第11讲对数函数（9大考点）（原卷版）

第11讲对数函数（9大考点）考点考点考向一．对数函数的定义【知识点归纳】一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，logaN＝b．底数则要大于0且不为1．二．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．三．对数函数的值域与最值【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）四．对数值大小的比较【知识点归纳】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）五．对数函数的图象与性质【知识点归纳】六．对数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数2、特殊点对数函数恒过点（1，0）七．指数函数与对数函数的关系【知识点归纳】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：八．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0}且f（x）＝C（其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．九．对数函数图象与性质的综合应用【知识点归纳】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg2+lg5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．考点精讲考点精讲一．对数函数的定义（共1小题）1．（2019秋•闵行区校级月考）对数表达式log（x﹣1）（5﹣x）中的x的取值范围是．二．对数函数的定义域（共4小题）2．（2021秋•长宁区期末）下列四组函数中，定义域相同的一组是（）A．和y＝lgx B．和 C．和y＝lgx D．和3．（2021秋•奉贤区校级期中）函数的定义域是．4．（2021秋•闵行区期末）函数y＝ln（x﹣1）的定义域为．5．（2021秋•金山区期末）函数y＝log2（x﹣3）的定义域为．三．对数函数的值域与最值（共4小题）6．（2022•浦东新区校级开学）函数f（x）＝lg（2x+2﹣x+a﹣1）的值域是R，则实数a的取值范围是．7．（2020秋•金山区期末）已知函数f（x）＝logax（0＜a＜1）在[2，4]上的最大值比最小值大2，则a的值为．8．（2021秋•普陀区校级期中）若函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．9．（2021春•浦东新区校级月考）已知集合A＝{x|log2（2x）•log2x≤0}．（1）求集合A；（2）求函数y＝42x+1+4x，x∈A的值域．四．对数值大小的比较（共4小题）10．（2020秋•黄浦区校级期末）若log3m＜log3n且logm3＜logn3，则实数m、n满足的关系式为（）A．0＜m＜n＜1 B．0＜n＜m＜1 C．0＜m＜1＜n D．1＜m＜n11．（2021秋•宝山区校级期中）已知a，b∈R，则下列命题中正确的个数为（）（1）若0＜a＜b＜1，则aa＜bb；（2）若0＜a＜b＜1，则logab＜logba；（3）若a＞b＞1，则ab＜ba．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个12．（2021秋•闵行区校级期中）若正实数a，b，c满足，则（）A．ca＞ba B．logca＜logba C．logab＞logbc D．ca﹣1＜bc﹣113．（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数，，，且f（a）＝g（a），f（b）＝h（b），g（c）＝h（c），则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c五．对数函数的图象与性质（共8小题）14．（2021秋•静安区期末）函数y＝x2+|lg（x+）|+1的图像关于（）对称A．原点 B．x轴 C．y轴 D．直线y＝x15．（2021秋•长宁区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a与对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图像关系可能是（）A． B． C． D．16．（2021秋•长宁区校级期末）函数f（x）＝log2的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y＝﹣x对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称17．（2022秋•宝山区校级月考）若函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围是．18．（2021秋•浦东新区校级期末）方程lgx+lg（x+3）＝1的解x＝．19．（2021秋•长宁区校级期末）设常数a＞0且a≠1，若函数y＝loga（x+1）在区间[0，1]的最大值为1，最小值为0，求实数a的值．20．（2021春•宝山区期末）设函数f（x）＝logmx（m＞0且m≠1）的图象经过点（3，1）．（1）解关于x的方程f2（x）+（m﹣1）f（x）+1﹣m2＝0；（2）不等式[1+f（x）]⋅[a﹣f（x）]＞0的解集是，试求实数a的值．21．（2021秋•金山区校级月考）已知函数f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）．（1）讨论函数f（x）的定义域；（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）当a＝2时，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．六．对数函数的单调性与特殊点（共5小题）22．（2022春•宝山区校级期末）函数y＝loga（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是．23．（2021秋•浦东新区校级月考）函数y＝2loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标为．24．（2021秋•浦东新区校级月考）函数f（x）＝loga（10﹣3x）+9的图象恒过定点A，且点A在幂函数g（x）的图象上，则g（8）＝．25．（2021•宝山区校级开学）已知是R上的减函数，则a的取值范围是．26．（2019秋•浦东新区校级期末）已知函数（m＞0，m≠1）的图象恒经过与m无关的定点A．（1）求点A的坐标；（2）若偶函数g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]的图象过点A，求a、b、c的值．七．指数函数与对数函数的关系（共1小题）27．（2021秋•庐阳区校级月考）设2a＝5b＝m，且+＝2，m＝．八．反函数（共7小题）28．（2022•上海自主招生）f（x）＝|x|+2x+1+3x的反函数为g（x），（g（x2））2＝1的根有（）个A．1 B．2 C．3 D．429．（2022•虹口区校级开学）若函数f（x）＝2x﹣7，则f﹣1（1）＝．30．（2022春•宝山区校级期末）已知函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝a•2x+b•3x.其中常数a，b满足a﹣b≠0；（1）若a•b＞0，判断函数f（x）是否一定存在反函数，并说明理由；（2）若a•b＜0，解不等式f（x+2）＞f（x）．31．（2021秋•浦东新区校级期末）设a∈R，f（x）是定义在R上的奇函数，且．（1）试求f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式及f﹣1（x）的定义域；（2）设，若时，f﹣1（x）≤g（x）恒成立，求实数k的取值范围．32．（2021秋•普陀区校级期末）已知函数y＝f（x）是函数的反函数．（1）求函数y＝f（x）的表达式，写出定义域D；（2）判断函数y＝f（x）的单调性，并加以证明．33．（2021秋•宝山区校级期中）已知函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），且f（x）＝2x．（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）＝1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1﹣x）＝m在区间[0，1]内有解，求实数m的取值范围．34．（2021春•宝山区校级期末）对于给定的函数y＝f（x），记A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f（f（x））＝x}．（1）若f（x）＝，用列举法表示集合A、B；（2）若f（x）在其定义域上是增函数，求证：A＝B；（3）若f（x）＝，记函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若关于x的方程f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数解，求实数a的取值范围．九．对数函数图象与性质的综合应用（共4小题）35．（2021秋•奉贤区校级期中）设f（x）＝|ln（x+1）|，已知f（a）＝f（b）（a＜b），则（）A．a+b＞0 B．a+b＞1 C．2a+b＞0 D．2a+b＞136．（2021秋•金山区校级期中）已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x（1）如果x∈[1，2]，求函数h（x）＝[f（x）+1]g（x）的值域；（2）求函数M（x）＝的最大值．（3）如果对任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k•g（x）恒成立，求实数k的取值范围．37．（2021秋•静安区校级月考）已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．38．（2021秋•黄浦区校级月考）已知函数f（x）＝log4（ax2+2x+3）．（1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·上海·曹杨二中高一期末）函数与在同一坐标系中的图像可能是（

）A． B．C． D．2．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B． C． D．3．（2022·上海·高一单元测试）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2021·上海·高一单元测试）若，则函数的图象不经过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2021·上海市金山中学高一阶段练习）若，则下列命题中不正确的是（

）A． B． C． D．6．（2022·上海市延安中学高一期末）函数的最小值为（

）A． B． C．0 D．7．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2022·上海·高一单元测试）已知a、，有以下3个命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中真命题的个数是（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题9．（2022·上海·高一单元测试）对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是_______.10．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式________．11．（2022·上海·高一单元测试）若代数式有意义，则其中实数的取值范围是________12．（2022·上海市吴淞中学高一期末）函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.13．（2022·上海·高一单元测试）函数的定义域为___________.14．（2021·上海市杨浦高级中学高一期末）函数，的最小值是______________.15．（2021·上海·格致中学高一阶段练习）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为________.16．（2022·上海闵行·高一期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解为___________.17．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知实数x、y满足，则的最小值为______．18．（2022·上海·高一单元测试）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．19．（2021·上海·上外浦东附中高一期末）如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．20．（2021·上海·高一单元测试）已知为偶函数，且在上递减，则________（选填“”或“”）.三、解答题21．（2021·上海·高一专题练习）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．22．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知函数．（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上严格增，求实数的取值范围．23．（2021·上海·高一专题练习）比较下列各组中两个值的大小：①log31.9，log32；②log23，log0.32；③logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)；④log50.4，log60.4.24．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）已知函数，.（1）设集合，求集合A；（2）当时，求的最大值和最小值.25．（2021·上海·高一）设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围.26．（2021·上海·高一）函数对任意的实数、有，且当时有.（1）求证：在上为增函数；（2）若，解不等式27．（2021·上海·曹杨二中高一期末）已知实数