空间向量的数量积运算精练

1.1.2空间向量的数量积运算【题型1求空间向量的数量积】1、（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求（1）；（2）．【答案】（1）11；（2）【解析】（1）向量，向量与的夹角都是，且，，；（2）2、（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________．【答案】/0.5【解析】根据题意ABCD为正四面体，，，两两成角，,由，，所以．故答案为：3、（2023春·高二课时练习）如图,在直三棱柱(即平面),,,求【答案】1【解析】∵平面，.又，∴E为BC的中点，．又.4、（2023春·贵州遵义·高二校考阶段练习）如图，已知四棱锥的各棱长均为，则（）A．B．C．1D．2【答案】D【解析】因为四棱锥的各棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，所以底面四边形为正方形，为边长为的正三角形，所以，且，因为，所以.故选：D5、（2020秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）若、、为空间中两两夹角为的单位向量，，，则______.【答案】【解析】由题意得，，则.故答案为：.【题型2利用数量积求角度】1、（2022秋·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知空间向量、、满足，，，，则与的夹角为_________．【答案】/60°【解析】因为，所以，所以，因为，，，所以，所以，因为，所以，故答案为：2、（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为与垂直，所以，即，所以.又，所以.故选：D.3、（2022·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与的夹角都等于.若是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________.【答案】【解析】记，因为，所以.又因为，所以.易得，所以所以，又.故答案为：4、（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值.【答案】.【解析】记，，，则，，，，，，，，，又，，即与夹角的余弦值为.5、（2023春·高二课时练习）已知正三棱锥PABC的所有棱长均为，点E，F分别为PA，BC的中点，点N在EF上，且EN=3NF，设．（1）用向量表示向量；（2）求PN与EB夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由EN=3NF可得,由F为BC的中点可得,所以（2），两两夹角为，模长均为，所以，所以，，，设求PN与EB夹角为，则6、（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.【答案】【解析】正三棱锥中，设,且侧棱长相等，因为，所以，又，所以，即，解得，即的余弦值为.故答案为：【题型3利用数量积求距离】1、（2022秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（）A．B．133C．D．61【答案】A【解析】因为，，，所以故选：A．2、（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】过和分别作，，在矩形，，，，则，即，平面与平面所成角的余弦值为，,，，，则，即与之间距离为，故选：C．3、（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，分别为上的点，且，__________.【答案】【解析】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，则，又，，，则，，因此，.故答案为：.4、（2023秋·湖北·高二统考期末）如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为_____.【答案】【解析】设，，为基底，，则，所以，故.故答案为：5、（2023春·高二课时练习）在四面体中，，，的长度分别为1，2，3，且，M，N分别为，中点，则的长度为______.【答案】【解析】根据题意画出几何体如下图所示，则又因为，，的长度分别为1，2，3，且，所以，得即的长度为.故答案为：.【题型4利用数量积求投影向量】1、（2023春·高二课时练习）已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为________．【答案】【解析】因为与的夹角为，，，所以，所以在方向上的投影向量为．故答案为：．2、（2022秋·山东淄博·高二沂源县第一中学校考期中）已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影向量为__________.【答案】【解析】因为，向量为单位向量，，所以向量在向量方向上的投影向量为：.故答案为：.3、（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）已知，为单位向量．若，则在上的投影向量的模为______．【答案】【解析】由题可知：即，则在上的投影向量的模为故答案为:4、（2023秋·浙江温州·高二校考期末）在正方体中，则向量在向量上的投影向量是（）A．B．C．D．【答案】D【