专题01几何最值之将军饮马模型（原卷版）

专题01几何最值之将军饮马模型模型一、两定一动模型模型二、一定两动模型模型说明：将军饮马模型在近几年中考中常常与几何图形（三角形、四边形）联系考查，出现在选填题；而与反比例函数或二次函数的综合出现在解答题。解决这类问题的思路主要是作点关于线的对称，利用三点共线求最值。例1．（2022·四川成都）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．例2．（2019·四川成都）如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为____.例3．（2019·四川内江）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．（1）分别求出和的值；（2）结合图象直接写出的解集；（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．例4．（2022·四川凉山）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】（2022·四川自贡）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．【变式训练2】（2022·四川内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是_____．【变式训练3】（2022·四川眉山）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．【变式训练4】（2019·四川成都）如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为____.【变式训练5】（2022·四川资阳）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(

)A． B． C． D．课后训练1．（2022·四川德阳·二模）如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（

）A． B．5 C． D．2．（2022·四川成都·模拟预测）如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值是（

）A．11 B．13 C．9 D．83．（2022·四川广元·一模）如图，正方形的边长为16，点在边上，且，点是对角线上一动点，则线段的最小值为（

）A．16 B． C．20 D．4．（2022·四川巴中·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（）A．3 B．4 C．2 D．55．（2019·四川内江·一模）如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是弧的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为l，则AP+BP的最小值为（）A．2 B． C． D．16．（2022·四川成都·模拟预测）一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4），点C，D分别是OA，AB的中点，P是OB上一动点．当△DPC周长最小时，点P的坐标为_____．7．（2021·四川省内江市二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为_____．8．（2022·仁寿县长平初级中学校一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点（点Q在点P的右边）．①若连结AP、PE，则PE＋AP的最小值为______；②连结QE，若PQ＝3，当CQ＝______时，四边形APQE的周长最小．9．（2022·四川眉山·二模）如图，在菱形ABCD中，，，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则的最小值为_____________．10．（2020·四川成都·模拟预测）在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，点E是AB的中点，点P是对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值是__．11．（2022·四川德阳·二模）已知：如图，△ABC中，∠A=45°，AB=6，AC=，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则△DEF周长的最小值是______．12．（2020·四川成都·一模）如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y=x上的一条动线段且PQ=（Q在P的下方），当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为______．13．（2022·四川成都·模拟预