辽宁省大连市大连王府高级中学2024-2025学年高二下学期第一学段考试数学试题（解析）

大连王府高级中学2024-2025学年下学期第一学段考试高二数学试题考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知等差数列的前项和为，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式可得，结合题意继而即可求解.【详解】由为等差数列得，解得，所以.故选：A.2.用最小二乘法得到一组数据（i=1，2，3，4，5）的线性回归方程为，若，则等于（）A.11 B.13C.53 D.65【答案】D【解析】【分析】代入回归方程，根据求和公式，即可求解.详解】.故选：D3.数列满足，则（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根据递推公式逐一代入计算即可.【详解】因为：，所以，故选：C.4.在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；（2）甲没中奖而且乙中奖的概率，（1）和（2）的值分别等于（）A.； B.； C.； D.；【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】由有50张奖券，共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完后乙再抽，设事件“甲中奖而且乙也中奖”，则；设事件“甲没中奖而且乙中奖”，则.故选：C.5.已知函数令得数列，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，得数列，根据数列为递增数列，联立方程组，即可求得答案.【详解】令得数列且数列为递增数列，得解得.即：故选：B.【点睛】本题主要考查了根据递增数列求参数范围问题，解题关键是掌握递增数列的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6.已知别为等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，利用三点共线得，根据等差数列的性质求得可得答案.【详解】，不妨设，因为三点共线，所以，所以，所以，故选：D.7.已知随机变量，且，则的最小值为（）A.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得，利用基本不等式求得正确答案.【详解】根据正态分布的知识得，则，，当且仅当，即时取等.故选：D8.设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（）A.4052 B.4051 C.4050 D.4049【答案】B【解析】【分析】根据题意，由递推关系结合等差数列通项公式与累加法可得数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，然后结合的定义，即可得到结果．【详解】由，得，所以数列为公差为2的等差数列，首项为，，则，，又，当时，，故，所以数列的前2025项之和为.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，选错得0分.9.下列结论正确是（）A.若回归方程，则变量与负相关B.在分类变量，的列联表中，越小，与有关的可能性越大C.若关于的回归方程为，则直线至少经过一个样本点D.以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则.【答案】AD【解析】【分析】根据线性回归方程的性质可判断A，C；根据分类变量，的列联表的性质可判断B；由非线性回归方程与线性回归方程的转化关系求解即可得的值.【详解】对于A，若回归方程为，由于，则变量与负相关，故A正确；对于B，在分类变量，的列联表中，越小，说明两个变量有关系的关系越弱，越大，说明两个变量有关的关系越强，故B不正确；对于C，若关于的回归方程为，则直，故C不正确；对于D，以拟合一组数据，设，则，若关于的回归直线方程为，则，所以，则，故D正确.故选：AD.10.公差为d等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（）A. B. C.中最大 D.【答案】AD【解析】【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，，再逐项分析判断作答.【详解】由，得，又，得，，所以，，数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，等差数列，公差，A选项正确；，B选项错误；前6项和最大，C选项错误；由，，有，则，D选项正确.故选：AD.11.已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则下列结论正确的是（）A. B.若，，则C.是公差为的等差数列 D.若，，则【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件利用等差数列定义、通项公式、前n项和逐一分析计算各个选项判断作答.【详解】等差数列的公差为d，则其通项，，，对于A，，A正确；对于B，因，，则，，B正确；对于C，，则，有，因此，是公差为的等差数列，C不正确；对于D，因，，则，两式相减得：，所以，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列中，前n项和，求的通项公式为______.【答案】【解析】【分析】利用求解通项公式.【详解】①，当时，，当时，，显然不满足，综上，.故答案为：13.已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则_______．【答案】【解析】【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值.【详解】当时，，即，表示以为圆心，为半径的圆在轴（含轴）的上半部分，当时，，函数周期为4，如图作出函数的图象，因为与函数恰有个不同的交点，根据图象知，直线与第个半圆相切，第个半圆的圆心为，半径为，故直线的斜率，所以，所以．故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解14.袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．则数学期望_______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由条件可得袋中原有白球的个数为6，即可得到的可能取值为1，2，3，4，分别求得其对应概率，然后结合期望的计算公式代入计算，即可得到结果；【详解】设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知，即，化简得．解得或（舍去），故袋中原有白球的个数为6.由题意的可能取值为1，2，3，4.，，，.所以取球次数的概率分布列为：1234所求数学期望为.故答案：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.15.等差数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求和的等差中项.（3）求.【答案】（1）（2）（3）195【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差及首项即可.（2）利用等差中项的意义求解.（3）利用等差数列性质求解.【小问1详解】在等差数列中，，则公差，由，得，因此，，所以数列的通项公式.【小问2详解】由（1）得和的等差中项为.【小问3详解】由（1）得.16.2020年寒假期间，某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况，并将依据调查结果对相应学生提出针对性学习建议．现从本校高一、高二、高三三个年级中分别随机选取30，45，75人，然后再从这些学生中抽取10人，进行学情调查．（1）若采用分层抽样抽取10人，分别求高一、高二、高三应抽取的人数．（2）若被抽取的10人中，有6人每天学时超过7小时，有4人每天学时不足4小时，现从这10人中，再随机抽取4人做进一步调查．（i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，求事件A发生的概率；（ii）用ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）高一、高二、高三应抽取的人数分别为2人，3人，5人；（2）（i）；（ii）见解析，【解析】【分析】（1）总数为30+45+75=150，从这些学生中抽取10人，根据分层抽样法求出高一、高二、高三应抽取的人数即可；（2）（i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，记事件B为“被抽取的4人中恰有1人学时不足4小时”，记事件C为“被抽取的4人中恰有0人学时不足4小时”，则由P(A)＝P(B∪C)＝P(B)+P(C)，求出概率即可；（ii）随机变量ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，则ξ＝0，1，2，3，4，求出随机变量ξ的分布列和数学期望即可．【详解】（1）从本校高一、高二、高三三个年级中分别随机选取30，45，75人，30+45+75=150，从这些学生中抽取10人，根据分层抽样法，高一应抽取102人，高二应抽取10人，高三应抽取10人，故高一、高二、高三应抽取的人数分别为2人，3人，5人；（2）（i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，记事件B为“被抽取的4人中恰有1人学时不足4小时”，记事件C为“被抽取的4人中恰有0人学时不足4小时”，则P(A)＝P(B∪C)＝P(B)+P(C)；（ii）随机变量ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，则ξ＝0，1，2，3，4，则，，，，，随机变量ξ的分布列如下：ξ01234PE(ξ)．【点睛】本题考查了分层抽样，考查了超几何分布概率、分布列和数学期望的求解，考查了运算能力，属于中档题．17.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据：月份123456不“礼让斑马线”驾驶员人数120105100859080（Ⅰ）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让斑马线”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程；（Ⅱ）若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据（Ⅰ）中的回归直线方程，判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”？（Ⅲ）若从表中3、4月份分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，，根据公式求得的值，即可得到回归直线方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）得当时，，即可根据题意作出判断结论；（Ⅲ）设3月份选取的4位驾驶的编号分别为：，，，，从4月份选取的2位驾驶员的编号分别为，，列出基本事件的总体，用古典概型及概率计算公式，即可求解概率.试题解析：（Ⅰ）依题意，，，，∴关于的线性回归方程为：.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，.，故6月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.（Ⅲ）设3月份选取的4位驾驶的编号分别为：，，，，从4月份选取的2位驾驶员的编号分别为，，从这6人中任抽两人包含以下基本事件：，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，∴所求概率.18.学生的安全是关乎千家万户的大事，对学生进行安全教育是学校教育的一个重要方面.临近暑假，某市教体局针对当前的实际情况，组织各学校进行安全教育，并进行了安全知识和意识的测试，满分100分，成绩不低于60分为合格，否则为不合格.为了解安全教育的成效，随机抽查了辖区内某校180名学生的测试成绩，将统计结果制作成如图所示的频率分布直方图.（1）若抽查的学生中，分数段内的女生人数分别为，完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为测试成绩与性别有关联？不合格合格合计男生女生合计（2）若对抽查学生的测试成绩进行量化转换，“合格”记5分，“不合格”记0分.按比例分配的分层随机抽样的方法从“合格”与“不合格”的学生中随机选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.0052.7063.8417.879【答案】（1）列联表见解析，测试成绩与性别无关联（2）分布列见解析，12【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出每一组的人数，然后填写列联表，再利用公式求出，与临界值表比较可得答案；（2）利用分层随机抽样的定义计算出从“合格”与“不合格”的学生中抽取的人数，则可得的取值为，求出相应的概率，从而可求得的分布列和数学期望.【小问1详解】由频率分布直方图知，得分在的人数分别为，，由题意知“不合格”的人数为72，“合格”的人数为108，故列联表为：不合格合格合计男生424890女生306090合计72108180零假设：测试成绩与性别无关联，根据列联表中的数据，计算得，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为成立，即测试成绩与性别无关联.【小问2详解】在“合格”中抽的人数为，“不合格”中抽的人数为，故的取值为，则，，故所求分布列为05101520所以.19.已知数列满足.（1）若数列是等差数列，求的值；（2）当时，求数列的前项和；（3）若对任意，都有成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由等差数列的定义，若数列是等差数列，则，，结合，得即可解得首项的值；（2）由，用代得，两式相减，得出