2025年辽宁省鞍山市海城市中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年辽宁省鞍山市海城市中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．）1．（3分）一个用于防震的L形包装塑料泡沫如图所示，则该物体的俯视图是（）A． B． C． D．2．（3分）若有意义，则a的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．63．（3分）下列运算中，正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（2a2b3）3＝6a6b9 C．a2•a4＝a8 D．a5b÷ab＝a44．（3分）关于x的方程x2﹣2x﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况5．（3分）已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法正确的是（）A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是4 D．方差是56．（3分）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，则∠2的度数为（）A．92° B．102° C．112° D．114°7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，又三家共一鹿，适尽，每家取一头鹿，没有取完，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中（）A．25 B．75 C．81 D．908．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，则点B′与点B之间的距离为（）A． B． C．4 D．29．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝1，观察尺规作图的痕迹（）A．2 B．3 C． D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，且AC＝12，点P在正方形的边上（）A．0 B．4 C．6 D．8二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）任意掷一枚均匀的正方体骰子，“偶数点朝上”发生的概率为．12．（3分）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝．13．（3分）关于x的一元二次方程﹣3x2+2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是．14．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，在矩形内部有一点P，同时满足PC＝BC，延长CP交AD于点E，则CE＝．三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字）16．（9分）（1）计算：（2）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣2a（a﹣b）﹣（2a2+b2），其中a＝+1﹣1．17．（9分）A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，求甲、乙两车的速度．18．（9分）某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计，解答以下问题：该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图；19．（9分）如图，杨帆同学在学习了“解直角三角形及其应用”的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，再从C点出发沿斜坡CF走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为30°（点E，C，B在同一水平线上）．求大树AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）20．（9分）如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，AB＝AC，BC交y轴于点F．（1）若S△BOF＝2，则k2＝．（2）若k1＝k2＝2，则点A坐标；当时，x的取值范围．21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，且CD⊥AB，垂足为E，交AM于点P．（1）求证：∠CAB＝∠APB；（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．22．（9分）如图，直线y＝x+3与坐标轴交于B，C两点1＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于点A（1）求抛物线y1的解析式；（2）如图1，点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，AD，BD△DEB+S△DEA的最大值；（3）如图2，只将图1中的抛物线y1向右平移两个单位长度得到新抛物线y2，y2与x轴正半轴的交点为F，连接CF，点G是抛物线y2第二象限上的一点，连接GF．若∠GFC＝∠ACF，请求出点G的坐标．23．（12分）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，D为AC上的动点，当AD＞AB时，将线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，且BE在边AB的右侧，你能得到哪些结论呢？①小明说：“在点D的运动过程中，只要保证BE在边AB的右侧，∠BAE的度数是固定的；小强说：“在点D的运动过程中，只要保证BE在边AB的右侧，AE，AD的数量关系”．②小涛说：“我利用∠BAC＝60°，如图2，在AD上截取AF＝AB，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．请你根据小涛的思路，求∠BAE的度数，并探究线段AB，AD的数量关系．【类比分析】（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，李老师将图1进行变换，并提出下面问题如图3，在△ABC中，∠BAC＝60°，当AD＜AB时，连接BD，且BE在边AB的左侧，连接AE，求证：AD+AE＝2AG．【学以致用】（3）如图4，在△ABC中，∠BAC＝60°，当AD＞AB时，连接BD，且BE在边AB的右侧，连接AE，过B作BM⊥AD于M，线段DE的中点为N，若，求四边形ABDE的面积．

2025年辽宁省鞍山市海城市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDDAABBBDD一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．）1．（3分）一个用于防震的L形包装塑料泡沫如图所示，则该物体的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上面看，是一行两个矩形，故选：C．2．（3分）若有意义，则a的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．6【解答】解：有意义，则a﹣4≥7，解得：a≥4，故a的值可以是6．故选：D．3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（2a2b3）3＝6a6b9 C．a2•a4＝a8 D．a5b÷ab＝a4【解答】解：A．2a和3b无法合并；B．（4a2b3）3＝8a6b8，故此选项不合题意；C．a2•a4＝a2，故此选项不合题意；D．a5b÷ab＝a4，故此选项符合题意．故选：D．4．（3分）关于x的方程x2﹣2x﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣8×1×（﹣2）＝12＞6，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．5．（3分）已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法正确的是（）A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是4 D．方差是5【解答】解：A、数据3出现2次，故众数为6；B、排序后位于中间位置的数为3，故B选项错误；C、平均数为3；D、方差为8.8．故选：A．6．（3分）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，则∠2的度数为（）A．92° B．102° C．112° D．114°【解答】解：如图：AB，AC分别交直线a于点D，E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，又∵∠ADE＝∠1＝42°，∴∠DEC＝∠ADE+∠A＝102°，又∵a∥b，∴∠2＝∠DEC＝102°．故选：B．7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，又三家共一鹿，适尽，每家取一头鹿，没有取完，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中（）A．25 B．75 C．81 D．90【解答】解：设城中有x户人家，依题意得：x+x＝100，解得：x＝75，∴城中有75户人家．故选：B．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，则点B′与点B之间的距离为（）A． B． C．4 D．2【解答】解：由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∵∠A＝60°，∴△ACA′是等边三角形，∴∠A′CA＝60°，则∠B′CB＝60°，∴△BCB′是等边三角形，∴BB′＝BC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∴，∴，即，故选：B．9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝1，观察尺规作图的痕迹（）A．2 B．3 C． D．【解答】解：∵AE＝2，BE＝1，∴AC＝AB＝AE+BE＝5，由作图知CE⊥AB于点E，∴CE＝＝＝，故选：D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，且AC＝12，点P在正方形的边上（）A．0 B．4 C．6 D．8【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接EM，∵点E，F将对角线AC三等分，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称，∴CF＝CM＝8，∠ACB＝∠BCM＝45°，∴∠ACM＝90°，∴EM＝＝7，则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9，在点H右侧，当点P与点C重合时，∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12，在点H左侧，当点P与点B重合时＝3，∵AB＝BC，AE＝CF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF＝2，∴PE+PF＝4，∴点P在BH上时，6＜PE+PF≤4，∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝8，同理在线段AB，AD．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）任意掷一枚均匀的正方体骰子，“偶数点朝上”发生的概率为．【解答】解：任意掷一枚均匀的正方体骰子，朝上的数字有从1到6共8个数字，4，6共3种，则“偶数点朝上”发生的概率为＝，故答案为：12．（3分）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝3m（a﹣b）2．【解答】解：3ma2﹣7mab+3mb2＝2m（a2﹣2ab+b5）＝3m（a﹣b）2，故答案为：4m（a﹣b）2．13．（3分）关于x的一元二次方程﹣3x2+2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≤．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣2×（﹣3）×（﹣m）≥0，解得m≤，故答案为：m≤．14．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（1，﹣2）．【解答】解：根据抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）顶点坐标为（h，k）得，抛物线y＝（x﹣5）2﹣2的顶点坐标是（5，﹣2），故答案为：（1，﹣3）．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，在矩形内部有一点P，同时满足PC＝BC，延长CP交AD于点E，则CE＝．【解答】解：如图，延长AP交CD于F，∵∠APB＝90°，∴∠FPB＝90°，∴∠CPF+∠CPB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝3，∴∠EAP+∠BAP＝∠ABP+∠BAP＝90°，∴∠EAP＝∠ABP，∵PC＝BC＝3，∴∠CPB＝∠CBP，∴∠CPF＝∠ABP＝∠EAP，∵∠APE＝∠CPF，∴∠EAP＝∠APE，∴AE＝PE，∴DE＝5﹣PE，∵CD2+DE2＝CE3，CD＝AB＝4，CE＝3+PE，∴22+（3﹣PE）3＝（3+PE）2，解得：PE＝，∴CE＝3+＝，故答案为：．三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字）16．（9分）（1）计算：（2）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣2a（a﹣b）﹣（2a2+b2），其中a＝+1﹣1．【解答】解：（1）原式＝3﹣6×，＝7﹣+2，＝2+6；（2）原式＝4a2﹣2ab+b2﹣2a4+2ab﹣2a3﹣b2＝﹣2ab．当a＝+1﹣3时+1）×（．17．（9分）A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，求甲、乙两车的速度．【解答】解：设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为（x+30）千米/时，解得，x＝60，经检验，x＝60是分式方程的根，则x+30＝90，即甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时．18．（9分）某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计，解答以下问题：该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图；【解答】解：该班共有学生：15÷30%＝50（名），想加入足球社团的学生有：50×18%＝9（名），想加入其他社团的学生有10名，“其他”部分所对应的圆心角度数为：．补全的条形统计图如图所示：答：该班共有50名学生，在扇形统计图中．19．（9分）如图，杨帆同学在学习了“解直角三角形及其应用”的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，再从C点出发沿斜坡CF走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为30°（点E，C，B在同一水平线上）．求大树AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）【解答】解：过点D作DG⊥BE于点G，作DH⊥AB于点H．∵斜坡CF的坡度t＝3：4，D到地面的距离是10m，∴CG＝＝m，设大树AB的高为xm，∵∠ACB＝45°，在Rt△ABC中，AB＝BC＝xm，DH＝BG＝BC+CG＝（x+，AH＝AB﹣BH＝AB﹣DG＝（x﹣10）m，在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，∴，即＝，解得x＝．经检验：x＝是原方程的根且符合题意．x＝≈41.9．答：大树AB的高度是41.9m．20．（9分）如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，AB＝AC，BC交y轴于点F．（1）若S△BOF＝2，则k2＝4．（2）若k1＝k2＝2，则点A坐标（1，2）；当时，x的取值范围﹣1≤x＜0或x≥1．【解答】解：（1）根据反比例函数k值的几何意义可得|k2|＝2S△BOF＝3，又∵k2＞0，∴k4＝4，故答案为：4．（2）∵k4＝k2＝2，∴，解得：或，∴A（5，2），﹣2）；根据函数图象，可得当时．故答案为：（1，2）．21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，且CD⊥AB，垂足为E，交AM于点P．（1）求证：∠CAB＝∠APB；（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．【解答】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM＝90°，∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD，∴∠CDB＝∠APB，∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB．（2）解：如图，连接AD，∵AB是直径，∴∠CDB+∠ADC＝90°，∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC＝8，∵AB＝10，∴BD＝6，∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，∴∠APB＝∠DAB，∵∠BDA＝∠BAP∴△ADB∽△PAB，∴＝，∴PB＝＝＝，∴DP＝﹣6＝．故答案为：．22．（9分）如图，直线y＝x+3与坐标轴交于B，C两点1＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于点A（1）求抛物线y1的解析式；（2）如图1，点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，AD，BD△DEB+S△DEA的最大值；（3）如图2，只将图1中的抛物线y1向右平移两个单位长度得到新抛物线y2，y2与x轴正半轴的交点为F，连接CF，点G是抛物线y2第二象限上的一点，连接GF．若∠GFC＝∠ACF，请求出点G的坐标．【解答】解：（1）直线y＝x+3与坐标轴交于B，C两点、C的坐标分别为：（﹣3、（5，由题意得：，解得，∴y1＝﹣x2﹣3x+3；（2）连接DC，∵DE∥AC，∴S△DEC＝S△DEA（同底等高），∴S△DEB+S△DEA＝S△DEB+S△DEC＝S△DBC，过点D作DM⊥x轴于点M交BC于点H，设D（x2﹣4x+3），则H（x，则DH＝﹣x2﹣5x+3﹣（x+3）＝﹣x5﹣3x，∴S△DBC＝S△DHB+S△DHC＝＝，，抛物线开口向下，当S△DBC最大值＝；（3）当﹣x2﹣2x+6＝0时可得A（1，8），当﹣x2+2x+7＝0时，则x＝﹣1或7，0），∴OC＝OA，∴∠OFC＝∠OCF＝45°，如图，设GF交OC于点N，∴∠ACO＝∠NFO，∠COA＝∠FON＝90°，∴△ACO≌△NFO（ASA），∴ON＝OA＝1，则点N（2，1），由点N、F的坐标得x+1，∴，解得：，x2＝6（舍去），∴．23．（12分）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，D为AC上的动点，当AD＞AB时，将线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，且BE在边AB的右侧，你能得到哪些结论呢？①小明说：“在点D的运动过程中，只要保证BE在边AB的右侧，∠BAE的度数是固定的；小强说：“在点D的运动过程中，只要保证BE在边AB的右侧，AE，AD的数量关系”．②小涛说：“我利用∠BAC＝60°，如图2，在AD上截取AF＝AB，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．请你根据小涛的思路，求∠BAE的度数，并探究线段AB，AD的数量关系．【类比分析】（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，李老师将图1进行变换，并提出下面问题如图3，在△ABC中，∠BAC＝60°，当AD＜AB时，连接BD，且BE在边AB的左侧，连接AE，求证：AD+AE＝2AG．【学以致用】（3）如图4，在△ABC中，∠BAC＝60°，当AD＞AB时，连接BD，且BE在边AB的右侧，连接AE，过B作BM⊥AD于M，线