《抛物线》拔高练习2

9/142.3抛物线一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、抛物线的焦点到准线的距离是（）A．B．C．D．2、以抛物线的焦半径为直径的圆与轴位置关系是（） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种均有可能3、设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（）A．B．C．D．无法确定4、若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（）A．B．C．D．5、若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．46、已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（，－1） B．（，1） C．（1，2） D．（1，－2）7、已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．8、已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且成等差数列，则有（）A． B．C． D．9、过点作与抛物线只有一个公共点的直线有 （） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条10、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为()A．4 B．8 C．16 D．11、抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（）A．B．C．D．12、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（）A．2a B． C．4a D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13、若直线经过抛物线的焦点，则实数．14、过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则．15、已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．16、对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是。三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。18、（本小题满分12分）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线与直线无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。Oyx1lF19、（本小题满分12分）如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．Oyx1lF（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值.20．（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；Ｏ题（21）图（Ⅱ）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值．Ｏ题（21）图22．（本题满分14分）ABCPQOxyl如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点．一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点．ABCPQOxyl（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（Ⅲ）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．B，而焦点到准线的距离是2．OFPQMNB设Q为PF中点，分别过P、Q作准线的垂线，垂足分别为OFPQMN则，∴点Q到轴的距离，故选B。3．C垂直于对称轴的通径时最短，即当4．B点到准线的距离即点到焦点的距离，得，过点所作的高也是中线，，代入到得，5．C解：双曲线的左焦点坐标为：，抛物线的准线方程为，所以，解得：，故选C。6．A解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图,故最小值在三点共线时取得，此时的纵坐标都是，故选A。（点坐标为）7．A解：本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设在抛物线准线的投影为,抛物线的焦点为,则,依抛物线的定义知到该抛物线准线的距离为,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和,故选A。8．C解：由成等差数列得，从而有根据抛物线定义即得：．故选C。9．C解：∵点在抛物线上，∴过点作与抛物线只有一个公共点的直线只有2条，故选C。10．B解：∵抛物线的焦点为，准线为∴设，过点向准线作垂线，则∵，又∴由得，即，解得∴的面积为故选B.11．A，且在直线上，即12．C（特例法）过抛物线的焦点F作与轴垂直的直线，则，∴，故选C。二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13．解：直线经过抛物线的焦点则14．解：如图，分别过点向抛物线准线作垂线，垂足为；过点作于。则，，又所以15．解:抛物线，顶点焦点是坐标原点，所以抛物线与两坐标轴的三个交点为，所以三角形面积16．设，由得恒成立，则三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解法一、设抛物线方程为，则焦点，由题意可得，解之得或，故所求的抛物线方程为，。解法二、设抛物线方程为，则焦点，准线：OFMN则由抛物线定义知：OFMN故所求的抛物线方程为，。18．解：（1）设抛物线的方程为，则消去得，则（2）解法一、显然抛物线与直线无公共点，设点为抛物线上的任意一点，点P到直线的距离为，则当时，取得最小值，此时为所求的点解法二、显然抛物线与直线无公共点，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，切点为P，则点P即为所求点。由消去并化简得：，∵直线与抛物线相切，∴，解得：把代入方程并解得：，∴故所求点为。19．解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：，化简得．（Ⅱ）设直线的方程为：PBQMPBQMFOAxy设，，又，联立方程组，消去得：，，故由，得：，，整理得：，，．解法二：（Ⅰ）由得：，，，．所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．（Ⅱ）由已知，，得．则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②由①②得：，即．20．xAy112xAy112MNBO把代入得，由韦达定理得，，，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，，．即．（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，．由（Ⅰ）知．轴，．又．，解得．即存在，使．解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得．由韦达定理得．，点的坐标为．，，抛物线在点处的切线的斜率为，．（Ⅱ）假设存在实数，使．由（Ⅰ）知，则，，，解得．即存在，使．21．（=1\*ROMANI）解：设抛物线的标准方程为，则，从而．Ｏ题（21）图因此焦点的坐标为，Ｏ题（21）图又准线方程的一般式为．从而所求准线的方程为．（=2\*ROMANII）解法一：如答21图作，，垂足分别为，则由抛物线的定义知，．记的横坐标分别为，，则，解得．类似地有，解得．记直线与的交点为，则．所以．故．解法二：设，，直线的斜率为，则直线方程为．将此式代入得，故．记直线与的交点为，则，，故直线的方程为，令，得点的横坐