高中数学学案2：高中数学人教A版2019必修 第二册 向量的数乘运算

6.2.3向量的数乘运算

【学习目标】

素养目标学科素养

1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律。(重点)1.数学抽象；

2.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线。(重点)2.直观想象；

3.逻辑推理。

【自主学习】

一.向量的数乘运算

1.向量的数乘运算的概念

一般地，规定实数人与向量a的积是一个,这种运算叫做向量的数乘，记作—,它

的长度与方向规定如下：

(1)I.

(2)当儿＞0时，八a的方向与a的方向；当1V0时，4a的方向与a的方向；

当4=0时，4a=_.

注意：人是实数，a是向量，它们的积4a仍然是向量.实数与向量可以相乘，但是不能相加

减，如4+a,4一a均没有意义.

2.向量数乘的运算律

设入，〃为实数，那么：

(1)4(ita)=.(2)(4+u)a=.(3)入(a+b)=.

3.向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的.对于任意向量a,b,以及任意实数儿，小,

恒有义(4a±〃疝)=.

二.共线向量定理

1.向量a(aWO)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数3使.

注意：(1)定理中，向量a为非零向量

⑵要证明向量a,力共线，只需证明存在实数3使得b=4a即可.

(3)由定理知，若向量萍儿孙则宓，应共线.又窟，弟有公共点/,从而B,。三点共

线，这是证明三点共线的重要方法.

2.三点共线的性质定理

若平面内三点B,C共线，。为不同于4B,C的任意一点，设狂儿洒则存在实

数人，〃使得4+〃=L

【小试牛刀】

1

思维辨析(对的打“v”，错的打“X”)

⑴实数儿与向量a的积还是向量.()

(2)若ma=mb,则a=b.()

(3)(/z?—n)a=ma—na.()

(4)若向量a和，不共线，且儿则必有4=〃=0.()

(5)若向量拔，且哄线，则4B,C,〃四点共线.()

【经典例题】

题型一向量的的线性运算

点拨：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提

取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向

量，实数看作是向量的系数.

例1计算

(1)(—3)X4a；(2)3(a+Z?)—2{a—ID)—a；(3)(2a+3b—c)—(3a—2b+c).

219

【跟踪训练"⑴化简善T)F2a+46)k3+136)=—

(111_

(2)若21x—利一5(6+C—3X)+8=0,其中a,b,c为已知向量，求未知向量x.

题型二用已知向量表示其他向量

(1)直接法

(2)方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和

已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.

2

例2如图，平行四边形(MDB中,向量而=a,OB=b,且赢=：反；CN=^CD,试用a,6表示威

OO

ON,狐:

【跟踪训练】2在△46。中，力〃为6。边上的中线，6为4〃的中点，则而=___________,EB

题型三向量共线定理及其应用

(1)若质=八衣，则瀛与无共线，又宓与应有公共点/,从而4B,。三点共线，这是证明三

点共线的重要方法.

(2)设比=入6+H赤,若存在实数X,〃使得4+〃=1,则A、B、C三点共线。

例3设两个非零向量a与力不共线，若宓=a+A,BC=2a+Sb,CD=3(a-b),求证：A.B、D

三点共线；

【跟踪训练】3(1)已知a与b是两个不共线向量，且向量a+与一(，一3团共线，则a=

(2)已知4B,P三点共线，。为直线外任意一点，若赤=疝+顺,求x+y的值.

3

【当堂达标】

1.已知月、〃£R,下面式子正确的是（）

A.与a同向B.0•a=0

C.D.若b=贝/引=4a

2.在UABCD中,AB=2a,AD=3b,则我等于（）

A.a+bB.a-b

C.2a+3bD.2a—3，

3.在△］笈中，若宓+衣=2被则怎于（）

」.3f1-3f

A.—~zAB+-ACB.-AB——AC

乙乙乙乙

1一1一1一J一

C.-AB--ACD.^-AB+-AC

4.已知点尸在线段46上，且|夜=4|心|,设尻4PB,则实数儿=

5.肯己(2a+85)—(4a—2，)=.

2

6.如图所示，在△/比'中，D,尸分别是勿，力。的中点，AE=^AD,AB=a,AC=b.

o

(1)用a,6表示而，AE,AF,BE,BF-,

⑵求证：B,E,夕三点共线.

【课堂小结】

1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如4+a,八一a是没有意义的.

4

2.若b=4a(aW0),且力与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，^AB=AAC,

则薪与元共线，又法与信有公共点4从而46,C三点共线，这是证明三点共线的重要方法.

3.设施=儿应+〃应若存在实数儿，〃使得儿+〃=1,则A、B、C三点共线。

【参考答案】

【自主学习】

一.1.向量4aM|a相同相反0

2.(八〃)a4a+ua4a+ab

3.线性运算儿ma土儿Pib

二.b=4a

【小试牛刀】

(1)V(2)X(3)V(4)V(5)X

【经典例题】

例1解(1)原式=(-3)X4)a=-12a；

(2)原式=3a+3b+2a—6—a=5b；

(3)原式=2a+3Z>—c—3a+2/>—c——a+56—2c.

222442622424

【跟踪训练】1(1)°解析：原式=铲-#铲一於+方+冒=(1§+正)"(-5-勺+

j1)b=0a+08=0+0=0.

2113

(2)解：因为2x-qa一射一尸+/+6=0,

J乙乙乙

721172111

所以5才一qa+jb—5c=。，所以y=鼻3-jb+jc,所以x=Ct

乙〉乙乙乙〉乙乙7

例2解：*：BA=OA-dB=a-b,

/.B^=^BC=^BA=^(a—6),

3bb

AO^f=OB+^M=Z?+~(a-6)=b+Ja—%=%+%.

66666

ffff11?22

由OD=而+~OB=a+b,得苏三5位?+公应?=/力=m+56.

乙OO

.

1511

2-6

6---

庙=ON—7)M=.+-626

【跟踪训I练［2^AB+^AC:罚一；五？解析：如图所示，2

例3证明：'：AB=a+b,瓦?=2a+8b,宓=3(a—b)

5

：.Bb='BC+Cb=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a~3b=5(a+/j)=5AB.

：.AB,反哄线，

又•••它们有公共点8,••/、B、〃三点共线.

【跟踪训练】3(1)一；解析：由题意知存在AdR,使得a+乂方=讥一/一3向］,所以

O

\儿=~k,

［1=3%,

(2)［解析］由于4B,产三点共线，所以向量拔，枪同一直线上，由向量共线定理可知，必

定存在实数人使方三儿就即游一而=几(*应I),所以碍(1—1)游+4位故x=l一4，

y=4，即x+y=l.

【当堂达标】

1.C解析：对A,当人〉0时正确，否则错误；对B,0•a是向量而非数0；对D,若6=则

|川=|Aa\.

2.C解析：AC=AB+Al)=2a+3b.

3.C解析：由质+衣=2淳得万-3而+而，所以诙=必+质=—；(法+