福建省厦门市杏南中学2024-2025学年高一下学期4月期中测试数学试题（解析）

第页，共页厦门市杏南中学2024-2025学年学年下学期期中阶段练习卷高一数学一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的虚部概念求解.【详解】z的虚部是.故选：B.2.中，若，则的面积为（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三角形面积公式进行计算.【详解】因为，又所以的面积为.故选：A.【点睛】本题考查了三角形的面积公式.属于容易题.3.在中，点D是AB的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的加法和减法运算即可.【详解】因为点D是AB的中点，所以所以故选：D.4.已知向量满足，则（）A. B. C.0 D.2【答案】C【解析】【分析】根据数量积的定义及运算律计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：C.5.向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据投影向量的求解公式即可求解.【详解】在向量上的投影向量为.故选：B6.设m、n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】利用线线位置、线面位置关系，逐项判断即可.【详解】对于A，由，，得或是异面直线，A错误；对于B，由，，得或相交，或是异面直线，B错误；对于C；由，，得或或与相交，C错误；对于D，若，，则，D正确.故选：D7.如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积.【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为，

正六棱柱的底面面积为，如图所示，正六棱台中，，过点分别作垂直于底面于点，连接相交于点，则分别为的中点，过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，其中，，，由勾股定理得，故，所以正六棱台的斜高为，故正六棱台的侧面积为，又正六棱台的下底面面积为，所以该花灯的表面积为．故选：A．8.已知某圆锥的底面圆半径为1，且该圆锥侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用弧长公式及勾股定理，结合已知条件及球的体积公式即可求解.【详解】设该圆锥的母线长为，由，得，再设圆锥的高为，则，画出几何体的轴截面，如图所示则是等腰直角三角形，所以该圆锥的外接球的半径为，外接球的体积为．故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（

）A. B.在复平面上对应点在第二象限C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用复数除法求出，再逐项求解判断.【详解】依题意，复数，对于A，，A正确；对于B，在复平面上对应点在第四象限，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD10.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，，，则符合条件的有且仅有两个B.若，则C.若，则为钝角三角形D.若为锐角三角形，则【答案】BCD【解析】【分析】根据余弦定理以及正弦定理，逐项检验，可得答案.详解】对于A：若，，，由余弦定理得，故符合条件的有且仅有一个，故A错误；对于B：反证法：假设，根据三角形内大边对大角，则，由正弦定理可得，与题干矛盾，故B正确；对于C：若，由正弦定理得，由余弦定理得，故，所以为钝角三角形，故C正确；对于D：若为锐角三角形，则，所以，因为在上单调递增，所以，故D正确．故选：BCD．11.如图所示的正方体中（）A.B.异面直线AC与所成的角为C.若点P是直线AC上一个动点，则四棱锥体积随着点P的运动而改变D.直线与平面内任意直线都不平行【答案】AD【解析】【分析】利用线面垂直可得线线垂直判断A；利用平行线作出异面直线所成的角，在三角形中求解判断B；先证线面平行，从而确定四棱锥的高为定值，底面也确定，判断C；利用线面关系判断D.【详解】对于选项A，因为平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，平面，所以，正确；对于选项B，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以（或其补角）即为异面直线与所成角，连接，因为，所以为等边三角形，所以，所以异面直线与所成的角为，错误；对于选项C，因为平面平面，平面，所以平面，故直线上一个动点P到平面的距离为正方体的棱长，又四棱锥的底面面积确定，所以四棱锥的体积一定不随着点P的运动而改变，错误；对于选项D，因为直线与平面相交，所以直线与平面内任意直线都不平行，正确.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是________．【答案】6【解析】【分析】根据斜二测画法得出的结构，线段长，垂直关系，从而求得周长．【详解】斜二测直观图的画法原则，横坐标不变，纵坐标减半，所以，，又因为，所以，因此的周长为，故答案为：6．13.已知圆柱的侧面展开图的矩形面积为，底面周长为，则圆柱的体积为____________．【答案】【解析】【分析】求出圆柱底面圆半径及高，再利用柱体体积公式求解.【详解】由圆柱底面圆周长为，得该圆柱底面圆半径为1，由圆柱的侧面展开图的矩形面积为，得母线长，所以该圆柱的体积为.故答案为：14.如图，在中，，点D在线段上，且，则面积的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】根据，求出的最大值即可.【详解】在中，设，，整理得：．又，整理得：，，即，，，，，当且仅当时取等号．所以面积的最大值为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：根据面积公式结构选择用基本不等值求最大值，要注意不等式取等的条件，同时计算量也较大．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若与的夹角是钝角，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求出.（2）利用向量夹角公式及共线向量的坐标表示求出范围.【小问1详解】由，得，解得或，所以或.【小问2详解】由与的夹角是钝角，得且与不共线，则，解得且，所以的取值范围是.16.如图，在平面四边形中，，，，.（1）求的值；（2）求边的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）△中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可得结果.（2）△中应用余弦定理求即可.【小问1详解】由题设，，故，又，则.【小问2详解】由，，故，所以，故.17.如图，圆柱轴截面是正方形，，点E在底面圆周上（除外），，F为垂足．（1）求证：平面；（2）当直线DE与平面所成角的正切值为时，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，结合圆柱的结构特征推理得证.（2）由线面角求出，进而求出三棱锥的体积.【小问1详解】在圆柱中，平面，平面，则，由点在以为直径的圆上（除外），得，而平面，则平面，又平面，因此，又，平面，所以平面.【小问2详解】由平面，得是直线DE与平面所成的角，则，在中，，而，则，又，所以三棱锥的体积.18.如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点．（1）求证：，，，四点共面；（2）求证：平面平面；（3）画出平面与正方体侧面的交线（不必说明）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）作图见解析.【解析】【分析】（1）利用平行公理，结合正方体的结构特征证明即可.（2）利用面面平行的判定推理得证.（3）过作直线交的延长线分别于，连接相关线段即可.【小问1详解】在正方体中，连接，由分别是的中点，得，由四边形为正方体的对角面，得四边形是矩形，则，因此，所以，，，四点共面.【小问2详解】连接，由，分别是，的中点，得，又平面，平面，则平面，而，且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，因此平面，又平面，所以平面平面．【小问3详解】过作直线交的延长线分别于，连接分别交于，连接，由，得，直线平面平面平面因此五边形是平面截正方体所得截面，如图，所以是平面与正方体侧面的交线.19.已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且（1）求角C（2）若，，为角C的平分线，求的长；（3）若，求锐角面积的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将