2025年上海市数学高考一轮复习精讲精练 第12讲圆锥曲线（10类核心考点精讲精练）含详解

第12讲圆锥曲线（10类核心考点精讲精练）

IV考情探究,

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

抛物线的定义、抛物线的焦点与准线，双曲线的性质、直线与双曲线的位

2024年秋考7、20题

置关系

2024年春考8、20题

双曲线的定义、离心率的计算公式，直线与圆锥曲线综合问题

与曲线方程有关的新定义，抛物线的定义及其性质、直线与抛物线综合应

2023秋考16、20题

用

2023春考20题

离心率的求法、椭圆与双曲线的几何性质、直线与椭圆的综合

双曲线的性质，点到直线的距离公式、椭圆方程的求解、椭圆中最值与范

2022秋考2、20题围等问题

2022春考11、20题双曲线的性质，直线与椭圆综合、涉及椭圆方程求解、直线交点求解、基

本不等式的应用

直线斜率的定义与计算、抛物线的定义等知识，平面向量与圆锥曲线综合

2021年秋考11、20题

题、直线与椭圆位置关系的应用

2021年春考11、19题

椭圆的定义和性质，双曲线的方程在实际问题中的应用

2020年秋考10、20题椭圆的简单性质的应用，双曲线与圆的定义和方程、直线与圆的方程、双

2020年春考15、20题曲线的方程联立

凯迹方程的求法与判断，点到焦点距离的求法、抛物线、直线方程等知识

2.备考策略

1.椭圆定义的应用技巧

（1）椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.

（2）通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面枳问题.

2.根据条件求概圆方程的主要方法

（1）定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足桶圆的定义.

（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的巴〃.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求楠圆的方

程为）=]Q〃>O,〃>o,〃中〃）；与椭圆共焦点的横圆方程可设为T---1¥1=15>6>0,

m>-b2）;与椭圆三十三=1（心6>0）有相同离心率的椭圆方程可设为5+二=/）.或《+三=2（公》>0,A>0）.

a-b2a-b，a-b2

3.求械圆离心率或其范围的方法

⑴直接求出4,C,利用离心率公式e=£求解.

A2

⑵由a与人的关系求离心率，利用变形公式e=1一;求解.

a-

(3)构造凡。的方程.可以不求出a,c的具体值，而是得出。与c的关系，从而求得e.

4.与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是怖圆的性质.

(2)利用函数，尤其是二次函数.

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

5.求双由线的标准方程的方法

(1)定义法：由题目条件判断出动点就迹是双曲线，确定2a,2b或2c,从而求出a\b2.

(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为”：一'：=“2=0),与双曲线£

nrn-a-

2)22

J；=l(a>0,及>0)有公共焦点的双曲线方程可设为5-9=l(-a2<2<b2):与双曲线:一匕=1具有相同渐近

b2a-+2b--).crb2

线的双曲线方程可设为X=W。）.

6.求抛物线的标准方程的方法

(1)定义法.

(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.

7.解决国推曲线“中点弦”问题的思路

(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中

点坐标公式求解.

(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为力(xi,yi),Eg,y2),将这两点坐标分别代入圆维曲线的方

程，并对所得两式作差，得到一个与戈48的中点和直线48的斜率有关的式子，可以大大减少计算量.

8.圆锥由线中取值范围问咫的五种常用解法

(I)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

9.圆锥由线中最值的求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考点利用图形性质来解决.

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最

值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.

1().求解直线或曲线过定点问题的基本思路

(1)把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意

参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点

就是直线或曲线所过的定点.

(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式j，一次=-x-xo),则直线必过定点(xo,次)；若得到了直

线方程的斜截式歹=6+〃?，则直线必过定点(0,m).

11.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.

(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.

(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.

12.存在性问题的解题策略

存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.

(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.

(3)当要讨论的量能,够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.

『在•考点梳理。

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点E,乃的距离的和等于赏童(大于尸产2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两

焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

注意：⑴当动点M满足IA/KI+IA/&尸常数＞|*B|时，动点M的轨迹为椭圆：

⑵当动点M满足|MP|十|MB尸常数=阴6|时，动点M的轨迹为以产2为两端点的线段；

(3)当动点用满足眼川+|八优|=常数〈尸尸2|时，动点M的轨迹不存在.

2.椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

_JL

图形

BSOMBTX

工+匕=1(〃20)：K=s>。)

标准方程

crb一

范围-.WxWa此一bWiWJ一bWxWb目.一aWiWa

4(-a.O),片。。,0),41(0,一。)，-2(0，。)，

顶点

8(0,一力)，BXO,b\&(一氏0),BXb。)

轴长短轴长为2,长轴长为%

焦点Q(-c.O),同90)E((),—c),F2(0,C)

焦距

|F,F2|=2C

对称性对称轴：式轴和y轴,对称中心：原点

C

离心率e=(0<e<\)

a

a,b,c的关系

3.双曲线的定义

把平面内与两个定点内，b2的距离的差的维处值等于非零常数(±±俨小2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做

双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦廖一

注意：（1）若将“小于|乃出|"改为“等于।尸正2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以a,B为端点的两条射线（包

括端点）；若将其改为“大于IEBI"，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.

（2）若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.

（3）若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段的垂直平分线.

4.双曲线的标准方程和简单几何性质

5一]=1(4>0,b>0)H130,b>0]

标准方程

crZra-b~

图形

隹占

/»*%，》、、尸1(—C0),尸2亿0)“1(0,­C),B(0，c)

焦距IQBI=2c

范围xW-a或y£RyW—4或x£R

对称性对称轴：坐标:1；对称中心：MA

顶点力"一40),/KaO)4i（0,一。），力2（0,a）

性质

实轴：线段4出，长：2a；虚轴：线段当生，长：独,实半轴长：

轴

a,虚半轴长:b

y=±bx,a

渐近线尸土4

a

离心率+8)

a

a,b,c的关系c2=a2-^-b2(c>a>0,c>b>0)

5.抛物线的概念

把平面内与一个定点尸和一条定直线/（/不经过点灯的距离相绘的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫内抛物线的焦点,

直线"U做抛物线的准线.

注意：定点厂不在定直线/上，否则动点"的轨迹不是抛物线，而是过点尸垂直于直线/的一条直线.

6.抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程y=263*0)y2=—2px(p>0)x-=2p)\p>0)x2=—2p)\p>0)

TVa/

图形一Wv

/—

范围X20,y£RxWO,y£R代0,x£RyWO,xeR

回

焦点R。）,-9

Pp

准线方程X=x=y=­

-222

对称轴X轴j，轴

顶点

离心率e=\

7.直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去六或x），得到关于x（或历的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交台/加；

直线与留锥曲线相切台/三0；直线与圆锥曲线相离台/4）.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.

8.弦长公式

己知.4（X1，尸），“（X2,同，直线4〃的斜率为氏（&*（））,

则|44尸（XI—X2）2+5—/）2

=1+矽》一刈

=1+尸（X|+X2）I.23—4x1X2,

或1彳同=1+!川一刃

K~

1

1+S+_V2)2-4加2.

尸

知识讲解

考点一.椭圆的几何特征

4典例引领

I.（2024•闵行区校级模拟）已知椭圆C的焦点片、8都在x轴上，P为椭圆C上一点，△PF、F］的周长为6,且|尸片|,

|耳心|尸乃|成等差数列，则椭圆C的标准方程为.

2.（2024•普陀区校级模拟）如图所示，平面直角坐标系xQv中，四边形48co满足,CBLCD,

22

瓦i辰+2次友=0,若点孔C分别为椭圆£±+々=13>0）的上、下顶点，点4在椭圆E上，点。不在椭

8b“

圆E上，则椭圆E的焦距为一.

中即时检测

3.（2024•虹口区模拟）已知农历每月的第/+1天（0,」.29,zwN）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为

——=—+4=1*其中，•为常数，根据以上信息，卜列说法中止确的有（）

①农历每月第d（L430SwN・）天和第30-1天的月相外边缘形状相同;

②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2r；

③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；

④农历仞六至初八的月相外边缘离心率在区间（*』）内.

A.①③B.②④C.①@D.③④

4.（2024•徐汇区校级模拟）已知片，入分别为椭圆C：5+/

=15＞方＞0）的左、右焦点，过6的直线与C交于尸，

。两点,若|产月|=2|尸鸟|=3|£Q|,则。的离心率是

考点二.直线与椭圆的综合

典例引领

5.（2024•徐汇区模拟）已知椭圆C：?+?=l,4、4分别为椭圆C的左、右顶点，F、、5分别为左、右焦点,

直线I交椭圆C于M、N两点（/不过点4）.

（1）若。为椭圆c上（除4、4外）任意一点，求直线。4和。4的斜率之积；

（2）若NF\=2F\M，求直线/的方程；

O

（3）若直线时应与直线N4的斜率分别是K、右，且左/=-],求证：直线/过定点.

6.（2024•浦东新区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆「:£+_/=]的左，右焦点分别为6，%

设P是第一象限内「上的--点，PF、、0鸟的延长线分别交「于点9、Q2.

（1）求的周长；

（2）求面积的取值范围；

（3）求，”口的最大值・

即时检测

7.（2024•嘉定区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆「:与+9=1的左、右焦点分册为《、工，设尸

是第一象限内「上的一点，PF、、P用的延长线分别交「于点乌、Q2.

（1）求△尸片值的周长；

（2）求面积的取值范围；

（3）设4、弓分别为△/¥；&、△尸工2的内切圆半径，求，•「G的最大值.

7

8.（2024•松江区二模）如图，椭圆+的上、下焦点分别为片、F2,过上焦点片与y轴垂直的直线交椭

圆于M、N两点，动点尸、。分别在直线MN与椭圆「上.

（1）求线段MN的长；

（2）若线段P0的中点在x轴上，求△&PQ的面积；

（3）是否存在以K。、尼尸为邻边的矩形80即，使得点E在椭圆「上？若存在，求出所有满足条件的点。的纵

坐标；若不存在，请说明理由.

考点三.椭圆与平面向量

典例引领

9.(2024•浦东新区校级模拟)已知直线/与椭圆「，点片，鸟分别为椭圆「:1+_/=1的左右焦点，直线片M_L/,

F2N1：,垂足分别为点A/,N,那么“直线/与椭圆「相切”是“|年7|・|可|=1"的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

10.(2024•金山区二模)已知椭圆「：?+[=1的右焦点为/，直线/与椭圆「交于不同的两点A/3，乂)、N*2,

%)•

(1)证明：点M到右焦点尸的距离为2-工；

2

(2)设点0(0,g),当直线/的斜率为:，且亦与西+丽平行时，求直线/的方程；

(3)当宣线/与x轴不垂直，且厂的周长为4时，试判断宜线！与圆。:/+_/=3的位置关系，并证明你的结

论.

即时检测

2

11.（2024•黄浦区校级模拟）已知点耳、鸟分别为椭圆「:'+_/=1的左、右焦点，直线/：歹=履+，与椭圆「有且

仅有一个公共点，直线F2NAJ,垂足分别为点M、N.（1）求证：/一2二十］;

（2）求证：丽・亭为定值，并求出该定值；

（3）求+必-而|的最大值.

12.（2024•虹口区二模）己知椭圆「:5+*=1（。>6>0）的焦距为26，点户（（）/）在椭圆「上，动直线/与椭圆「相

交于不同的两点力，B,且直线尸/,28的斜率之积为1.

（1）求椭圆「的标准方程；

（2）若直线为的法向量为万=。,-2）,求直线/的方程；

（3）是否存在直线/，使得为直角三角形？若存在，求出直线/的斜率；若不存在，请说明理由.

考点四.抛物线的焦点与准线

典例引领

13.（2024•嘉定区校级模拟）将抛物线C:/=4x关于直线），=x对称，得到抛物线。，则抛物线。的焦点到其准线

的距离为一.

14.（2024•普陀区校级模拟）已知P为抛物线C:x2=2抄（p〉O）上一点，点尸到C的焦点的距离为16,到x轴的

距离为10,则P=—.

4即时检测

15.（2024•浦东新区校级模拟）已知.4是抛物线丁=2加（p>0）上的一点，尸为抛物线的焦点,0为坐标原点.当

|力广|=4时，AGFA=-y,则.

16.（2024•普陀区模拟）已知抛物线y2=4jlr的焦点/是双曲线「的右焦点，过点尸的直线/的法向量）=（1,-6）,

/与y轴以及「的左支分别相交力，8两点，若即=2而,则双曲线「的实釉长为.

考点五.直线与抛物线的综合

典例引领

17.（2024•宝山区三模）已知抛物线「:V=4x,在「上有一点力位于第一象限，设4的纵坐标为a（a>0）.

（1）若力到抛物线「准线的距离为3,求a的值；

（2）当a=4时，若x轴上存在一点8,使力8的中点在抛物线「上，求。到直线力8的距离；

（3）直线/:x=-3,尸是第一象限内「上异于4的动点，P在直线/上的投影为点〃，直线4P与直线/的交点为

Q.若在2的位置变化过程中，|H0|>4恒成立，求a的取值范围.

18.（2024•普陀区校级三模）已知抛物线：r：/=4x,焦点为尸，J（x0,必）（义工°）为「上的一个动点，/是「在

点4处的切线，点尸在/上且与点力不重合.直线产”与「交于4、C两点，且/平分直线和直线/C的夹角.

（I）求/的方程（用与，%表示）；

（2）若从点尸发出的光线经过点力反射，证明：反射光线平行于x轴；

(3)若点力坐标为，』)，求点。坐标.

即时检测

19.(2024•浦东新区校级模拟)已知效物线C:/=4x的焦点为“，过户的直线/交。于4,8两点，过户与/垂

直的直线交C于。，E两点，其中8,。在x轴上方，M,N分别为,。石的中点.

(1)若|力例=6,求点M的横坐标;

(2)记明：直线MN过定点;

(3)设G为直线4E与直线8。的交点，求AGMV面积的最小值.

20.(2024•徐汇区校级模拟)已知点耳，玛分别为双曲线「：三-产=1的左、右焦点，直线/：歹=匕+1与「有两个

不同的交点4，B.

(1)当6e/时,求用到/的距离;

(2)若。为原点，直线/与「的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C,D,证明：当ACO。的面积最小时，

直线C。平行于x轴；

(3)设P为x轴上一点，是否存在实数”(〃>0),使得AP/A是以点。为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求

出女的值及点尸的坐标：若不存在，说明理由.

考点六.双曲线的几何特征

务典例或领

v2V2

21.（2D24•青浦区校级模拟）己知片（_0,0）,E（c,O）为双曲线C:,：,=1（。>0/>0）的两个焦点，夕为C虚轴

Q-b-

的一个瑞点，"PF[=120°,则C的渐近线方程为.

22

22.（2。24•浦东新区校级模拟）已知双曲线七:5-与=1（。>0力>0）的左，右焦点分别为£,鸟，过左焦点大作

crn

直线/与双曲线交于力，8两点（8在第一象限），若线段48的中垂线经过点用，且点亮到直线/的距离为0*

则双曲线的离心率为.

即叫虹

2

23.（2024•奉贤区三模）若曲线「:二-j，2=l（x>0）的右顶点4,若对线段04上任意一点P,端点除外，在「上

a''

存在关于x轴对称的两点。、R使得三角形PQR为等边三角形，则正数〃的取值范围是—.

22

24.（2024•浦东新区二模）已知双曲线=-4=13>0力:>0）的焦点分别为片，£,〃为双曲线上一点，若

a’力

4F\MF1=个,OM=半1）,则双曲线的离心率为.

考点七.直线与双曲线的综合

典例引领

25.（2024•青浦区二模）己知双曲线「：:；=1,片，5分别为其左、右焦点.

（1）求鸟的坐标和双曲线「的渐近线方程；

（2）如图，P是双曲线「右支在第一象限内一点，圆C是△/¥；工的内切圆，设圆与可，PE，片人分别切于点Z）,

E,F,当圆。的面积为4万时，求直线。行的斜率；

（3）是否存在过点用的直线/与双曲线E的左右两支分别交于力，8两点，且使得/月力8=/刀%，若存在，求

出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

26.（2024•闵行区校级模拟）已知双曲线「:二-2〉0）的左、右焦点分别为片、F2.

（1）若「的长轴长为2,焦距为4,求「的渐近线方程；

⑵若6=4,双曲线「左支上任意点r均满足|7耳|...2。，求。的最大值；

（3）若双曲线「的左支上存在点P、右支上存在点。满足|RP|=|PQ|=|。6|,求「的离心率e的取值范围.

即时检测

27.（2024•宝山区校级四模）已知点P（l,l）在双曲线的一条渐近线上，G、E为双曲线的左、右焦点

TD

且肝亨=（）.

（1）求双曲线「的方程；

（2）过点P的直线/与双曲线「恰有一个公共点，求直线/的方程；

（3）过点尸的直线/与双曲线左右两支分别交于点力、B,求证：|力例m＜2.7.

y2

28.（2024•闵行区校级二模）在平面直角坐标系xOv中，双曲线C：1=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为月，

a2

F2,。的离心率为2,直线/过片与C交于历，N两点、,当|OA/|=|O5I时，片用的面积为3.

（1）求双曲线。的方程：

（2）已知M,N都在C的右支上，设/的斜率为“.

①求实数机的取值范围；

②是否存在实数加，使得/MOV为锐角？若存在，请求出〃?的取值范围；若不存在，请说明理由.

考点八.双曲线与平面向量

0典例引领

29.（2024•宝山区二模）已知双曲线d-匕=1的左、右顶点分别为4、8,设点尸在第一象限且在双曲线上，。

2

为坐标原点.

（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值;

（2）若苏•丽,9,求|赤|的取值范围;

（3）椭圆。的长轴长为2板，且短轴的端点恰好是A、B两点，直线AP与椭圆的另一个交点为0.记APQ4、kQAB

的面积分别为5、求火-的最小俏，并写出取最小俏时点。的坐标.

30.（2023•徐汇区校级三模）已知凡）是焦距为4亚的双曲线C:=\(a>Q,b>0)上一点,过P的i条

/b2

直线4与双曲线C的两条渐近线分别交于[（再，M）,6a2,%），且3丽=西+2丽，过尸作垂直的两条直线

和心与y轴分别交于力，B两点,其中/，与x轴交点的横坐标是

%

（1）求斗与一乂%的值；

（2）求S”曲的最大值，并求此时双曲线C的方程；

（3）判断以45为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由.

J即时检测

31.（2024•闵行区二模）双曲线「：/一卷=1的左右焦点分别为《、入，过坐标原点的直线与「相交于4、B两

点，若|片8|=2|大川，则醐•可=—.

£=i,

32.（2。24•浦东新区三模）已知双曲线C:/-点£、名分别为双曲线的左、右焦点,乂）、B（X,

32

为）为双曲线上的点.

（1）求右焦点写到双曲线的渐近线的距离；

（2）若丽=3可，求直线48的方程；

（3）若力片//8工，其中/、4两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形力耳人8的面积的

取值范围.

考点九.曲线与方程

典例引领

33.（2024•嘉定区校级模拟）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面\一些优美的曲线是数学形象美、

对称美、和谐美的产物，曲线。:（犬+歹2）3=]6.广/为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）

（1）方程（/+/y=l（个＜0）,表示的曲线在第二和第四象限；

（2）曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2；

（3）曲线。构成的四叶玫瑰线面枳大于4不；

（4）曲线C上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）.

A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(1)(2)(4)D.(1)(3)(4)

34.（2。24•闵行区校级模拟）设集合"=｛（',），）|、2+/工0,XGR，yw心，点尸的坐标为（x,y）,满足“对任意

（a,b）eU,都有|ax+力|+|bx-分］,4>/不寿”的点尸构成的图形为。।,满足“存在（q/）wU,使得

|d+加+|瓜-卬，|“4户存”的点。构成的图形为。2.对于下述两个结论：①名为正方形以及该正方形内部区

域；②C2的面积大于32.以下说法正确的为（）

A.①、②都正确B.①正确，②不正确

C.①不正确，②正确D.①、②都不正确

中即时检测

35.（2024•嘉定区校级模拟）若曲线。的图象上任意不同的两点/（W，y）,N（X2,y2）,坐标都满足关系

|占以一%2乂l<（X：+才•+£，则在①y=2x：②尸sinx；③产x+L④二一丁=1中，不可能是曲线。的

.V4

方程的序号为—（填上所有正确答案的序号）.

36.（2024•浦东新区校级三模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨

等得出“悬链线”方程），="'+"），其中C为参数.当。=1时，就是双曲余弦函数次（x）=巴士，悬链线的原

22

理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.类比三角函数的三种性质：①平方关系：sin*2.r+cos2x=l；

②两角和公式：cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny,③导数：,⑸11%）cosx,定义双曲正弦函数h（幻———.

（cosx）f=-sinx,2

（1）直接写出M（x）,M（x）具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；

（2）当x>0时，双曲正弦函数歹=s力（幻的图像总在直线），=去的上方，求直线斜率攵的取值范围：

（3）无穷数列｛凡｝满足q=a,是否存在实数*使得生。24=??若存在，求出。的值，若不存在，

说明理由.

考点十.直线与圆锥曲线的综合

典例引领

37.(2024•闵行区二模)如图，己知椭圆G-I/=1和抛物线G：/=2〃y(p>0),C2的焦点下是G的上顶点，

过尸的直线交G于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交。于X、8两点，连接48,设AOMV、AOAB

的面积分别为乂外加、S&OAB・

(1)求p的值；

(2)求两■•丽的值；

38.（2。24•嘉定区校级模拟）已知曲线。:（3-2加2*-4〃/=4（加€&）.

（1）若曲线c为双曲线，且渐近线方程为），=±当戈，求曲线C的离心率；

（2）若曲线。为椭圆，且P（l,等）在曲线C上.过原点且斜率存在的直线（和直线丛乙与右不重合）与椭圆C分别

交于4，8两点和“，N两点，且点P满足到直线4和的距离都等于苧，求直线人和的斜率之积.

（3）若加=-1,过点力（0,-1）的直线与直线），=-2交于点M,与椭圆交于8,点8关于原点的对称点为C,直线AC

交直线丁=-2交于点N,求|A/N|的最小值.

J即时检测

39.（2024・K宁区校级三模）已知抛物线「:1-2尸的焦点为尸，过点T（l,l）的直线，与「交于力、6两点.设「在

点力、8处的切线分别为乙，4与x轴交于点4与x轴交于点N,设4与的交点为P.

(1)设点力横坐标为。，求切线4的斜率，并证明EWJ.4；

(2)声明：点P必在直线y=r-1卜：

(3)若尸、M,N、r四点共圆，求点尸的坐标.

2222

4().(2024•奉贤区三模)如图1：已知椭圆「的方程为=十与=1(。>〃>0)和椭圆广二十二=1,其中4，8分别

crb~42

图1图2

(1)若4,4恰好为椭圆「的两个焦点，椭圆「和椭圆『有相同的离心率，求椭圆「的方程；

(2)如图2,若椭圆「的方程为三+亡=1.尸是椭圆厂上一点，射线力P,8P分别交椭圆「于M,N,连接4N,

84

8M(P,M,N均在x轴上方)，求证：N3,力斜率之积心8・七”为定值，求出这个定值；

(3)在(2)的条件下，若ANHBM,且两条平行线的斜率为％(〃>()),求正数人的值.

IA.好题冲关,

基础过关

一.选择题(共4小题)

1.(2024•嘉定区二模)双曲线口：?->|和双曲线具有相同的()

A.焦点B.顶点C.渐近线D.离心率

2.(2024•虹口区模拟)已知抛物线方程/=4x,过点夕(1,2)的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有()

A.。条B.1条C.2条D.3条

3.（2024•静安区二模）设则双曲线£——J=1的离心率e的取值范围是（）

a2伍+1）2

A.（x/2,2）B.（V2,V5）C.（2,5）D.（2,石）

4.（2024•杨浦区校级三模）在平面直角坐标系工仍，中，双曲线「、匚的中心在原点，焦点都在x轴上，且口与口

不重合，记口、匚的离心率分别为0、%，则“4=内”是“「与「2没有公共点”的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

二.填空题（共12小题）

5.（2023•徐汇区校级三模）已知抛物线的准线方程为y=-2,则其标准方程为一.

6.（2024•闵行区三模）若抛物线/=_2px过点（-1,2）,则该抛物线的焦点为一.

7.（2024•黄浦区二模）抛物线y=4x的焦点到准线的距离是

8.（2024•杨浦区校级三模）已知双曲线小=1的左、右焦点为片、过月的直线/与双曲线M的左、右两

6

支分别交于点力、B.若入446为等边三角形，则鸟的边长为—.

9.（2024•松江区校级模拟）已知〃={1,2,3,4},且〃?c.M,"€加，若方程上+匕=1表示焦点在y轴上的

mn

椭圆，则这样的椭圆共有一个.

22

10.（2Q24•宝山区校级四模）己知椭圆「+}=1（。>力>0）的左、右焦点为"，F,,过K作X轴垂线交椭圆于点

crb"

若△出K为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是一.

11.（2024•浦东新区校级三模）已知双曲线C:己-二=1的一条渐近线方程为y=2x,则〃?=—.

4m

12.（2024•浦东新区校级四模）已知焦点在x轴上的双曲线一一+一匚=1的离心率e.g,则上的取值范围

6+2上2k-3

是—.

13.（2。24•黄浦区校级三模）已知双曲线C：9-V=i的左右焦点分别为耳，区,过8的直线交双曲线C的右支

于力，4两点，若的周长为20,则线段48的长为—.

14.（2024•宝山区二模）己知双曲线C：=-g=l（Q>0,b>0）的右顶点为力，以力为圆心，力为半径作圆力，圆力

a~b~

与双曲线。的一条渐近线交于M、N两点.若NM4N=60。,则。的离心率为.

15.（2024•浦东新区校级四模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12c“，开