福建省福州市闽侯县第六中学2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题（解析）

第页，共页2024—2025学年第二学期高一年期中质量检测数学学科试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将答题卡交回．第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是（）A2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的概念可判断.【详解】的实部为虚部为，故选：C.2.下列命题中正确的是（）A.直四棱柱是长方体B.正六棱锥的侧面都是正三角形C.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥【答案】C【解析】【分析】由正棱柱、正棱锥的概念判断A、B；由旋转体的结构特征判断C、D．【详解】对于A，长方体是底面为矩形的直四棱柱，故A不正确；对于B，正棱锥的侧面都是等腰三角形，所以正六棱锥的侧面都是等腰三角形，故B不正确；对于C，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台,故C正确；对于D，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，故D不正确.故选：C.3.在中，点D在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量基本定理得到答案.【详解】.故选：A4.如图，四边形的斜二测画法的直观图为菱形，且，则四边形的面积为（）A.16 B.8 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法规则即可求解.【详解】由斜二测法的规则得：在坐标系中，四边形是矩形，由有，所以矩形的面积为.故选：B.5.已知圆锥的高为6，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.12 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据侧面的展开图，可得，进而根据勾股定理即可求解.【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，则，故，因此圆锥的高为，故，所以母线长为，故选：B6.在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】将切化弦，再结合正弦定理得到，进而有，即可判断.【详解】因为，所以，在中，由正弦定理得∴，∵，∴，所以是等腰三角形故选：A.7.用一个平行于正三棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间那部分的多面体是一个高为2的三棱台，且，则该三棱台的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算出上下底面面积，利用棱台体积公式进行求解.【详解】由题，，所以该三棱台的体积为.故选：B8.某校为加强劳动教育，在校内的空地上修建一块形状为平面四边形的劳动基地，如图所示，其中米，米，，且，则当四边形的面积最大时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】这道题考查的是余弦定理和三角形面积公式的综合运用.【详解】如图，连接，设米.因为，所以为等边三角形，则，在中，由余弦定理可得，即，由辅助角公式可知，，故当，即时面积最大，故选：D.【点睛】思路点睛：先由，且得到为等边三角形，再利用余弦定理找到与的关系，列出面积公式后用辅助角公式化简求值即可.方法点睛：辅助角公式，.关键点点睛：该题中，熟练运用三角形面积公式与辅助角公式是关键,二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数和对应的向量分别是，向量对应的复数记为z，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由向量的运算求得复数，再由复数的运算判断各选项．【详解】∵，∴，所以，，，，因此BC正确，AD错误，故选：BC．10.如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（）A.与平行 B.与是异面直线C.与相交 D.与是异面直线【答案】ABD【解析】【分析】把平面图还原正方体，由正方体结构特征逐一判断即可.【详解】把正方体的平面展开图还原原正方体如图，在正方体中，与平行，故A正确；由异面直线定义可得，与是异面直线，故B正确；与是异面直线，故C错误；由异面直线定义可得，与是异面直线，故D正确；故选：ABD.11.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记．设，则（）A. B.C. D.在方向上的投影向量的坐标为【答案】BD【解析】【分析】根据模长公式即可求解A,根据向量的加法运算即可求解B，根据数量积的运算律即可求解C，根据投影向量的计算公式即可求解D.【详解】对于A，由于则，故A正确，对于B，，故B正确，对于C,，故C错误，对于D,在方向上的投影向量为，故D正确，故选：BD第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.若是关于的方程的一个根，则_______．【答案】【解析】【分析】先由方程复数根互为共轭复数可得为另外一个根，再用韦达定理求解即可.【详解】根据方程复数根互为共轭复数，可得为另外一个根.利用韦达定理结合复数的加法和乘法运算可知，故答案为：.13.一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为_______．【答案】6【解析】【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积的坐标公式进行计算.【详解】由题意得：，，则合力对该质点所做的功为.故答案为：6.14.在锐角中，内角所对的边分别为且，则_______，边长c的取值范围为_______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用余弦定理得到，求出，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，求出，得到答案.【详解】，，故，所以，又为锐角三角形，，故，由正弦定理得，即，所以，为锐角三角形，，，解得，又，所以，所以，，，所以.故答案为：，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，且是实数．（1）求；（2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用复数的乘法运算结合复数的定义，列式计算求得即可得；（2）利用复数的加法运算及复数的几何意义，列出不等式求解即可.【小问1详解】因为所以由是实数，得，∴，【小问2详解】由（1）知，∴，∵复数对应的点在第四象限，∴，解得实数m的取值范围是.16.已知向量．（1）若单位向量与共线，求向量的坐标；（2）若，求实数m的值；（3）求与夹角的余弦值．【答案】（1）或；（2）（3）【解析】【分析】（1）利用共线及单位向量的意义直接求解.（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直的坐标表示列式求出.（3）求出的坐标，再利用夹角公式求解.【小问1详解】由，得，则与共线的单位向量为，所以或.【小问2详解】依题意，，，由，得，即，所以.【小问3详解】依题意，，所以.17.如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为．（1）求的体积；（2）求的表面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据球体与柱体的体积公式直接求解；（2）根据球体与柱体的表面积公式直接求解.【小问1详解】依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示．，，，，，所以的体积为．【小问2详解】，，，，．所以的表面积为．18.已知的内角所对的边分别为，且．（1）求B；（2）若，且为边的中点，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：由正弦定理边化角，诱导公式及两角和的正弦公式即可求解；法二：由余弦定理边化角即可求解；（2）法一：由余弦定理求得，再求得，在中由余弦定理即可求解；法二：由余弦定理求得，在中由列出方程即可求解；法三：由余弦定理求得，再根据及平面向量数量积的运算律即可求解；法四：由余弦定理求得，求得，在由列出方程即可求解．【小问1详解】法一：因，由正弦定理得，，所以，所以，因为，所以，因，所以．法二：因为，由余弦定理得，，得，则，因为，所以．【小问2详解】法一：由（1）知，，在中，，由余弦定理得，，所以，整理得，解得，或（舍去），所以，在中，因为D为边的中点，所以，由余弦定理得，，所以．法二：由（1）知，，在中，，由余弦定理得，，所以，整理得，解得，或（舍去），因为D为边的中点，所以，因为，所以，所以，所以，解得．法三：由（1）知，，在中，，由余弦定理得，，所以，整理得，解得，或（舍去），因为，所以，所以．法四：由（1）知，，在中，，由余弦定理得，，所以，整理得，解得，或（舍去），所以，在中，因为D为边的中点，所以，由余弦定理得，，所以．19.在正方体中．（1）如图1，若平面，求证：三点共线；（2）分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）．①如图2，求证：三线共点；②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）．【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②答案见解析【解析】【分析】（1）根据平面的基本事实3