2024-2025学年山东省聊城第一中学老校区高二上学期第二次阶段性测试数学试卷

2024—2025学年山东省聊城第一中学老校区高二上学期第二次阶段性测试数学试卷

一、单选题(★)1.已知直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角是（）

A．B．C．D．(★★)2.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（）

A．7B．6C．5D．4(★★)3.已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★)4.棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（）

A．1B．－1C．D．(★★)5.在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（）

A．B．C．2D．3(★★★)6.自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线正好与圆相切，则反射光线所在直线的所有斜率之和为（）

A．B．2C．D．4(★★★★)7.已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．(★★★★)8.三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（）

A．B．C．D．二、多选题(★★)9.下列给出的命题中正确的有（）

A．数列和数列是相同数列B．数列的一个通项公式是C．已知数列的前项和，则D．已知数列满足，，则(★★★)10.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”.若黄金双曲线：（）的左右两顶点分别为，，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（）

A．B．C．直线与双曲线的一条渐近线垂直D．(★★★★)11.在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足（，），下列结论正确的是（）

A．若，则点到平面的距离为B．若，则四面体的体积是定值C．若，则点的轨迹长为D．若，，则存在点，使得的最小值为三、填空题(★)12.已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数的值为__________.(★★★)13.如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直.长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为________.(★★★)14.已知椭圆的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设的内切圆与相切于点，若，则的长为________．四、解答题(★)15.已知空间向量.(1)求在上的投影向量；(2)若，求；(3)若，求的值.(★★★)16.已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程.(1)求顶点和的坐标；(2)求的外接圆的方程.(★★★★)17.已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，.(1)求抛物线的方程；(2)证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）；(3)点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值.(★★★)18.如图，在四棱锥中，，，，平面平面．(1)求证：平面；(2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.(★★★★★)19.《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”．(1)若，求曲线H的方程；(2)若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否