安徽省滁州市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（解析）

第页，共页滁州市2024~2025学年第二学期高一期中考试数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列几何体不属于棱柱是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据棱柱的定义即可求解.【详解】根据棱柱的定义可知A为三棱柱，B为四棱柱，C为五棱柱，不属于棱柱的图形只有D选项.故选：D.2.若复数，则（）A.2 B. C.10 D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值.【详解】因为，所以.故选：D.3.已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得答案.【详解】向量，所以.故选：A4.若，则（）A.3 B.2 C.0 D.【答案】D【解析】【分析】由复数的乘法运算及复数的相等可求解.【详解】，再根据复数的相等，有，解得，所以.故选：D5.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出，即可求出．【详解】由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，则，故选：B．6.如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】由题意，为线段的中点，则．故选：D．7.已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律及平面向量夹角公式计算即可．【详解】由，得，由，得，整理得，所以，则，设向量的夹角为，则．故选：．8.为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里【答案】D【解析】【分析】画出图形，由题意可知，，，在中，利用正弦定理求出，再由为等腰直角三角形，求出，再在中利用余弦定理可求得结果.【详解】根据题意画出图形，如图所示：由题意知，，，所以，在中，由正弦定理得：解得，又，，所以，，又，在中，由余弦定理得：，解得，所以、两岛屿之间的距离为海里．故选：D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一个多面体至少有4个面B.圆柱的母线与它的轴可以不平行C.用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱【答案】AC【解析】【分析】根据多面体和旋转体的定义判断即可．【详解】对于A，多面体至少有4个面，故A正确；对于B，圆柱的母线与它的轴平行，故B错误；对于C，用任意的平面截一个球得到的截面都是一个圆面，故C正确；对于D，满足条件的几何体可能是组合体，如图所示，故D错误．故选：AC．10.已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则是实数C.若，则是纯虚数 D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项.【详解】因，又，所以，A正确；设，则，所以为实数，B正确；设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确；若，，则满足，而，D错误.故选：ABC.11.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.若，则角的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由是锐角三角形，可得，取正弦化简判断，对于B，由题意可得，化简变形后进行判断，对于C，由选项A可知，两边加上，化简进行判断，对于D，利用余弦定理结合基本不等式分析判断.【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，所以，同理可得，所以，故A正确；对于B，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，又，，所以，故B错误；对于C，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，所以，又，所以，，所以，故C正确；对于D，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，又，所以角的最大值为，故D正确．故选：ACD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______．【答案】8【解析】【分析】根据斜二测画法的规则即可求解．【详解】根据斜二测画法可知，原来平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4，故原来的平行四边形的面积为，故答案为：8．13.已知向量在向量上的投影向量，且，则_____________.【答案】【解析】【分析】由题意设，结合，求出，再根据投影向量的定义，列式计算，即可求得答案.【详解】由题意知向量在向量上的投影向量为，设，由，得，故，即，故，故答案为：14.已知中，，则__________；若点都在圆上，且，则与夹角的余弦值为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据数量积的运算律推导出，再由计算可得，取的中点，连接、，则，由数量积的运算律可得，最后由夹角公式计算可得.【详解】因为，所以，即，即，所以，取的中点，连接、，则，，所以，则，所以，设与夹角为，则，即与夹角的余弦值为.故答案为：；四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知点.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】依据向量平行和垂直的坐标表示形式来求得的值即可.【小问1详解】由题知，.若，则，解得，故实数的值为.【小问2详解】若，则，整理得，解得或.16.已知，复数．（1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；（2）若z满足，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解.（2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解.【小问1详解】复数在复平面内对应的点为，由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，所以的取值范围是.【小问2详解】依题意，，又，则，解得，，所以.17.如图，在四边形ABCD中，，，，，.（1）求及AD的长度；（2）求BC的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用平方关系求出，，由于，借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可；（2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可.【小问1详解】因为，，，，所以，，由于，又，∴，∴，则，∴，所以.在中，由正弦定理得，所以，所以【小问2详解】在中，由正弦定理得，可得，解得.由于，，在中，由余弦定理可得18.如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）设，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可；（2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解.【小问1详解】依题意，，∴，∴【小问2详解】由已知，因是线段上动点，则令，，又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，，在上递增，所以，，，，故的取值范围是．19.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足.请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：条件：①；②.（1）证明：；（2）若的平分线交于，，，求的值；（3）求的取值范围.注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得证；（2）结合角分线的性质及三角形面积公式可得，即可得解；（3）利用正弦定