2024年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课时作业含解析新人教A版必修2

PAGE1-2.3.2平面与平面垂直的判定1.下列说法中,正确的是(B)(A)垂直于同始终线的两条直线相互平行(B)平行于同一平面的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面相互平行(D)平行于同一平面的两条直线相互平行解析:A.垂直于同始终线的两条直线可能平行、相交或异面.B.正确.C.垂直于同一平面的两个平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面.只有B正确.2.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,已知m∥α,n⊥β,下列说法正确的是(B)(A)若m⊥n,则α⊥β (B)若m∥n,则α⊥β(C)若m⊥n,则α∥β (D)若m∥n,则α∥β解析:若m⊥n,则α与β可以平行或相交,故A,C错误;若m∥n,则α⊥β,D错,选B.3.假如一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行,则这两个二面角的大小关系是(C)(A)相等 (B)互补(C)相等或互补 (D)不确定解析:可作出这两个二面角的平面角(图略),易知这两个平面角的两边分别平行,故这两个二面角相等或互补.故选C.4.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角PBCA的大小为(C)(A)60° (B)30°(C)45° (D)15°解析:易得BC⊥平面PAC,所以∠PCA是二面角PBCA的平面角,在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.故选C.5.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中相互垂直的平面有(D)(A)2对 (B)3对(C)4对 (D)5对解析:由PA⊥矩形ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD;由AB⊥平面PAD知,平面PAB⊥平面PAD;由BC⊥平面PAB知,平面PBC⊥平面PAB;由DC⊥平面PAD知,平面PDC⊥平面PAD.故题图中相互垂直的平面有5对.选D.6.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角BADC的大小为(C)(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角BADC的平面角,其大小为60°.故选C.7.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是(C)①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上②BC∥平面A′DE③三棱锥A′FED的体积有最大值(A)① (B)①② (C)①②③ (D)②③解析:①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC,故点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.②因为BC∥DE,依据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时,三棱锥A′FDE的体积达到最大.故选C.8.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中相互垂直的平面共有对.

解析:因为AB⊥平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,AB⊥CD.因为BC⊥CD,所以DC⊥平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.所以共有3对相互垂直的平面.答案:39.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC=.

解析:因为在原△ABC中,AD⊥BC,所以折叠后有AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角BADC的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在Rt△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=,所以BC==1.答案:110.正方体ABCDA1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于.

解析:设AC与BD相交于O点,因为ABCDA1B1C1D1为正方体,所以AO⊥BD,又AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥BD,又AO∩AA1=A,所以BD⊥平面A1AO,所以BD⊥A1O,所以∠A1OA为二面角A1BDA的平面角,设正方体的棱长为a,在直角△A1AO中,AA1=a,AO=a,所以tan∠A1OA==.答案:11.已知m,l是直线,α,β是平面,给出下列命题:①若l垂直于平面α内两条相交直线,则l⊥α;②若l∥α,则l平行于α内全部直线;③若m⊂α,l⊂β,且l⊥m,则α⊥β;④若l⊂β,且l⊥α,则α⊥β;⑤若m⊂α,l⊂β,且α∥β,则m∥l.其中正确的是.

解析:①④是线面垂直、面面垂直的判定定理,故均正确.l∥α,则l与α内的直线可能平行,也可能异面,故②错误.两个平面平行时,分别在两平面内存在相互垂直的直线,故③错误.两个平面平行,分别在两个平面内的直线有可能是异面直线,故⑤错误.答案:①④12.如图所示,α∩β=CD,P为二面角内部一点.PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B.(1)证明:AB⊥CD;(2)若△PAB为等边三角形,求二面角αCDβ的大小.(1)证明:因为所以CD⊥平面PAB,所以AB⊥CD.(2)解:如图所示,设平面PAB∩CD=O,则由(1)可知,OB⊥CD,OA⊥CD,从而∠BOA是二面角αCDβ的平面角.因为PA⊥OA,PB⊥OB,所以∠AOB+∠APB=180°.因为△PAB为等边三角形,所以∠APB=60°.故二面角αCDβ的平面角为120°.13.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求证:B1C1⊥平面ABB1A1;(3)设E是CC1上一点,试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE,并说明理由.(1)证明:连接AB1,与A1B相交于M,则M为A1B的中点,连接MD.又D为AC的中点,所以B1C∥MD.又B1C⊄平面A1BD,MD⊂平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)证明:因为AB=B1B,所以四边形ABB1A1为正方形.所以A1B⊥AB1.又因为AC1⊥平面A1BD,所以AC1⊥A1B.所以A1B⊥平面AB1C1,所以A1B⊥B1C1.又在棱柱ABCA1B1C1中BB1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A1.(3)解:当点E为C1C的中点时,平面A1BD⊥平面BDE,因为D,E分别为AC,C1C的中点,所以DE∥AC1.因为AC1⊥平面A1BD,所以DE⊥平面A1BD.又DE⊂平面BDE,所以平面A1BD⊥平面BDE.14.(2024·浙江金华十校联考)如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.(1)求点C到平面A1ABB1的距离;(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1CDC1的平面角的余弦值.解:(1)由AC=BC,D为AB的中点,得CD⊥AB,又CD⊥AA1,故CD⊥平面A1ABB1,所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==.(2)如图,取D1为A1B1的中点,连接DD1,则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥平面A1ABB1,故CD⊥A1D,CD⊥DD1,所以∠A1DD1为所求的二面角A1CDC1的平面角.因为CD⊥平面A1ABB1,AB1⊂平面A1ABB1,所以AB1⊥CD,又AB1⊥A1C,A1C∩CD=C,所以AB1⊥平面A1CD,故AB1⊥A1D,从而∠A1AB1,∠A1DA都与∠B1AB互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此=,即A1A2=AD·A1B1=8,得A1A=2.从而A1D==2.所以,在Rt△A1D1D中,cos∠A1DD1===.15.在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中不成立的是(C)(A)BC∥平面PDF (B)DF⊥平面PAE(C)平面PDF⊥平面ABC (D)平面PAE⊥平面ABC解析:可画出对应图形,如图所示,则BC∥DF.又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,故A成立.由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,所以DF⊥平面PAE,故B成立.又DF⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAE,故D成立.故选C.16.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,M为棱BB1的中点,则下列结论中错误的是(D)(A)D1O∥平面A1BC1(B)MO⊥平面A1BC1(C)异面直线BC1与AC所成的角等于60°(D)二面角MACB等于90°解:对于选项A,连接B1D1,交A1C1于E,连接BO,则四边形D1OBE为平行四边形,所以D1O∥BE,因为D1O⊄平面A1BC1,BE⊂平面A1BC1,所以D1O∥平面A1BC1,故正确;对于选项B,连接B1D,因为O为底面ABCD的中心,M为棱BB1的中点,所以MO∥B1D,易证B1D⊥平面A1BC1,所以MO⊥平面A1BC1,故正确;对于选项C,因为AC∥A1C1,所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角,因为△A1C1B为等边三角形,所以∠A1C1B=60°,故正确;对于选项D,因为BO⊥AC,MO⊥AC,所以∠MOB为二面角MACB的平面角,明显不等于90°,故不正确.综上知,选D.17.如图,二面角αlβ的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值为.

解析:如图,过点A作平面β的垂线,垂足为C,在平面β内过C作l的垂线,垂足为D,连接AD.由线面垂直的判定定理,可知l⊥平面ACD,则l⊥AD,故∠ADC为二面角αlβ的平面角,即∠ADC=60°.连接CB,明显,∠ABC为AB与平面β所成的角.设AD=2,则AC=,AB==4,故sin∠ABC==.答案:18.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满意时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

解析:DM⊥PC.连接AC,则AC⊥BD.因为PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(答案不唯一)19.如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将三角形ABD沿BD折起,得到三棱锥ABCD.(1)求证:平面AOC⊥平面BCD,(2)若三棱锥ABCD的体积为,求AC的长.(1)证明:折叠前,因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AO,BD⊥CO.在折叠后的△ABD和△BCD中,仍有BD⊥AO,BD⊥CO.因为AO∩CO=O,AO⊂平面AOC,CO⊂平面AOC,所以BD⊥平面AOC.因为BD⊂平面BCD,所以平面AOC⊥平面BCD.(2)解:设三棱锥ABCD的高为h,由于三棱锥ABCD的体积为,所以S△BCDh=.因为S△BCD=BC×CD=×2×2=2,所以h=<AO=.以下分两种情形求AC的长.①当∠AOC为钝角时,如图①,过点A作CO的垂线AH交CO的延长线于点H,由(1)知BD⊥平面AOC,所以BD⊥AH.又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH为三棱锥ABCD的高,即AH