84，87，乙得分从小到大排列为：78，79，80，81，82，86，对于A，甲得分的中位数为82.5，乙得分的中位数80.5，所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故A正确；对于B，甲得分的极差为87﹣81＝6，乙得分的极差为86﹣78＝8，所以甲得分的极差小于乙得分的极差，故B错误；对于C，因为6×75%＝4.5，所以甲得分的第75百分位数为84，乙得分的第75百分位数为82，所以甲得分的第75百分位数大于乙得分的第75百分位数，故C正确；对于D，由折线图可知，甲的得分比较集中，乙的得分比较分散，所以甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误.故选AC.10．【正确答案】BCD【详解】的最小正周期为的最小正周期为，故的最小正周期为，A正确；易知的最大值不超过，当且时，需同时满足且，此时无解，故实际最大值小于，B错误；若的图象关于对称，则，而，与矛盾，故的图象不关于直线对称，C错误；由知，不满足在上单调递增的定义，D错误.故选BCD11．【正确答案】ACD【详解】在菱形中，过点作直线，由底面，得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，则，由，得，则，对于A，，，则，于是，A正确；对于B，由，得三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心为，则球心在过垂直于平面的直线上，直线，显然球心在线段的中垂面上，因此，三棱锥的外接球，B错误；对于C，，由异面直线和所成的角为，得，整理得，而，解得，C正确；对于D，，设平面与平面的法向量分别为，，令，得，，令，得，而，则点F到平面的距离，点F到平面的距离，显然，D正确.故选ACD12．【正确答案】【详解】因为与的夹角为锐角，又，所以，又，，，所以，解得，又因，当时，也满足，此时不合题意，当与共线同向时，有，从而得到，解得，又，所以实数t的取值范围是.13．【正确答案】【详解】解：设双曲线的右焦点为，圆的圆心为，如图所示：由双曲线的定义得，所以，所以，当且仅当P，Q分别为线段FM与双曲线的右支，圆的交点时取等号．故的最小值为14．【正确答案】【详解】因为，所以，且，所以，所以.15．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)与平交【详解】（1）分别是的中点，，平面，平面，又平面，，是的中点，，又，平面，平面，平面．（2）以为原点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，设平面的法向量为，则，即，令可得，又平面为平面的一个法向量，．由图形可知二面角为钝二面角，二面角的余弦值为．（3），，，与不垂直，与平面不平行，又平面与平交．16．【正确答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：由，得，由，得，所以曲线在处的切线方程为.（2）证明：先证明，构造函数，其中，，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，，所以，，，因为，则，故，即当时，.17．【正确答案】(1)准线的方程为，双曲线的渐近线方程为(2)证明见解析(3)是，．【详解】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为．（2）联立方程组，消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取，又由，求得直线的方程为，联立方程组，消去得，因为，所以直线与抛物线相切．（3）因为，得准线为线段的中垂线，则直线与直线的倾斜角互补，即，设，由条件知，联立方程组，消去得，则，联立方程组，消去得，则，所以，故为定值．18．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率为，所以这5个球中恰有3个白球的概率.（2）在不放回的情况下，这5个球中恰有3个白球的概率.（3）在不放回的情况下，若第3个球为白球，则有四种情况：白,白,白；白,红,白；红,白,白；红,红,白，所以所求概率.19．【正确答案】(1)8(2)证明见详解(3)【详解】（1）当时，即，则，故.（2）先证：若存在正整数，使得，则存在正整数，使得.证明：若时，则，即从第项起到最后一个大于3的项的下一项为止，数列为递减数列，设数列中满足的最小项为，则，∴，故存在正整数，使得.当，即，则存在正整数，使得；当，即，则存在正整数，使得；当，即，∴，则存在正整数，使得；综上所述：故存在正整数，使得.（3）由（