空间距离（练） -2025年高考数学一轮复习一隅三反系列

7.4空间距离（精练）

基础训练

1.（2023・全国•高三专题练习）已知"CO-A/CA是棱长为1的正方体，则平面A8Q与平面。出。的距

离为.

【答案】昱

3

【解析】以。为坐标原点，OAOCOR所在直线分别为x，yz轴建、'/：如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,0),8(1,1,0。D(0,0,0)，G(0,1,1),2(0,(),I),4(1,1,1),

可得A4=(0,l,l),AD1=(-l,0,l),BCI=(-1,0,1),r>C,=(0,1,1),

因为AD{=BCM=DC.,则AQ//BQ,AB、//DC,,

所以AA〃8G，A4〃£>C，

因为平面C8。，8Gu平面CB。，4片0平面。/。，7）6匚平面。声。,

所以平面G8Q,A4"平面C8D,

又ARcAB]=A,AD,,AB、u平面ABR,

所以平面夕平面。了。，

所以平面ABR与平面C,BD的距离等于点C,到平面4片。的距离d,

设平面MR的法向量为则[”n-由AB.=…y+…z=0。

令z=l,可得X=l,y=-1,所以〃=(1,-1,1),

乂因为G4=（1,0,0）,所以d二

所以平面ABR与平面C.BD的距离为由.

3

故答案为：皇.

3

2.(2023・全国•高三专题练习)棱长为1的正方体A8CZ)-EFG”如图所示，M,N分别为直线AF,BG上的

动点，则线段MN长度的最小值为.

Eb

【答案】曲

3

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设。([%[-^，。(/，与八当/^为两异面直线的公垂线段时,

PQ长度最短，此时PQ长度为MN的最小值，

则「。=(%-1,1一%,%+%-1),4尸=(0,1,-1),68=(1,0,1),

产・叱。22122

所以玉=%=s所以

[GBPQ=0

所以MM*=|PQ|=jY)2+J-l)Y—；)2=与

故答案为：B.

3

3.(2023・广西南宁•南宁三中校考模拟预测)如图，在菱形43CD中，AB=26，NB4O=60。，沿对角线

8。将△A8。折起，使点A,C之间的距离为3人，若。，。分别为线段30,CA上的动点，则线段PQ的

最小值为.

【解析】取块＞的中点E,连接AE,EC,则/比」阴)，EC1.BD,AE=EC=5.

因为AC=3夜，所以人石2+3=472,即A£_LEC.

以E为原点，分别以E8,EC,E4所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系石一不？,

则8(30⑼,C(0,3,0),A(0,0,3),Db百,0,0).设尸(a,0,0),CQ=404=(0,-32,32),

所以PQ=QC+CQ=(-〃,3,0)+(0,-3Z,3/l)=(-4Z,3-3432),

从而有pQ卜｛/+(3—3/1)2+(342=dig2--+2,

vI2J2

4.(2023•全国•高三专题练习)如图，在正方体A8CQ-A4CA中，A13=l,M,N分别是棱A3,CG的中

点，E是8。的中点，则异面直线©V间的距离为.

【解析】

以。为原点，的方向为x，）'，z轴建立空间直角坐标系，易知

口（0,0』）.M（1,；,0）尾；0）,N（0,1,；）,

〃•RM=x+—y-z=0

12|1，令

D]M=a,,设〃=（x,y.z）同时垂宜于D】M、EN,由，

LJJJ

n-EN=——x+—y+—z=0

222

得用=（1,0,1）,

又MN=（-1，121），则异面直线AM，EN间的距离为E竺

=>/2

22Id_拉~T

故答案为:亨

5.（2022・全国•高三专题练习）如图，正四棱锥尸-ABCC的极长均为2,点E为侧棱PQ的中点.若点

N分别为直线AB,CE上的动点，则MN的最小值为

3

建立如图所示的空间百角坐标系。-町2，则有：

A（-1,-1,O）,C（IJ,O）,D（-1,1,O）,P（0,0,V2）,E卷;当

可得：&=（u，用

设”（冷TO）,且N（孙必，4）

则有：CN=ACEf

可得：N1一；以,1一

\7

一(31<0

则有：MN=1——^―Xp2——A,—^―A

=卜9-内)+%-22+4

4T2限

则当且仅当a=§小=-1时，MN

min3

故答案为：巫

3

6.：2023•全国•高三专题练习）如图，棱长为1的正方体/WCQ-A/B/。。中，N是棱4。的中点，M是棱C。

89

【解析】正方体的棱长为1,如图，以。为坐标原点，所在方向分别为％y，z轴正方向建立空

0.1,—,N(/QO,

回威=(0,0,1),,4N=「；,T—1).

2

设直线与B/N的公垂线方向上的向量/；=&,）,"），由

〃HM=0，〃gN=0,

-x+-z=0

3

得3,令x=2,则z=6,产-7,=(2,-7,6)»

x-j-z=0

2

|8朱〃|66阚

设直线BM与8/N之间的距离为d,则d=

1川

故答案为：-----.

89

7.（2023秋・广东东莞•高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥P-48CO中，侧面▲W）是正三角形,

且与底面A8C。垂宜，BC〃平面PAO,4c=1AQ=1,E是棱PO上的动点.

C

⑴当正是棱P。的中点时，求证：CE〃平面附8；

（2）若AB=1,/W_L4）,求点8到平面ACE距离的范围.

【答案】（1）证明见解析

栓

【解析】（1）证明：因为AC〃平面PAO,ACu平面48CQ,且平面RAOc平面=所以BC//AD.

取R4的中点尸，连接EF,

因为正是棱丹）的中点，所以，EF//AD且EF=gAD,

2

囚为3C〃AOFL6C=LA/）,所以，EF//BCEF=BC,

2

所以，四边形BC即为平行四边形，则CE//BF,

因为CEU平面小4,4产（=平面弘8,所以CE//平面F44.

（2）解：取A。的中点。，连接P。

因为&P4O是正三角形，所以PO14O.

乂因为平面R4O_L平面相C。，平面BAOc平面A5CQ=4。，POu平面24。，

所以，PO工平面A8CD,

因为BC〃AO,BC=-AD,0为人。的中点，所以，BC〃AO且BC=AO,

2

所以，四边形A8CO为平行四边形，则CO//A8,

因为人3_LU>,则CO_LA。，

以点。为坐标原点，0。、OD.OP所在直线分别为工、>\z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

PA

则A（O,-1,O）、C（1,0,0）,P（0,0,x/3）,D（0,l,0）,所以AC=（11,O）,

设DE=40P=2（0,—1,6）=（0-A&）,其中0W2W1,

则AE=AD+DE=[0,2,0）+（0,-A,&）=（0,2-A,Gl）,

设平面ACE的法向“〃=（x,y,Z1）,

n-AC=%+M=0

所以

ziME=（2-2）^4-73/12,

令4=2—4,^n=（>/32,->/32,2-2）,

设点8到平面ACE距离为",=---:-----=—―

\nV722-4A+4

当丸=0时，J=0；

当0"«1时,

当且仅当％=1时等号成立.

综上，点8到平面ACE距离的取值范围是0,

8.（2022秋•福建泉州•高三校联考期中）如图，已知四棱锥产-A88的底面是菱形，对角线4C,BD交于

点。，Q4=4,08=3,OP=4,OP_L底面A8CD,设点用是PC的中点.

⑴直线PB与平面BDM所成角的正弦值；

(2)点A到平面BDM的距离.

【答案】(1)也

5

(2)2拒

【解析】(1)因为四边形48CO为菱形，所以

乂•面A8co，故以OA为x轴，08为了轴，。尸为2釉建立如图所示的空间直角坐标系O-“z,如图,

因为0A=4,03=3,OP=4,且M为PC中点，

则4(4,0,0),8(0,3,0),0((),-3,0),20.0,4),C(-4,0,0),M(-2,0,2),

故P8=(0,3,—4),=(-2,—3,2),BD=(0,-6,0),

n-BM=-2.r-3y+2z=0

设面BDM的法向量为n=(A;)，,z),则

n-BD=-6y=0

令x=I,则)，=0,z=l,故〃=0,0,1),

\nPi42x/2

所以卜os(〃・网卜

MHM\/2X55

故直线PB与平面BDM所成角的E弦值为逆：

5

(2)由(1)可知AM=(-6,0,2),而BDW的•个法向量为〃=(l,0,l),

\n-AM

所以点A到平面BDM的距离d="TT卡2a

故点A到平面BDM的距离为2尤.

9.(2023•黑龙江哈尔滨•哈师大附中校考模拟预测)三棱台ABC-AdC中,明，平面ABC,Z4BC=90°,

且48=80=44=2,BC=1,尸是AA的中点.

Q）求二角形/WC重心G到直线的距离；

（2）求二面角4-尸的余弦值.

【答案】（1）且

3

（2）亚

35

【解析】（1）因为AB]=B]C]=1,所以AG=JLAC=\IAB2+BC2=25/2»

在平面ABC内过点A作AT_LAC,建立如图所示空间直角坐标系4-冷2,则

B（x/2,V2,0）,C（0,272,0）,C,（0.72,2）,尸（0,0,1）,G停，技0,妫冬冬,2

过点G作设片〃=义4。；，

AH=A4+与H=A4+ZB©

则H停当易争q

GHB©=0

所以八=0,解得行;,

Zlo2.212]3

所以G，=一日，一系,2,6公卜乎卜一§+2?=孚.

即三角形A8C重心G到直线B£的距离为巨.

4尸二（一拉，一夜,1）,与8=与，与,一2

(2)BC,=(-72,0,2),

Mf-\/2x+2z=0

./、n-BC.=0n

设平面88c的法向量〃=(.%)，,z),则{=<&V2

11^13=0—x+—y-2z=0

i.22

取z=l,则〃=（夜,夜』

in-BC]=0-\{2a+2c=0

设平面MG的法向量团=（4,b,c）,则

m-BF=0—42a—\p2b+c=0

取c=l,则〃?=3,--—J

/

/\n-m2-1+12>/70

所以，cos{n'm}=m=^~

由图可知，二面角片-BG-尸为史角，所以，二面角片-BG-尸的余弦值为旭.

35

10.（2023•江苏盐城•盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和。个圆柱拼接而成，点G为

4

弧。。的中点，且C,E,D,G四点共面.

G

（1）证明：平面平面8CG；

⑵若平面3。尸与平面A8G所成二面角的余弦值为姮，且线段A8长度为2,求点G到直线D尸的距离.

5

【答案】（1）证明见解析

⑵W

2

【解析】（1）过G作G〃〃C8,交底面弧于“，连接“B，易知："8CG为平行四边形，

所以“8〃CG,又G为弧。。的中点，则〃是弧48的中点，

所以47BA=45。，而由题设知：ZABF=45°,WJZHBF=ZHBA+ZABF=90°.

所以“4_L/〃3,即A/J_CG,由CAJ•底面A8尸，"4u'l：面A8/1则C3J_F8,乂CBcCG=C,CB,CGu

平面BCG,

所以产8_L平面BCG,又FBu平面BDF,所以平面用才_L平面BCG.

（2）由题意，构建如卜.图示空间直角坐标系A一4*,

令半圆柱半径为，高为〃，则8（0,2r,0）,F（2r,0,0）,£＞（0,0㈤,G（-r,r,/t）,

所以产。=(一2二0,〃)，«D=(0,-2r,A),AB=(0,2r,0),AG=(-r,r,/?),

..[m-FD=-2rx+hz=0

若〃f“z)是面8ZWL个法向量，则《"一,/『

令z=2厂，则m=(〃,/?,2厂),

,、n-AB=2rb=0,、

若〃=(〃,/>©是面ABG的一个法向量，则｛,令c=r,则〃=(〃,0,r),

n-AG=-ra+r力+he=0

所以COS(〃2,〃)=m-n

HR

整理可得("-4-)("+2，)=0,贝股=2'又45=2,

由题设可知，此时点G(—1J2),D(0,0,2),F(2,0,0),

则Db=(2,0,—2),OG=(—1,1,0),

DGDF~

2_V6

DG~--------

一2

JDF

G

11.（2023•天津•校联考模拟预测）如图，在三棱锥P-A8C中，P4_L底面A8C,Z^C=90°.点。，E,

N分别为楂P4,PC,8c的中点，M是线段A。的中点，PA=AC=2,AB=\.

（1）求证：MAW平面8OE；

（2）求点N到直线ME的距离;

（3）在线段如_L是否存在一点〃，使得直线N”与平面MNE所成角的正弦值为侦，若存在，求出线段A"

21

的值，若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2噜

（3）1

【解析】（1）因为FAJJ氐面ABC,/BAC=900,

建7：空间直角坐标系如图所示，

ZA

所以OE=(0,1,0),力8=(1,0,-1),

设〃=(x,y,z)为平面8Z汨的法向量,

n-DE=0y=0

则,即《L=。,不妨设z"可得…，0」)，

n-DB=0

又扬N=(j,l,一耳

可得MN-〃=0，因为MNu平面8。£,

所以MN〃平面8。七，

Vio5

io

设平面MNE的法向量为m-(a,b,c),

31

即20产―28，-3=0.解得/=/或7=-而(舍去)，

3

所以A〃二二.

2

12.(2023・全国•高三专题练习)已知直三棱柱ABC-中，侧面AA4B为正方形.AB=8C=2,E,F

分别为AC和C£的中点，BFIAM

⑴求四棱锥E-B8C7的体积；

⑵是否存在点。在直线上，使得异面直线BF,。月的距离为1?若存在，求出此时线段OE的长；若不

存在，请说明理由.

【答案】⑴1

回侧面人人因声为正方形，团人与_£8与，

又BFJ.A片,宜BBiCBF=B,BFu面BB£C,

团Ag_L平面8旦GC,又AB"AB\,

团AB工平面84G。，取BC中点G,

则EG//A8,回£G_L平面8BCC.

团匕网y=；x](CL+“J心C/EG=；x；(l+2)21=l.

(2)以〃为原点，分别以BA,RC,8片所在直.线建立空间电角坐标系，如图,

则B(0,0,0),E(1,LO),尸(021),

设D(q0,2),则加=(0,2,1),ED=(«-1,-1,2),BE=(l,l,0).

设与8尸，均垂直的向量为〃=(x,yz),

BFn-02v+z=0-、/

则.,即,取，7=z(3,aT,_2(a-l)),

ED-n-0(fl-l)x-y+2z=0V〃

7

因异面直线B凡OE的距离4=，一1=丁^------U==1解得a=1或5.

忖,25+5(4—1)-

因同卜J(a—I)：+5;逐或述.

故存在点相直线的上，使得异面直线叱历的距禽为「且此时吁乔或苧.

13.(2023•全国•高三专题练习)三棱锥S—48c中，SA=BC=2,SC=AB=BSB=AC=6.记8c中

点、为M,弘中点为N

(1)求异面直线/W与CN的距离;

(2)求二面角A-SM-C的余弦值.

【答案】(1)叵；(2)--

HII

【解析】三校锥S-ABCT且对棱相等，因此三棱锥5-四。的外接平行六面体为长方体，将一.梭锥5-45。

放在长方体中研究

a2+b2=SA2a2+b2=4a=1

设长方体的三维分别为。、〃、c且竹+c?=s父，即，从+不=5,解得:•b=下)

a2+c2=SC2a2+c2=3c=y/2

因此以6为坐标原点，长方体在8处的三条棱的方向为正方向建立空间直角坐标系，则

S(0,△⑹，4(1,0,72),5(0,0,0),5(1,6,0),M,N\,乎,0

乙乙IN>N

RY同

(1)AM=,CN=

-冷，-夜22

设〃=(x,y,z)垂直于AM和CN，

n-AM=-—x+—y-y/2z=0

22-

所以

n-CN=-^x-^-y+\/2z=0

令？=&,z=—»x=0,所以n=。，&

2

而MN=(0.0,收)，因此所求距离为：d=

(2)AS=(-1,>/3,0)'SM=14,-同，M。心?。

设平面ASM的一个法向量为％=zj,

ni-AS=-X)+6yl=0

则e亭一当一―W则'ii犯

所以勺=(-#,-四,0b

设平面SMC的一个法向量为丐=\x2,y2,z2）,

，令々=乎，则%=一乎，z?T.

〃

所产如/沙\丽1,%=-3G+1=5F/22，

2

所以所求角的余弦值为-叵.

14.（2023秋•云南•高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥P-A8CO中，底面ABCO是矩形，侧棱PO_L

底面ABC。，PD=DC=\,E是PC的中点，作EFLPB交PB于点、F.

⑴求证：24〃平面8。石：

⑵若平面4。与平面6。2的夹角为求点尸到平面8CZ）的距离.

【答案】⑴证明见解析

连接4c交8。于点G,连接GE,

团月是PC的中点，

G1PA//GE,平面/3D£,GEi平面/"）£.

团以〃面BDE.

（2）解：设以。为原点，DA,DC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,

则D（0,0,0）,£（。，另），A（a,0,0）,C（O,1,O）,3（a,l,0）,P（0,0,l）,

8c=（-a.0,0）,CP=（O.-1J）,

设平面3b的一个法向量为仆=a，y,zj,

8c外=（）,/、

由，"也;产=（°」』）'

同理，由OB=（a/,0）,。尸=（0,0,1）,

设平面BDP的一，个法向量为〃2=（人2，，2，Z?），

DB•〃■）=（）.、

由，，得%=（-1,。,0）,

DPn2=0

由平面6b与平面BDP的夹角为:,

则cosg二g,解得。=1,

闻.闻\/2-\la2+\

、/、UU

134（1,0,0）,5（1,1,0）,=

__.।

设F（x,y,z）,PF=iPB，则户EF=/J--,-

1"=0,焦点/=；,

又EFIPB,团EFP3=0，即/+

42

团哈

又PD_L平面ABCD,则平面ACZ）的一个法向量为。P=（O,O,l）,

又丽=（另哥,则点尸到平面BCD的距离d=2

I，J）3

15.（2023・湖北襄阳•襄阳四中校考模拟预测）斜三楂柱"C-A4G的各棱长都为4,NAA8=60,点儿在

下底面ABC的投影为A4的中点0.

⑴在棱（含端点）上是否存在一点。使AD_L4G?若存在，求出8。的长：若不存在，请说明理由:

（2）求点4到平面8CC内的距离.

4

【答案】⑴存在，BD=-

（2）警

【解析】（1）因为点A在下底面ABC的投影为43的中点。，故平面A8C,

连接OC,由题意.A8C为正三角形，故

以。为原点，OA,oc,0A分别为xy、z轴建立如图所示空间直隹坐标系：

则A(2,0,0)，A(0,0,26),C(0,2G0),B(-2,0,0),B.(-4,0,273),C.(-2,273,2y/3),

设BD=尢BBrBB1=(-2,0,2x/3),可得0(-2%-2,0,2&),

AO=(-2%-2,0,2四-2@MG=(-4,2®2现

假设在棱（含端点）上存在一点/）使其。，4q，

则a。~LAG4(22+2)+26(2后/1-2x/J)=0,/.％=g,

I4

则8D=二期=-；

55

(2)由(1)知BM=(—2,0,26),BC=(2,26,0),

设平面4CC蜴的法向最为h=(乐y,z),

n-BB]=0-2x+2>/3z=0

则令x=6，则z=l,y=-l,

/rBC=02x+2G.y=0

则〃二(6,-1,1),

又38=(-2,0,_26),

则A,到平面BCC^的距离为"=始型=华=芈,

l〃lJS5

即点A到平面BCC^距离为警.

16.（2023•浙江宁波•镇海中学校考模拟预测）在直角梯形4BCQ中，COJLAO,AB=8C=2CD=2,AO=6,

现将..ACZ）沿着对角线AC折起，使点。到达点P位置，此时二面角P-AC-O为

⑴求异面直线以，所成角的余弦值;

⑵求点A到平面P8C的距离.

【答案】衅

⑵手

【解析】（1）过点。做/X?_L4C交4c于O,连接0P,

以。点为原点，以。4为x轴，在平面A8C。内，过点0垂直于AC的线为），轴,

过点。垂直于平面A8CD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

因为DOJLAC,所以POJ.AC,

所以NOOP为二面角P-AC-O的平面角.所以/。00=1，

又因为8=8=立，所以点P|O,一半/，

乂因为C（-；，0,0），呜，0,0），由等边三角形可得哈6,0

33

所以cost'AP,BC\/=网产产的।=J]1u"一

V41616

所以4＞与8c夹角的余弦值为空.

8

(2)PC=，5C=(-l,-x/3,0),

设：=（x,y,z）为平面P8C的一个法向量,

小PC=(x,y,z)(_g,2—；_L+且),「z=。

则24•4

n-BC=(x,y,z)1,-6,0)=t-Gy=0

令》=6，贝ljy=-l,z=-G,

故八=(凤1,-G),

|AP・“26_2历

所以点A到平面PBC的距离为d=

同一石一_F

能I力,提“升

L12023•全国•高三专题练习)己知正方体ABCO-A/CA的棱长为1,点区O分别是4圈、4G的中点,

P在正方体内部且满足40=彳48+］4。+；朋，则下列说法错误的是()

A.点A到直线BE的距离是挛B.点O到平面ABG。的距离为正

54

C.平面A%)与平面用。。间的距离为正D.点P到直线AB的距离为§

336

【答案】D

【解析】如图，建立空间宜角坐标系，则4(000),玫1。0),。(04,0),4(0,0,1),C,(1,1,1),D,(0,1,1),

(\A/、(1A0BABE小

E(J，叫，所班=(-1,0,0),BE十展0,1)设ZABE:出则8s"网码=T，sin^=

d"coC=吟.故A到直线8E的距离4=］阻卜而。=以半=苧，故A对；

易知C0=；G4平面A8GR的一个法向量。A=(O,T，1)，则点。到平而AEG"的距离

,D\cp1f-

W嗓邛’故'对；

9=(1,0,-1),40=(0,11),aA=(0,1,0).设平面ABC的法向量为〃=(x+y+z),则｛：：：［：，所

以=令Z=l,得)=1,X=1,所以〃=(1』/)，所以点。到平面ABQ的距离

-z=0、/

.AD.-n1\/3

4=中一二百=彳.因为平面A/。#平面用CR,所以平面4以)与平面4cq间的距离等于点4到平

面A8D的距离，即为#，故C对；

312(3\,、APAR3

因为从尸二7八^+孑八0+鼻胴，所以AP=-,y,~,A8=(l,0,0),则FT=W，所以点尸到斗⑶的距

故D错.

故选：D

2.（2023・北京•高三专题练习）如图，在直三棱柱人8C-AqG中，ACJ.BC,AC=2,BC=1,AA,=2,

点D在棱AC上，点E在楂3片上，给出下列三个结论：

①三棱锥石-4处的体积的最大值为3

②入。+。8的最小值为&

③点Q到直线GE的距离的最小值为半.

其中所有正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】在直三棱柱"C-ABG中叫，平面A8C,

对于①：因为点E在棱8瓦上88=44,=2,所以8e«0,2],又匕一八陋枷，

又XC上BC,AC=2,8C=1,点/）在棱AC上，所以AO«0,2],S八9=：AO8C=；AOE[0.1],

乙乙

I2

所以％八加4彳，当且仅当。在C点、E在用点时取等号，故①正确；

对于②：如图将45c翻折到与矩形ACGA共面时连接入了交AC于点。，此时4。+/用取得最小值,

因为AG=CG=2,BC=1,所以8C1=3,所以A8=Jqcj+GB-=9,

即AO+O8的最小值为如，故②错误;

对于③：如图建立空间直角坐标系，设。(40,0),«e[o,2],E(OJc),CG[0,2],

G(0,0,2),

所以GO=(«0,—2),C1E=(0,l,c-2),

I/~yI7y

则点。到直线C£的距离d=|C,D|2-半半=L2+4-7(I)

f1用J1[gM

」占Yip

当c=2时d工22，

，1Vl,1>50<——-<—

当0Wc<2时0<(c—2)Y4,W^^7,，则1+25,

(c-2)

所以当产w取最大值与，且，2=。时%=m=与，

(C-2)+15V55

即当。在C点E在8点时点D到直线CE的距离的最小值为竽，故③正确：

3.（2023春•河南•高三阶段练习）（多选）如图1,《卢卡•帕乔利肖像》是意大利画师的作品周1中左上方

悬着的是一个水晶多面体，其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该水晶多面体的所有

顶点都在同一个正方体的表面上，如图2.若=贝U（）

图1图2

A.AB=342

B.该水晶多面体外接球的表面积为（10+4拒卜

C.直线的与平面"PQ所成角的正弦值为正

3

D.点G到平面"PQ的距离为渔

3

【答案】BCD

【解析】该水晶多面体的俯视图如图1所示,

对于A,EM=NF=与MN、AB=EM+MN+NF=[^l+，MN=2+6,故A错误;

对于B,建立如图2所示的空间直角坐标系，则”（1+夜,1+夜,2+&）,G（l[+夜,2+夜）.

记该水晶多面体外接球的半径为小球心SI+争+率用则

r^SH|2=(1+--l-x/2+fl+--I-A/2>1+fl+--2->/2=|+夜，故该水晶多面体外接球的表

2I2)I2

面积为4"2=（］（）+40）冗，故B正确.

对于C,因为〃PAB\,PQ6BR,HPPQ=Pf”产，尸Qu平面，尸Q,

所以平面HPQ，,平面A4a.

根据正方体的对称性易得平面AB.的一个法向量为方=（1,1,1）,即"=（1,1,1）为平面”夕。的一个法向量.

GHn=6

GH=(a0,0),cos(GH,n)=

HH-T

故有线/右与平面，P0所成角的F弦值为当,故C正确.

4.（2023•福建宁德•校考模拟预测）（多选）在正方体ABC。-ABCA中，E,F,G,HJ分别为

AD,Aa四出G，£>£的中点,则（）

A.直线。E与直线GO垂直

B.点。与点3到平面。式月的距离相等

C.直线放与平面〃/G平行

D.A尸与G，的夹角为9

O

【答案】AB

【解析】如图，以。为原点，“LDGOR所在直线为人XZ轴建立空间直角坐标系,

设正方体的棱长为2,则4(2,0,0),3(220),0(020),。(0,0,0),A(2,0,2),耳(。2,2),G(0,2,2),〃(0,0,21

且E(LO,O),尸(Z1,O),G(2,2,1),H(L2,2),/(O,1,2),

对于A,D,E=(l,0,-2),GD=(-2-2,-1),所以〃EGO=-2+0+2=0,所以直线RE与直线GD垂直，故

A正确：

对干B,设平面〃设尸的法向量为〃=(x,y,z),又于E=(l,0,-2),所=(1,1,0),

n-DE=x-2z=0x=2z

所以l令z=l得〃=(2,-2,1),

n-EF=x+y=0x=-y

又D£=(l,0,0),5E=(—1,-2,0),所以点Z)到平面RE尸的距离为叱4=包9姐=2,点3到平面〃的

同33

距离为限—鹤

对于C因为班'=(1,1,0),出=(1,1,0),G”=(-L0,1),所以E户〃JH,即EF///H,

rn-GH=-a+c=0

设¥面H/G的法向量为〃7=(〃也c),则=>/«=(1,-1,1),

inIH=a+b=0

又尸G二（O,l』），/G〃?=0,则产G_L〃Z，

所以所u平面”/G,故C错误；

/、z、八1，3D1FGH-2+0-22加

对干D,因为QL=（2J—2）,G〃=（T0,l）,所以cos.EG""/=Zx及=一《~，所以。尸与

G”的夹角余弦值为述了正，夹角大小不为g,故D错误.

326

故选:AB.

5.（2023•辽宁朝阳•校联考一模）（多选）如图，在棱长为1正方体A8CO-A&G。中，M为8c的中点,

E为AG与的交点，F为3M与C耳的交点，则下列说法正确的是（）

A.AG与D18垂直

B.故是异面直线AG与修。的公垂线段，

c.异面直线AG与用c所成的角为］

D.异面直线A&与BC间的距离为坐

【答案】ABD

【解析】以。为原点，D4为x轴，QC为,，轴，。。为z轴，建立如下图所示坐标系:

\L

（）,0」），RM=3,1,0,AG=（-1,1,0）,RA=（1,0,0）,

IZ7

设E（y,%，Zo）,b（N，y,zJ，AE=%AG，QE=4）/）|M,

则有：D、E=fj0D\M=氏，AE=4AG=4（AG-〃A）,

又D[E=O]A+“）（D]C[+gc>iA）=AA+4）（D]C1-AA）,

I

53

2.22'七（1川2、，同理可得七（2七2卜A

解得〃0=4=§，•.・AE=a）T）b，Zo-l）=§（TI,O）

z°=l

对「A,AC=（-U,0）,,AG•力用=°，正确:

」、

对于B,W'5'一五々C二（一1,0,—1）,E『・qc=0,所・AG=0,.•.EF±B0,EF1,

即E产J.BC，石产，AC，乂EFcAC】=E、EFc=F,

故即是异面直线AC与qc的公垂线段，正确;

1

对于C,设AG与修。所成的角为，，则cosO==­

2

•.•备［。创，/.。=方，错误；

对「D,由B知所是AG与8。的公垂线段，河卜@』=印，正确;

故选：ABD.

6.（2023•福建漳州•统考模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体A8CO-A4CA中，点石为BC的中点,

点P,。分别为线段BQ,AO上的动点，则（）

A.ACA.DPB.平面。砂可能经过顶点C1

C.PQ的最小值为变D./APC的最大值为多

23

【答案】ACD

【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：

则D（0Q,0）,4100）,8（1,1,0）,C（0,1,0）,G（O,1J）,。（001）,4（1。1）酒（1,1,1）,

设BP=NAR=(T,-％〃)，则尸(1-2，1一/16),A€[OZ1]；

设DQ=〃OA=(〃,0,0),则。(〃,0,C),〃w[0,1],

所以