2024-2025学年天津市滨海新区大港一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市滨海新区大港一中高二（下）期中考试数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−2<x<2}，N={x||x−1|<2}，则M∩N=(

)A.{x|−2<x<3} B.{x|−2<x≤1} C.{x|−1<x<2} D.{x|−2<x<2}2.“k=2”是“C7k=C7A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要3.若a<b<0，则下列不等式成立的是(

)A.−1a<1b B.ab<b4.观察下列散点图，关于两个变量x，y的相关关系推断正确的是(

)

A.(1)为正相关，(2)不相关，(3)负相关 B.(1)为正相关，(2)负相关，(3)不相关

C.(1)为负相关，(2)不相关，(3)正相关 D.(1)为负相关，(2)正相关，(3)不相关5.下列关于回归分析的说法中错误的是(

)A.回归直线一定过样本中心(x−,y−)

B.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适

C.甲、乙两个模型的R2分别约为6.为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算K2=8.069，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过(

)P(0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%7.已知随机变量X～N(2,σ2)(σ>0)，若P(X<4)=0.7，则P(X<0)=A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.78.已知f(x)=−1x3，则f′(x)=A.−3x4 B.3x4 9.已知函数f(x)=x2−xf′(1)，则曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为A.5x−y−9=0 B.5x+y−9=0 C.4x+y−8=0 D.4x−y−8=010.函数f(x)=−x3+3x在区间(a2−12,a)A.(−1,11) B.(−1,2) C.(−1,2]11.设函数f′(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数，有f′(x)cosx−f(x)sinx>0，若a=12f(π3)，b=0，c=−32f(A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b12.已知a>0，若函数f(x)=−ax2−(a−2)x+lnx,x>0ln(−x+1)−axA.(e,+∞) B.(1,e) C.(0,1) D.(1,+∞)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13.命题p：∀x∈[−1,1]，x2−1<0的否定是______．14.在(2−x)6的展开式中，常数项为______15.已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下表对应数据：x13457y1520304045根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为y=5.5x+a，则当x=7时，残差为______.(残差=16.新冠肺炎侵袭，某医院派出5名医生支援A、B、C三个国家，派往每个国家至少一名医生，共有______种安排方式：若甲，乙不去同一个国家，共有______种安排方式．17.甲箱中有3个黑球，2个蓝球和3个红球，乙箱中有4个黑球，2个蓝球和2个红球(除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同).先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1球.分别以A1，A2，A3表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则P(B|A1)=

，18.若a>0，b>0，且2a+b=1，则ab的最大值为______，1b2+三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题15分)

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．

(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

(Ⅱ)求中奖人数ξ的分布列及数学期望20.(本小题15分)

一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．

(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)21.(本小题15分)

已知函数f(x)=12x2+(1−a)x+(a−2)lnx，其中a∈R．

(1)若a=1，求函数f(x)的极值；22.(本小题15分)

已知函数f(x)=x+ax−(a−1)lnx−2，其中(a∈R)．

(1)当a=0时，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；

(3)讨论f(x)在区间[1,e]参考答案1.C

2.A

3.D

4.A

5.C

6.B

7.B

8.B

9.A

10.C

11.A

12.D

13.∃x∈[−1,1]，x214.64

15.−1.5

16.150

114

17.2

18.18

1219.解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么

P(A)=P(B)=P(C)=16，

P(A⋅B⋅C)=P(A)P(B)P(C)=16⋅(56)2=25216，

答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为

ξ0123P

1252551Eξ=0×20.解：(Ⅰ)由古典概型的概率计算公式得所求概率为

P=C43+C33C93=584，

(Ⅱ)由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且

P(X=1)=X123P17431所以E(X)=1×174221.解：(1)当a=1时，则f(x)=12x2−lnx，x∈(0,+∞)，

f′(x)=x−1x=(x+1)(x−1)x，

令f′(x)=0，x=1，

所以在(0,1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，

在(1,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)不存在极大值，存在极小值，且极小值为f(1)=12．

(2)f′(x)=x+1−a+a−2x=(x−a+2)(x−1)x，x∈(0,+∞)，

若a−2≤0，即a≤2，则令f′(x)=0，则x=1，

所以在(0,1)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，

在(1,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，

若0<a−2<1，即2<a<3，则令f′(x)=0，得x=1或x=a−2，

所以在(0,a−2)上f′(x)>0，f(x)单调递增，

在(a−2,1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，

在(1,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)极大值=f(a−2)，f(x)极小值=f(1)

若a=3时，在(0,+∞)时，f′(x)=(x−1)2x≥0，当且仅当x=1时，等号成立，

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，

若a−2>1，即a>3时，令f′(x)=0，得x=1或x=a−2，

所以在(0,1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，

在(1,a−2)上f′(x)<0，f(x)单调递减，

在(a−2,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，

综上所述，当a≤2时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

当2<a<3时，f(x)22.解：(1)由题意函数f(x)=x+ax−(a−1)lnx−2，其中(a∈R)，

当a=0时，f(x)=x+lnx−2，则f(1)=1+0−2=−1，

因为f′(x)=1+1x，所以f′(1)=2，

所以f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−(−1)=2(x−1)，

整理得y=2x−3；

(2)f(x)=x+ax−(a−1)lnx−2，定义域为(0,+∞)，

所以f′(x)=1−ax2−a−1x=(x+1)(x−a)x2(x>0)，

①若a≤0，则当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0恒成立，

故f(x)在(0,+∞)单调递增，与f(x)存在极值点矛盾；

②若a>0时，则由f′(x)=0解得x=a，

所以当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

所以f(x)存在唯一极小值点x=a，

所以f(a)=a+1−(a−1)lna−2=(a−1)(1−lna)=0，

解得a=1或a=e；

(3)由题意可得f′(x)=1−ax2−a−1x=(x+1)(x−a)x2(x>0)，

①a≤1时，f′(x)≥0在[1,e]上恒成立，故f(x)在[1,e]上单调递增，

因为f(1)=a−1≤0，f(e)=e