新课标2024高考数学大一轮复习第九章解析几何题组层级快练60双曲线二文含解析

PAGEPAGE7题组层级快练(六十)1．已知集合A＝{(x，y)|eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，x，y∈R}，B＝{(x，y)|eq\f(x,3)－eq\f(y,2)＝1，x，y∈R}，则A∩B中元素的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案B解析集合A表示双曲线，顶点为(±3，0)，其渐近线方程为eq\f(x,3)±eq\f(y,2)＝0，集合B表示直线，与x轴的交点为(3，0)，且与其中一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个交点，所以A∩B中元素的个数为1.故选B.2．直线l过点(eq\r(2)，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条答案C解析该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．3．已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1的左、右焦点，P，Q为右支上的两点，直线PQ过F2且倾斜角为α，则|PF1|＋|QF1|－|PQ|的值为()A．8 B．2eq\r(2)C．4eq\r(2) D．随α的大小而改变答案C解析由双曲线定义知：|PF1|＋|QF1|－|PQ|＝|PF1|＋|QF1|－(|PF2|＋|QF2|)＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＝4a＝4eq\r(2).4．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4eq\r(3)，则C的实轴长为()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D．8答案C解析抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2eq\r(3))在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.5．若直线x－y＋m＝0与双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为()A．±eq\r(2) B．±2C．±1 D．±eq\r(3)答案C解析设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,2)＝1，,x－y＋m＝0，))得x2－2mx－m2－2＝0(Δ>0)，∴x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝m，y0＝x0＋m＝2m，∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.6．(2024·山东青岛二模)直线l：x－2y－5＝0过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1答案A解析依据题意，令y＝0，则x＝5，则c＝5.又eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.7．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1交于A，B两点，且|AB|＝8eq\r(2)，则实数k的值为()A．±eq\r(7) B．±eq\r(3)或±eq\f(\r(41),3)C．±eq\r(3) D．±eq\f(\r(41),3)答案B解析由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－eq\f(y2,4)＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5>0，k2<5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k,4－k2)，x1x2＝－eq\f(5,4－k2)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（\f(2k,4－k2)）2＋\f(20,4－k2))＝8eq\r(2)，解得k＝±eq\r(3)或±eq\f(\r(41),3).8．(2024·东北三校一模)已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则eq\f(|MF|,|PQ|)的值为()A.eq\f(5,3) B.eq\f(5,6)C.eq\f(5,4) D.eq\f(5,8)答案B解析依题意，将直线PQ特别化为x轴，于是有点P(－3，0)，Q(3，0)，M(0，0)，F(5，0)，eq\f(|MF|,|PQ|)＝eq\f(5,6).9．(2024·宁夏银川其次中学统练)过双曲线x2－eq\f(y2,15)＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为()A．10 B．13C．16 D．19答案B解析由题意可知|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此，|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)·(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13，故选B.10．(2024·天津)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为eq\r(2).若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1答案B解析由F(－c，0)，P(0，4)，得kPF＝eq\f(4,c)＝eq\f(b,a)，又e＝eq\r(2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(2)，所以a＝b，c＝4，故a2＝b2＝8，故选B.11．(2024·长沙调考)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C.eq\r(10) D.eq\r(13)答案C解析由题意可知，经过右顶点A的直线方程为y＝－x＋a，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,y＝－x＋a，))解得x＝eq\f(a2,a＋b).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(b,a)x，,y＝－x＋a，))解得x＝eq\f(a2,a－b).因为b>a>0，所以eq\f(a2,a－b)<0，且eq\f(a2,a＋b)>0，又点B的横坐标为等比中项，所以点B的横坐标为eq\f(a2,a－b)，则a·eq\f(a2,a＋b)＝(eq\f(a2,a－b))2，解得b＝3a，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(10).12．(2024·山西省试验中学质量监测)若直线l与双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的值为()A．3 B．4C．5 D．与点P的位置有关答案A解析设切点P的坐标为(x0，y0)，则切线l的方程为eq\f(1,4)x0x－y0y＝1.由双曲线的方程，得两条渐近线的方程分别为y＝eq\f(1,2)x，y＝－eq\f(1,2)x.分别联立切线方程和渐近线方程，得M(eq\f(4,x0－2y0)，eq\f(2,x0－2y0))，N(eq\f(4,x0＋2y0)，eq\f(－2,x0＋2y0))，∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(12,（x0－2y0）（x0＋2y0）)＝eq\f(12,x02－4y02).∵x02－4y02＝4，∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(12,4)＝3.故选A.13．(2024·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.eq\f(3,2) B．3C．2eq\r(3) D．4答案B解析因为双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝eq\f(\r(3),3)x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－eq\r(3)(x－2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)（x－2），,y＝\f(\r(3),3)x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))所以M(eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))，所以|OM|＝eq\r(（\f(3,2)）2＋（\f(\r(3),2)）2)＝eq\r(3)，所以|MN|＝eq\r(3)|OM|＝3，故选B.14．(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为________．答案eq\f(\r(2),2)解析设P(x，y)，(x≥1)，因为直线x－y＋1＝0平行于渐近线x－y＝0，所以c的最大值为直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间距离，为eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).15．(2024·山西一模)过双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，且斜率为2的直线与E的右支有两个不同的公共点，则双曲线E的离心率的取值范围是________．答案(1，eq\r(5))解析∵斜率为2的直线与双曲线E的右支有两个交点，∴eq\f(b,a)<2.又b2＝c2－a2，∴eq\f(\r(c2－a2),a)<2.整理，得c<eq\r(5)a，∴e＝eq\f(c,a)<eq\r(5).又e>1，∴双曲线E的离心率的取值范围是(1，eq\r(5))．16．已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满意条件|PM|－|PN|＝2eq\r(2)，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最小值．答案(1)eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1(x≥eq\r(2))(2)2解析(1)由|PM|－|PN|＝2eq\r(2)知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝eq\r(2).又焦距2c＝4，所以虚半轴长b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2).所以W的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1(x≥eq\r(2))．(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2，从而eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x12－y12＝2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠±1)，与W的方程联立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，则x1＋x2＝eq\f(2km,1－k2)，x1x2＝eq\f(m2＋2,k2－1)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq\f(（1＋k2）（m2＋2）,k2－1)＋eq\f(2k2m2,1－k2)＋m2＝eq\f(2k2＋2,k2－1)＝2＋eq\f(4,k2－1).又因为x1x2>0，所以k2－1>0.所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2.综上所述，当AB⊥x轴时，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))取得最小值2.17．已知圆C1：(x＋eq\f(\r(6),2))2＋y2＝eq\f(25,8)，圆C2：(x－eq\f(\r(6),2))2＋y2＝eq\f(1,8)，动圆P与已知两圆都外切．(1)求动圆的圆心P的轨迹E的方程；(2)直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹E交于不同的两点A，B，AB的中垂线与y轴交于点N，求点N的纵坐标的取值范围．答案(1)2x2－y2＝1(x>0)(2)(－∞，－eq\f(3,2))解析(1)已知两圆的圆心、半径分别为C1(－eq\f