专题08球体综合问题小题综合

专题08球体综合问题小题综合冲刺秘籍冲刺秘籍立体几何基础公式所有椎体体积公式：所有柱体体积公式：球体体积公式：球体表面积公式：圆柱：圆锥：长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式已知长宽高求体对角线：已知共点三面对角线求体对角线：棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.冲刺训练冲刺训练一、单选题1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（

）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】根据球与圆锥的表面积计算公式，建立方程，可得答案.【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为，则，即，，球的表面积，圆锥的表面积，则.故选：B.2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得到圆台和半球的体积，即可求解．【详解】，，剩余部分几何体的体积为．故选:C3．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，再根据结合球的表面积公式即可得解.【详解】在中，，则，所以，设外接圆的半径为，则，所以，设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，半径为，由平面，得，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：A.4．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用点均在球的表面上可得四点共圆，先证明平面，得出二面角的平面角为，可计算出，再利用勾股定理可得出四边形外接圆的直径为，则，最后利用外接球的表面积公式代入即可得出答案.【详解】因为，所以，因为点均在球的表面上，所以四边形内接于圆，所以，所以，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又，所以二面角的平面角为，所以，在中，因为，所以，由余弦定理可得：，即，即或（舍去），所以，所以外接圆的直径为：，即四边形外接圆的直径为，因为平面，所以，四棱锥外接球的半径为：所以四面体外接球的表面积为.

故选：B.5．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知圆锥PO的高及底面圆直径均为2，若圆锥PO在球内，则球的体积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，可得球的体积最小时，圆锥PO为球的内切圆锥，再求出球半径作答.【详解】依题意，当球的体积最小时，圆锥PO为球的内切圆锥，因此圆锥PO的轴截面三角形外接圆是球的大圆，设圆锥PO的轴截面等腰三角形底角为，而腰长为，则，因此球的半径，所以球的体积的最小值为.故选：A6．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得到平面ABEF，进一步得出，，则MC为外接球直径，代入球的表面积公式即可求解．【详解】由可知，，，可求，，，因为平面平面ABEF，平面平面，又，平面，所以平面ABEF，平面ABEF，所以，由，，得，又，同理可得得，又，所以，所以.所以MC为外接球直径，在Rt△MBC中，即，故外接球表面积为．故选：A．7．（2023·辽宁·校联考三模）在三棱锥中，，平面经过的中点，并且与垂直，当截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取靠近的四等分点，的中点，截此三棱锥所得的截面为平面，当时截面面积最大，，为，外接圆圆心，球心满足面，面，由求得外接球的半径进而求得球的表面积.【详解】

如图所示取靠近的四等分点，的中点，连接，，.由，可知.同理可知.又，所以平面，所以平面即为平面.又易知，所以截此三棱锥所得的截面面积为，当时，取得最大值，设为外接球球心，，为，外接圆圆心，球心满足面，面，所以四边形为正方形，且，，，∴.故选：D.8．（2023·河北·统考模拟预测）在正四面体中，为的中点，点在以为球心的球上运动，，且恒有，已知三棱锥的体积的最大值为，则正四面体外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析得出在处到平面的距离最远，即三棱锥的体积最大，利用等体积法即可得出正四面体边长，即可得外接正方体的边长，然后利用正方体外接球体积公式求解即可.【详解】由题知，为的中点，点在以为球心的球上运动，，所以都在以为球心的球上，又因，则在的中垂面上，如图，

连接，都为正三角形，且为的中点，，，平面，平面，平面，平面是的中垂面，即在平面上，所以点在平面与以为球心，为半径的球的交线上，即在以为圆心，为半径的平面内的圆上，取中点，连接，延长至点，使，作在平面内，以为圆心，为半径的圆，则圆上的点到平面的距离最远，故在处，设，则，，平面，平面，,,,在中，，点到平面的距离，所以，解得，

如图则其外接正方体的边长为，所以正四面体外接球即为边长为正方体的外接球，故外接球半径，所以外接球体积.故选：A【点睛】关键点睛：本题考查三棱锥的体积问题，三棱锥的外接球问题，运动变化思想的应用，方程思想，属于难题.9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取AC的中点M，可得即为二面角的平面角，△ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，在平面ABC内，设，然后表示出外接球的半径，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求得答案.【详解】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接，因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角，△ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；在平面ABC内，设，则，，因为，所以，所以，所以

令，则，所以，当且仅当时取等，故选:B【点睛】关键点点睛：本题主要考查了三棱锥外接球的求法、三角函数的最值问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心位置，考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力，考查学生的推理运算能力，属于难题.10．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，平面四边形ABCD中，，为正三角形，以AC为折痕将折起，使D点达到P点位置，且二面角的余弦值为，当三棱锥的体积取得最大值，且最大值为时，三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作平面，垂足为，作，垂足为，连接，则为二面角的补角，为的中点，设，根据二面角的余弦值可求得，再根据三棱锥的体积取得最大值结合基本不等式求出，再利用勾股定理求出三棱锥外接球的半径，根据球的体积公式即可得解.【详解】过点作平面，垂足为，作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以，则为二面角的补角，故，因为，所以为的中点，设，则，在中，，则，，由，得当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值，，当且仅当时，取等号，所以，解得，则，设三棱锥外接球的球心为，则平面，设，由得，解得，则三棱锥外接球的半径，所以三棱锥外接球的体积为.故选：D.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.二、多选题11．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，.若点O到三棱柱的所有面的距离都相等，则（

）A．平面B．C．平面截球O所得截面圆的周长为D．球O的表面积为【答案】AC【分析】根据球的性质可判断为直棱柱，即可判断A，由内切球的性质，结合三棱柱的特征即可判断B，由勾股定理以及等边三角形的性质可判断CD.【详解】选项A，三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，根据球的对称性可知三棱柱为直棱柱，所以平面，因此A正确.选项B：因为，所以.因为点O到三棱柱的所有面的距离都相等，所以三棱柱的内切球与外接球的球心重合.设该三棱柱的内切球的半径为r，与底面以及侧面相切于,则,由于为矩形的对角线交点，所以，而三角形为等边三角形，所以,所以，所以，因此B错误.

选项C：由，可知，解得（负值已舍去），则.易得的外接圆的半径，所以平面截球O所得截面圆的周长为，因此C正确.选项D：三棱柱外接球的半径，所以球O的表面积，因此D错误.故选：AC12．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面正好经过点，则下列结论中正确的是（

）

A．平面B．球的体积为C．球被平面截得的截面面积为D．过点与直线，所成角均为的直线可作4条【答案】ABD【分析】设分别为的中点，连接，根据线面垂直的判定定理可判断A；求出球的半径，计算球的体积，进而判断B；求出球O被平面截得的截面圆的半径，可求得截面面积，进而判断C；通过平移与补形法，通过角平分线的转化寻找平面进而找出直线，从而可判断D.【详解】设分别为的中点，连接，

则,故，则四边形为平行四边形，故交于一点，且互相平分，即O点也为的中点，又，故,平面，故平面，由于平面，则平面，故，结合O点也为的中点，同理可证,平面，故平面，A正确；由球O的表面正好经过点M，则球O的半径为,棱长为2的正四面体中，，M为的中点，则，故,则，所以球O的体积为，B正确；由平面，平面，故平面平面，平面平面，由于平面，延长交平面于G点，则平面，垂足G落在上，且G为正的中心，故，所以，故球O被平面截得的截面圆的半径为，则球O被平面截得的截面圆的面积为，C错误；由题意得，正四面体可以放入正方体内，如下图所示，将平移至正方体的底面内，过和的角平分线作垂直于底面的平面，即平面，在平面内一定存在过O点的两条直线使得该直线与直线，所成角均为，同理可知，过和的角平分线作垂直于底面的平面也存在两条直线满足题意，所以过点与直线，所成角均为的直线可作4条，D正确.

故选：ABD【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题.要结合图形的特点，作出适合的辅助线，要善于观察图形特点，放入特殊图形中从而快速求解.三、填空题13．（2023·广东潮州·统考模拟预测）已知圆柱的侧面积为，其外接球的表面积为，则的最小值为．【答案】【分析】设圆柱的底面半径为，高为，根据题意求得，利用基本不等式求得圆柱的外接球半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】设圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱的侧面积为，所以，得，设圆柱的外接球半径为，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为1，所以外接球的表面积的最小值为.故答案为：．14．（2023·云南曲靖·校考三模）已知点均在球的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为.【答案】【分析】依题意当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，由求出，再根据球的体积公式计算可得.【详解】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的体积为.

故答案为：15．（2023·全国·模拟预测）已知在三棱锥中，是面积为的正三角形，平面平面，若三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为．【答案】1【分析】首先根据已知可推得，当为的中点时，三棱锥的高的值最大.然后由以及确定球心位置.进而根据已知，求出，即可得出答案.【详解】第一步：找到三棱锥的体积最大时点的位置过点作于点.因为平面平面，平面平面，面，所以平面，所以，所以要使三棱锥的体积最大，则需的值最大．易知点在同一个圆上，则当为的中点时，的值最大，此时为等腰三角形，且．第二步：利用外接球球心的位置构造矩形如图，设外接球的球心为，，的外接圆圆心分别为，连接，易知分别在线段上，连接.显然，平面，平面.因为是的中点，是面积为的正三角形，所以.因为平面平面，平面，平面平面，所以，平面.因为平面，所以.又平面，所以，所以.同理可得，，所以四边形为平行四边形.又，所以四边形为矩形.第三步：求出，即可得解由，得，得，所以，则．设球的半径为，则由已知可得，，所以．连接，则，则，所以，从而．【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.16．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的体积为．【答案】【分析】将三棱锥补成直三棱柱，直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，确定外接球球心的位置，求出底面三角形的外接圆半径，进而求得三棱锥外接球半径，即可得答案.【详解】因为，，所以在中，根据余弦定理可得：，即．所以，所以∠ABC=120°，所以底面是顶角为120°的等腰三角形．由题意将三棱锥补成如图所示的直三棱柱，则该直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上．设外接圆的半径为r，三棱锥外接球的半径为R，由正弦定理得，，所以，，所以三棱锥外接球的体积为，故答案为：17．（2023·浙江·校联考三模）将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1，则六面体外接球的体积为．【答案】/【分析】根据正三棱锥的几何性质，确定其形成六面体的外接球球心的位置及半径的长，从而列式求得半径，即可得六面体外接球的体积.【详解】如图所示，记两个形状完全相同的正三棱锥为三棱锥和三棱锥设点A在面上的投影为点O，则、O、A三点共线．在三棱锥和中，到几何体各顶点距离相等的点分别在和上若组合后的六面体存在外接球，则O为外接球的球心，设，则，因为O为的中心，所以即，所以，解得所以球的体积为.故答案为：.18．（2023·全国·模拟预测）已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为，，体积分别为，，若，则．【答案】【分析】找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系，用，表示出圆台和球的表面积，由条件求出，之间的关系，结合球的体积公式求.【详解】第一步：找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系设圆台的母线长为，高为，上、下底面圆心分别为，，半径分别为，，球的球心为，半径为，作出该组合体的轴截面如图所示，连接，易知点为的中点，则．设为球与圆台侧面的一个切点，连接，根据切线长定理可得，（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等）所以（勾股定理的应用）所以，第二步：用，表示出圆台和球的表面积则，，（圆台的表面积公式）第三步：根据得到，之间的关系故，第四步：求出所以．故答案为：.19．（2023·山东淄博·统考二模）在三棱锥中，底面为的中点.若三棱锥的顶点均在球的球面上，是该球面上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的表面积为.【答案】【分析】首先证明的中点为三棱锥外接球球心，到平面的距离为，到平面的距离的最大值为，而三棱锥体积的最大值是，由棱锥体积公式列方程求得，从而得球半径后可得球表面积．【详解】由且是中点得,又平面,平面,所以,同理,，而,平面,所以平面,又平面,所以,设中点为,则到四点距离相等,即为三棱锥的外接球的球心,三棱锥体积的最大值是，是中点,则三棱锥体积的最大值是，又由平面（即平面），设是中点，连接，则，所以平面，所以到平面的距离为，，即球的半径为，所以到平面的距离的最大值为，而，所以，解得，所以球的半径为，表面积为．故答案为：．20．（2023·浙江金华·校考三模）在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，PA=1，AB=，AD=4，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，满足MA等于M到边CD的距离.当三棱锥P－ABM的体积最小时，三棱锥P－ABM的外接球的表面积为．【答案】【分析】根据抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线位于矩形内的一部分，找到三棱锥P－ABM的体积最小时的点F，然后利用补体法求出外接球的半径，即可求出表面积.【详解】由抛物线定义可知：点位于底面矩形内以点A为焦点，为准线的抛物线上，记点的轨迹为曲线，在矩形内以点为坐标原点，为轴，过点作垂线为轴建立如图示平面直角坐标系，由AD=p=4知抛物线的标准方程为：，又AB=，所以，所以，当点位于时，面积最小，又平面ABCD，此时三棱锥的体积最小，三棱锥的外接球与以PA，AB，BF为长宽高的长方体的外接球相同，由长方体外接球模型可知，三棱锥外接球球心为的中点，此外接球的半径为：，所以．故答案为：21．（2023·海南·校联考模拟预测）已知某球的体积为，该球的某截面圆的面积为，则球面上的点到该截面圆心的最大距离为．【答案】3【分析】先求出球心到平面的距离为，再求点到该截面圆的最大距离.【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为，则，因为球的体积为所以因为截面圆的面积为，所以，故，所以，所以球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为，故最大距离为.故答案为:.22．（2023·海南海口·统考模拟预测）在正三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为.【答案】【分析】画出正三棱锥，设出球心，由勾股定理建立等量关系求得外接球半径，由球的表面积公式求解即可.【详解】如图：在正三棱锥，.在等边三角形中，为中点，，所以，在直角三角形中，，设三棱锥外接球半径为，在直角三角形中，，.由勾股定理得：，解得：，所以该三棱锥外接球的表面积为：.故答案为：.23．（2023·山东淄博·统考三模）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其内切球的表面积之比为.【答案】【分析】由已知先计算圆锥母线与底面圆半径的关系，再确定其内切球半径，最后由圆锥的侧面积与球的表面积公式计算即可.【详解】

如图所示圆锥IF，设其底面圆心为F，半径为r，内切球球心为O，半径为R，内切球与母线IH切于点G，则由题意可知，故，易知，即，所以，圆锥的侧面积为，内切球的表面积为，故.故答案为：24．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，记该正四棱台的侧面积为，其外接球表面积为，则当取得最小值时，的值是.【答案】【分析】由球的表面积公式求解四棱台的外接球表面积，并求出侧面积，然后求解即可.【详解】当取得最小值时，则球心在正四棱台的下底面内，为上底面的中心，如图所示，

由此可得外接球的半径为，进而可得，进而可求侧面的斜高.则侧面的面积，又，所以.故答案为：.25．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为．【答案】【分析】先找出正四棱锥的侧棱所有三等分点构成一个正四棱台，即为求正四棱台的外接球.【详解】如图，正四棱锥的侧棱的所有三等分点构成一个正四棱台，棱台上底面是边长为1的正方形，棱台下底面是边长为2的正方形，侧棱长为1，

可求得棱台的高为，设该棱台的外接球的半径为，球心到下底面的距离，球心到上底面的距离，①球心在两个底面之间时，所以，因为，则，则上式无解；②球心在下底面下方时，，，两边同时平方：，，解得：，表面积，故答案为：.26．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知正方体的棱长为，点E为棱上一动点，点F为棱上一动点，且满足，则三棱锥外接球的表面积为.【答案】【分析】利用线面垂直的性质得，再求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到答案.【详解】如图所示：取EF的中点O，连接，由正方体的性质可得平面，又∵，∴，即同理，∴，由直角三角形的性质可得，∴O为的外接球的球心，为外接球的直径，∵，∴的外接球的半径恒为1，∴的外接球的表面积恒为，故答案为：.27．（2023·广东深圳·统考二模）如图，已知球的表面积为，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和侧面都相切，则圆锥的体积的最小值为.

【答案】【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥的高为，则母线长为，利用圆锥的轴截面得，求出圆锥的体积，令，再利用基本不等式或利用导数求最值可得答案.【详解】依题意，得球的半径，设圆锥的底面半径为，圆锥的高为，则母线长为，如图是圆锥的轴截面，则轴截面的面积，即，平方整理得，则圆锥的体积，令，则，当且仅当时取得最小值，此时.[或求导：，所以，当即时，单调递增，当即时，单调递减，所以当时最小，且最小值为.]故答案为：.

28．（2023·福建漳州·福建省漳州第一中学统考模拟预测）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上.若该正四棱锥的体积为，则该球的表面积的最小值为.【答案】【分析】先由棱锥体积公式结合勾股定理表示出球的半径，构