2025年三维空间解析与立体几何核心要点深度梳理

一对一讲课教案

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教学主题空间向量与立体几何

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知识要点。

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表达,同向等长的有向线段表达同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性

2.空间向量的运算。

定义：与平面向晨运算同样，空间向最的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB=OA-^-AB=a+b,BA=dA-dB=d-h\OP=^a（A^R）

运算律：⑴加法互换律：a+b=b+a

⑵加法结合律：=a

⑶数乘分派律：4（日+方）=而+之方

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则

3.共线向曷。

（D假如表达空间向量的有向线段所在的直线平行或重叠，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，2平行于

b,记作d〃bO

（2）共线向量定理：空间任意两个向量”B（Bw。），3〃月存在实数九使之=i5。

（3）三点共线：A、B、C三点共线＜=＞而=义/

＜=＞OC=xOA+）而（其祗+尸1）

（4）与。共线的单位向量为£

士同

4.共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

阐明：空间任意的两向量都是共面的。

（2】共面向量定理：假如两个向量吊5不共线，力与向量值）共面的条件是存在实数使力=xM+y5。

（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面V=＞而=.t而+y而'

＜=＞而=工砺+），0后+2比（其中X+y+Z=l）

5.空间向量基本定理：假如三个向量2,反？不共面，那么对空间任历来量P,存在一种唯一的有序实数组X,y,z,

—♦

使p=ya+yb+zcu

若三向量不共面，我们把伍.瓦为叫做空间的一种基底，7瓦？叫做基向量，空间任意三个不共面的向量

都可以构成空间的一种基底。

推论：设。A8,c是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数X,y,Z,使

OP=xOA+yOB+zOC。

6.空间向量的直角坐标系：

(I)空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O-A>'Z中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,.y,z),使OA=xi+yi+zk,有序实

数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系。一冷2中的坐标，记作A(x,y,z),x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐

标。

注：①点A(x,y,z)有关x轴的的对称点为(x「y,-z),有关xoy平面为对称点为(x,y,-z).即点有关什么轴/平面对•称，什

么坐标不变，其他的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)

⑵若空间的一种基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，用｛if｝表达。空间中任历

来量a=xi-\-yj-\-zk=(x,y,z)

(3)空间向量的直角坐标运算律：

①走\a—(4、ci?,ciy),b—(b]，仿,")，则a+Z?=(q+b],出+瓦+么),

a-b={a}-b],a2-h2,a3-b3)tAa=,Aa2,Aa3)(2GR),

―♦—•

a-b=a]bx+a2b2+贴3，

..

al/b=a、=独吗=勿(几£R),

a±b<^>+02b2+a3h=0o

②若A(X，X，Z|),B(x2,y2,z2),则A月=(W一为，%-凹4-zj。

一种向量在直角坐标系中的坐标等于表达这个向量的有向线段的终点的坐蹩去虺的坐标。

③定比分点公式：若A(x，y,Z1),B(x29y2,z2),~AP=XPB,则点P坐标为

%]+AX2必+Ay2Z]+AZ2

)。推导：设P(x,y,z)则(不一元］)一)1,2-4)=4％一儿力一)'，22—2),显然,

1+2'l+X'1+4

当P为AB中点时，夕(干工中，手)

222

④A(x]9yl,zl),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),三角形重心P坐标为

P产+&+&»+4+34+Z2+Z*

3'2'2

⑤4ABC的五心：

内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。一通正(单位向量)

A”俞卡前

外心P:外接圆的圆心，中垂线的交点。|西卜|丽卜］正］

垂心P：高的交点：PA~P13=PAPC=7BPC(移项，内积为0,则垂直)

重心P:中线的交点，三等分点(中位线比)(丽+而

中心：正三角形的所有心的合一。

(4)模长公式:若。=(4生,%)，万=(〃［也也)，

则Ia|=\/a-a=4a；+"，仍h^/^=Jb：+蜡+么?

（5J夹角公式：©os（ab\-"I_4“+a也+。也°

-I司•仍「、一+aJ+a；扬、b；+b；

AABC中①丽•AC>0<=>A为锐角②Q•AC<0<=>A为钝角，钝角A

（6）两点间的距离公式:若4%,y,zJ,B（x2,y2,z2）,

则|AB|=4AB=J（%2—X1）2+（了2—）））2+（Z?-Z］）2'

或d,\B=,（弓一%）2+（%一乂）2+（22—4）2

7.空间向量的数量积。__

（1）空间向量的夹角及其表达：已知两非零向量乙4,在空间任取一点O,作厉砺=5,则NAO3叫

做向量2与日的夹角，记作<，/>；且规定04</花><〃，显然有<五石>=<5,万>：若<G.B>=巴,则称日

2

与5互相垂直，记作：alb.

（2〕向量的模：设方=5,则有向线段次的长度叫做向量M的长度或模，记作：|力|。

（3）向量的数量积：已知向量则151•出叫做方的数量积，记作小6,即

a-b=\a\-\h\'cos<a,h>0

（4）空间向量数量积的性质：

—♦—♦

①=|M|cosv万,0>。②M_L〃0M•0=（）。③111'1•万。

（5）空间向量数量积运算律：

①（义㈤B=4（⑦5）=万・（25）°②a•BB•d（互换律）。

@a-（b^c）=a-b-^d-c（分派律）。

—♦—♦——♦—

④不满足乘法结合率：（a・，）cw〃（/?•（?）

二.空间向量与立体几何

1.线线平行o两线的方向向量平行

|-|线面平行=线的方向向量与面的法向量垂直

1-2面面平行。两面的法向量平行

2线线垂直（共面与异面）O两线的方向向量垂直

2-1线面垂直O线与面的法向量平行

2-2面面垂直。两面的法向量垂直

——•—*—*

3线线夹角。（共面与异面）［0",90"］<=>两线的方向向量〃|,4的夹角或夹角的补角，cos6=cos<m,〃2〉

3-1线面夹角〃［00,90°］：求线面夹角的环节：先求线的方向向量4P与面的法向量〃的夹角，若为锐角角即可,

若为盹角，则取其补角；再求其他用，即是线面的夹角.sin6=cos<AP,〃>

3-2面面夹角（二面角），［0。,180°］：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量〃I，2的夹角；法向

量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.cos0=±cos<7?1,n2>

4.点面距离/2：求点尸（七,%）到平面。的距离：在平面。上去一点Q（x,y），得向量Pd；；计算平面。的法

向量〃;•〃PQ•7z|

TT

4；线面距离（线面平行）：转化为点面距离

4-2面面距离(面面平行)：转化为点面距离

【经典例题】

1.基本运算与基本知识()

例1.已知平行六面体ABCD—ATTCD，，化简下列向量体现式，标出化简成果的向量。

(DAB+BC；(2)AB+AD^AA

⑶AB^AD+^CC；(4)1(AB+AD+A4;)。

例2.对空间任一点。和不共线的三点AB,C,问满足向量式：

OP=xOA+yOBzOC(其中x+y+z=l)的四点P,ARC与否共面?

例3已知空间三点A(0,2,3),B(-2,I,6),C(1,一1,5)。

⑴求以向量而，恁为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量不分别与向量而，而1垂直，且|团=有，求向量2的坐标。

2.基底法(怎样找，转化为基底运算)

3.坐标法(怎样建立空间直角坐标系，找坐标)

4.几何法

例4.如图，在空间四边形O4BC中，04=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45,ZOAB=60,求

Q4与8c的夹角的余弦值。

阐明：由图形知向量的夹角易出错，如<O4,A(?>=135易错写成<OAAC>=45。，牢记！

例5.长方体AB。—AMGR中，AB=BC=4,E为A©与BR的交点,F为BC1与的交点,又

AFA.BE,求长方体的高

【模拟试题】

I.已知空间四边形4BCD,连结AC,40,设M,G分别是5C,CO的中点，化简卜列各体现式，并标出化简成果

向量：（1）AB+BC+CD；

⑵而+g（而+丽；（3）而一而+宿。

2.已知平行四边形A8CD,从平面AC外一点O引向吊:。

0E=k0A,0F=k0B,0G=k0C,0H=k0D.

（1）求证：四点E,F,G,”共面；

（2）平面AC〃平面EG。

3.如田正方体八8845C4中，用片=；44，求8月与。再所成角的余弦。

5.已知平行六面体ABCO—ABT'Q'中，

AB=4,A。=3,AAf=5,NBAD=90,

NA44=ADAA:=60,求AC的长。

［参照答案］

I.解:如图,A

(I)AS+BC+CS=XC+CD=AD；

(2)AB+-(BD+BC)=AB+-BC+-BD

222O

=AB+~BM+MG=AG；

⑶AG-^(AB-i-AC)=AG-AM=MG.

2.解：(1)证明：•・•四边形ABC。是平行四边形，：,AC=AB+AD,

-EG=OG-OE,

=k-OC-kWi=k(OC-OA)=kAC=k(AB+AD)

=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE

=EF+EH

・•・ERG,“共面；

(2)解：t：EF=OF-OE=k(OB-OA)=kAB,又•:百=k•衣,

・•・EF//AB,EG//AC.

因此，平面AC〃平面EG。

3.解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系。-冷z,

则B(1,1,O),耳(11,1),D(0,0,0),『0,；』),