高斯光束课件

稳定腔输出的激光束属于各种类型的高斯光束，非稳定腔输出的基模光束经过准直后，在远场的强度分布也是近高斯型的。因此研究高斯光束的场分布及传输和变换特性，对于与激光束变换有关的光学系统的设计，以及光学谐振腔的工程设计很重要。我们来单独讨论高斯光束的主要性质。高斯光束的基本性质高斯光束在自由空间的传播规律高斯光束的变换高斯光束的聚焦高斯光束的匹配高斯光束的准直高斯光束

在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程：在z的缓变振幅近似下（忽略），利用“试探法”解出上式微分方程的一个特解：高斯光束的基本性质波动方程的基模解此特解叫做基模高斯光束式中：与轴线相交于z点的高斯光束等相位面的曲率半径

与轴线交于z点的等相平面上的光斑半径

基模光束腰斑半径])(1[)1()(2020zzzzwzzR+=+=plp200wz=此公式给出了基模高斯光束的场分布和传输特点等性质1.在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外平滑降落。3.光斑半径随着坐标z按双曲线规律变化：基模高斯光束的振幅分布2.光斑半径随z的变化规律为：并且：基模高斯光束的相移特性由相位因子决定它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点(0,0)处的相位滞后描述几何相移描述高斯光束在空间行进距离z时相对几何相移的附加相位超前描述与径向有关的相移基模高斯光束的相移和等相位面分布在近轴条件下，沿高斯光束轴线每一点处的等相位面为半径为R的球面:])(1[)1()(2020zzzz2wzzR+=+=p1.，束腰处的等相位面为平面，曲率中心在无穷远处2.为最小值3.在远场处可将高斯光束近似为一个由z=0发出，半径为z的球面波4.无穷远处等相位面为平面，曲率中心在z=0处

P188给出了等相位面的曲率半径随z的变化关系。光斑半径随z的变化规律为：当时从最小光斑面积增大到它的二倍的范围是瑞利范围，从最小光斑处算起的这个长度叫瑞利长度基模高斯光束的瑞利长度在此长度内，高斯光束可近似认为是平行。

远场发散角：高斯光束振幅减小到中心最大值1/e处与z轴的交角。包含在发散全角范围内的功率占高斯基模光束总功率的86.5％基模高斯光束的远场发散角高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯球面波，在其传播过程中曲率中心不断改变其振幅在横截面内为一高斯光束强度集中在轴线及其附近等相位面保持球面小结：高斯光束的基本性质高阶高斯光束场的形式(直角坐标系）：由厄米多项式与高斯函数乘积描述高阶高斯光束高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函数的乘积决定：对应着不同整数m和n，场振幅的横向分布不同垂直于光轴的横截面上的厄米－高斯分布高阶模的总相移与模阶数m和n有关，表示为高阶模波面的曲率半径R(z)与模阶数m和n无关，说明在同一传播距离z处，各阶厄米－高斯光束波面的曲率半径都相同，且随z的变化规律也相同。相移因子随模阶数的变化导致了谐振腔中不同横模之间谐振频率的差异高阶光束的光斑半径和光束发散角随模阶数m和n而增大。高阶高斯光束场的形式：由拉盖尔多项式与高斯函数乘积描述赫姆霍兹方程在缓慢振幅近似下的一个特解，对应着具有圆对称光学谐振腔的振荡模式。*波动方程在圆柱坐标系统下的场分布在垂直于光束的任意一个横截面上，振幅的分布为:总相移：高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数p和l而增大。基模高斯光束的场分布：基模高斯光束在某一横截面上的光场振幅分布和光强分布：r为从光斑中心算起的距离，w为该截面处的光斑尺寸高斯光束的孔径功率透过率T：开孔半径为a的圆孔，高斯光束通过半径为a的圆孔的功率Pa与总的功率P之比。孔径半径a1/2ww3/2w2w透过功率百分比39.300086.500098.890099.9877高斯光束功率透过率与孔径的关系：普通球面波在自由空间的传播规律:球面波的波前曲率半径随传播过程的变化为：高斯光束的传输规律自由空间的光学变换矩阵可以写成：当傍轴波面通过焦距为f的透镜时，其波前曲率半径满足关系式：采用近轴球面波传输的ABCD矩阵表示：反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系()()fzRzR11112-=符号：沿光传输方向的发散球面波的曲率半径为正，会聚球面波的曲率半径为负。普通球面波在通过薄透镜的传播规律P195图3－2－2:高斯光束的特征参数])(1[)1()(2020zzzzwzzR+=+=plp200wz=高斯光束的束腰半径的大小和位置，就可以确定整个高斯光束的结构高斯光束的复参数q表示高斯光束可由波前曲率半径R(z)、光斑半径w(z)和位置z中任意两个参量来描述。引入复参数q(z)将这三个参量联系起来(描述高斯光束的传播规律非常方便)。复参数q的定义为:将波前的曲率半径R(z)和光斑半径w(z)代入上式：q值表达的基模(TEM00模)高斯光束：由q参数，可求出波前的曲率半径R(z)和光斑半径w(z)高斯光束的q参数：其中：经整理后可得：

高斯光束在自由空间由z1经距离L传播到z2,q的规律为：高斯光束的复数曲率半径与普通球面波的曲率半径遵循相同的传播规律高斯光束在自由空间中的传播规律:高斯光束的q参数通过传输矩阵的光学系统，其变换规律遵循ABCD定律：A、B、C、D为该光学系统的光线矩阵元，q1和q2分别为在入射平面(1)和出射平面(2)的复光束参数。光线传输的矩阵理论和高斯光束用简单的方式联系起来DCqBAqq++=112高斯光束的ABCD定律如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵总矩阵元M：高斯光束的q参数和ABCD定律给出研究高斯光束传输的一个基本方法高斯光束通过薄透镜的变换高斯模通过透镜后仍保持为相同阶次的模，但光束参数R(z)和w(z)已改变！出射光束在透镜处的光斑尺寸满足：

表示入射高斯光束在透镜处的q参数，表示出射高斯光束在透镜处的q参数当傍轴波面通过焦距为f的透镜时，其波前曲率半径满足关系式：fRR111/-=由上面的四个式子可以得到：fqqff111/-=距离透镜分别为z和z/处的复参数：可以得到z/处的q/:已知透镜的焦距，只要知道入射高斯光束的q和z，就可求得出射高斯光束在z/处的q/如果写成高斯光束通过该光学系统时，q满足的变换规律为

：比较可得ABCD的矩阵元DCqBAqq++=/入射高斯光束的光腰在z处，出射高斯光束的光腰在z/处得到：代入出射光束的腰粗和光束腰位置等式两端的虚部和实部对应相等得到：代入得到出射高斯光束光腰尺寸与光腰所在位置的公式：可改写成：经透镜变换后的束腰位置由3-3-19式决定，经透镜变换后的腰斑大小由3-3-18式决定.已知高斯光束的腰斑大小和位置，整条高斯光束传输规律就确定了。由图中可见：1.当时，与几何光学的薄透镜对轴上点的成像公式一致。2.在z/f＝1处，两曲线有不同的变换规律。当入射高斯光束腰恰好在透镜的前焦面上时，出射光腰则在透镜的后焦面上，这与几何光学结果不同。则可据上式求出入射光束的远场发散角（半角）这是测量光束发散角最常采用的方法。入射腰斑半径与透镜后焦面上的光斑半径的关系为：像方高斯光束腰斑的大小将此式对f求一阶偏导：高斯光束的聚焦一、z一定时，随f变化的情况当z一定时，随f的变化情况01/2R(z)R(z)f1.当时，有极大值：2.当

时，

，所以随f的减小而单调减小。当时，，只有当其焦聚时，透镜才能对高斯光束起聚焦作用，且f越小，聚焦效果越好。当时，3.当时，，即随f的增加而单调减小，当时，，故在此范围无聚焦作用。

一、f一定时，随z变化的情况对z求一阶偏导：当时，像方高斯光束的腰斑半径达到最小值：即当时，不论透镜的焦距多大，只要焦距大于零它总有会聚作用，且像距始终小于f，即像方腰斑位置在透镜后焦点以内。1.当时，故，像方高斯光束的腰斑半径随z

的减小而减小。透镜焦距越小，聚焦效果越好象方腰斑位于透镜的前焦面上当时：当时：当时：透镜焦距越小，聚焦效果越好若：象方腰斑位于透镜的前焦面上结论：当物光束的腰斑离透镜很远时，z越大，f越小，聚焦效果越好。故，像方高斯光束的腰斑半径随z的增加而单调减小，并且：2.当时，

3.当时，像高斯光束腰斑半径达到最大值：及即：只有透镜的焦距f<z0

时，才有聚焦作用；高斯光束聚焦的方法采用短焦距透镜，使f尽量减小；2.使入射高斯光束腰斑远离透镜焦点，满足：自再现变换：当高斯光束通过透镜后模结构不发生变换，即参数w0或z0不变如果以高斯光束复参数q来描述自再现变换，当距离透镜分别为z和z/的复参数为q和q/，应满足如下条件。qzzq==)(//高斯光束的自再现变换利用ABCD矩阵和自再现模的条件求复杂光学谐振腔的基模参数ABCD定律在光学谐振腔中的应用光束从参考面P出发，在谐振腔中循环一周的变换矩阵ABCD为：在稳定腔中，光束循环一周应复原，按照复参数传输的ABCD规律A，B，C，D为近轴光束在腔内往返矩阵元DCqBAqq++=/可得到：DCqBAqq++=又因为利用ABCD矩阵很容易求出复杂光学谐振腔的基模参数2212)(421wiRBDABADqpl-=+-±-=ïïîïïíì+-=-=22)(422DABwADBRplïïïïîïïïïíì-+-=÷÷øöççèæ+=--=÷øöçèæ+=)1(2)(41)1(2)(122222022ADDABRwwwADADBwRRzpllppl若使一个稳定腔所产生的高斯光束与另一个稳定腔产生的高斯相匹配，需在合适的位置放置一个焦距适当的透镜，使两束高斯光束互为物象共轭光束。该透镜称为模匹配透镜。高斯光束的匹配已知物方高斯光束的腰斑，要求在像方得到腰斑为，的高斯光束，求物距和像距，以及模匹配透镜的焦距f.采取的方法：用高斯光束复参数q和ABCD定律推导。透镜处物方的复参数复参数经过透镜的变换像方腰斑处的复参数讨论：当和给定时，模匹配公式中存在三个未知量。特意给定一个f值，且f必须满足-±=-±=2020/0/202/00ffwwfzffwwfz：特征匹配长度高斯光束的模匹配公式：就可确定两腔的相对位置及它们各自与透镜的距离，这样模的匹配问题就解决了。2.当，和两腔相对位置给定时，-±=-±=+=2020/0/202/00/ffwwfzffwwfzzzzw确定匹配参数所需要的系统参数，注意检查求出的结果在物理上是否合理腰斑小，光束发散得快，发散角大，腰斑大，光束发散得慢，发散角小高斯光束的准直－改善光束的方向性，即压缩