机械能守恒定律是质点动力学规律

机械能守恒定律是质点动力学规律一一力学相对性原

理与机械能守恒定律的关系研究综述

目录

摘要........................................................2

关键词......................................................2

一、对应原理在坐标变换中的要求.................................3

1.对应原理的提出........................................3

2.对应原理的意义........................................3

3.对应原理对于运动学、动力学方程的要求.................4

二、正确理解弹簧振子中弹力作用点问题...........................5

三、想功能原理及其应用..........................................5

四、势能的零点选取问题..........................................6

五、正确理解有势力、等时积分的概念.............................6

六、正确认识保守力的定义.......................................8

七、区分矢量力学的势能和分析力学中的势能概念..................13

八、内势能与外势能的关系.......................................18

1♦利JIJ内势能1"算的局限性••••・♦••••••・♦♦•♦・•♦・・♦♦••♦♦•・♦••••••••••••••••••••]8

2.内势能与外势能的转化问题................................20

3.内势能与外势能的关系....................................23

4.不同惯性系机械能守恒量之间的关系........................24

九、注意区分力学相对性原理和狭义相对论性原理....................25

十、分清主要因素与次要因素之间的关系...........................28

十一、孤立系统、开放系统和相对性原理...........................29

十二、平动与转动的类比..........................................30

十三、重新认识机械能守恒的条件..................................33

十四、日心说和地心说的再认识....................................35

1.地心说与日心说的回顾..................................35

2.从两休观点认识地心说与日心说..........................36

十五、经典力学动力学规律都满足力学相对性原理..................43

1.伽利略变换下的牛顿笫二定律............................44

2.伽利略变换下的质点动量定理、动能定理.................45

3.伽利略变换下的功的计算公式、势能.....................46

4.伽利略变换F的守恒定律................................46

十六、力学相对性原理的适用范围..................................48

十七、惯性定律与惯性系剖析......................................49

十八、非惯性系中的功能关系......................................59

1.惯性力的引入

2.非惯性系中的动能定理和机械能守恒...................60

3.折合质量（约化质量）的引入...........................61

4.广义相对论对于惯性力的放弃...........................62

参考文献...........................................................66

摘要：分析了在研究机械能守恒定律与力学相对性原理的关系时需要准确理解的十八个问题，正是这

些问题造成了长期的争论，建议力学教材明确指明，根据势能定理推导出惯性系中外势能的一般公式，外

势能不具有伽利略变换的不变性，最后给出•个简要的•般性证明一一机械能守恒定律满足力学相对件原

理，牛顿运动定律满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件.文章系统地阐明了机械

能守恒定律无条件服从力学相对性原理.

关键词：机械能守恒定律：力学相对性原理：势能公式：势能定理；质点动力学

中图分类号：0313.1文献标识码：A

一、对应原理在坐标变换中的要求

1.对应原理的提出

1911年卢瑟福提出了原子的核式结构理论,宣告了原子基本结构的确立，但是卢瑟福的原

子模型有一个致命的缺陷，它是直接由经典理论推演出来的，却无法由经典理论解释原子的

稳定性、同一性和再生性等一系列问题。Bohr在研究这一问题时意识到有核模型理论不但

在说明°粒子大角度散射之类的实验上是有用的，而且也为建立一种有关原子的各种属性

的系统理论奠定了基础。以此为研究目标，1913年Bohr分三部分在英国《哲学杂志》上发

表了划时代的论文《论原子和分子构造》，此文被后人称为玻尔理论伟大的三部曲。文中把

量子化的概念引入到原子结构之中，不仅从理论上解释了氢原子的光谱规律，并且精确地计算

出里德伯常数。玻尔理论揭示了亚原子层次的量子特性，它和经典理论在本质上是有区别的。

在考察其理论与经典理论之间的关系时，玻尔发现，随着量子数的不断增大，按照两种理论

求得的谱线将趋干一致，在极限情况下（当量子数〃-寸）原子的能量趋干连续，同时氢原子

光谱线的频率等「电子绕核运动的频率，而这些正是经典物理学的结论，对「这种渐近一致

性，部分学者认为这是玻尔对应原理的最初萌芽。从玻云1913年发表原子结构的论文开始,

玻尔其实就是在用对应原理指导他的研究，对应原理这个思想体系的建立是一个长期研究形

成的过程，而不是哪一天的工作。直到1920年玻尔才在正式场合使用“对应原理”一词，

这是他对前面研究工作的一种总结，是对类比、对应思想的一种更确切的表述方式。

2.对应原理的意义

对•应原理的方法论意义不限于最子理论的发展，对应性是属性或关系范畴，包含对立和

同一的类比性内涵，具有整体类比的意义。因此，现代科学发展中新旧理论之间也普遍存在这

种极限条件下的类比对应关系。如当物体运动速度远小于光速时，相对论力学公式就过渡为

牛顿力学公式等。同时，这一原理也对提出新的理论和模型具有重要的启示和选择作用，为

科学创新提出了一种制约性的要求，即任何理论的发展都必须是逻辑自洽的。

对应原理作为种富有启发性的物理思想，对当今物理学的发展仍然具有重耍的指导作

用。在对应原理提出初期，由于历史条件，对某些问题，如量子动力学中的初始问题未能很

好解决，使得在一个时期内量子力学不能像经典力学那样按因果关系去理解自然界的事件在

空间时间中的演化过程。20世纪中期以后，经典混沌研究获得成功，表明这一问题是可以

得到解决的。具体表现为:第一，经典力学中关于可积性的刘维尔定理，只是通过正则变换

来明白显示系统哈密顿量与角变量无关的动力学对称性，与所涉及的由泊松括号来表示的李

代数不同实现形式间的变换与变换后的哈密顿量具有的动力对称性的李代数特征，都有明确

的量子经典对应，故这一刘维尔定理对于相应的量子情形同样适用。第二，通过反映系统哈

密顿量动力对称性的李代数和李群，指出了哈密顿量的态空间与它的动力对称性群的表示空

间之间的联系，因为不论经典情形或量子情形，都会存在这样的联系，所以也就指出了量子态

空间和经典态空间之间的对应。第三，在量子力学中，哈密顿量的基态虽与经典力学中的静

平衡态不同，具有零点涨落，它是具有最小不确定度的态，但是通过动力对称性群的不同元

索的作用，可以给出与经典相点一一对应的具有最小不确定度的量子态，在不确定性原理的

前提下，具有明确的量子经典对应。近年来实验技术的发展，使得能将微观粒子捕入势阱，

再进一步将其冷却，从实践上提供了制备最小不确定度的可能。另外量子力学与经典力学的

一个基本差异是线性叠加的“退相干”问题，而现行研究表明宏观量子体系在环境的影响下

即退相干而显出经典性质，所以在量子力学现有的框架内依据对应原理，像经典情形那样完

整地考虑量子动力学问题，不仅具有理论的而且还具有实践的意义。

3.对应原理对于运动学、动力学方程的要求

从运动学角度来看，选取什么物体系统作为参照系描述质点的运动，仅是为了处理问题

的方便.这个看来是很简单的问题，在物理学史上却占有极为重要的地位。在四百多年前，

哥白尼提出用日心说代替地心说，就是变换参照系的一个极为典型的问题.这一理论的建立,

是天文学史上的一次伟大革命，是自然科学从神学中解放出来的标志，也是科学大踏步前进

的开始。变换参照系处理问题，既不是故弄玄虚，更不是玩弄数学游戏，从运动学角度来看,

完仝是为了方便，描述运动更加简单。

对于同一物理过程，不同参照系测量的守恒值不同，不代表不满足相对性原理。同理在

运动学中，对于同一物理过程，不同观察者得到的运动方程形式上看似乎不协变，例如在静

止系计算是自由落体运动，在运动系计算可能是平抛运动；在静止系计算是简谐振动，在运

动系计算可能不是简谐振动；在静止系计算是匀速圆周运动，在运动系计算既不是匀速圆周

运动，也不是椭圆运动，而且轨迹不封闭；……这些不能说明运动方程不具有协变性，不满

足相对性原理，只耍在运动系”算的运动方程当v=0时回到峥止系方程即可，满足对应原理

的要求就是满足相对性原理，运动系计算的运动方程是一般性方程，具有协变性，例如在运

V2+y'2+^-arcsin—arcsin—1=R:

动系计算质点的轨迹方程为R"I内,当v=o时显然

是匀速圆周的轨迹方程，因此方程具有协变性。伽利略运动的相对性原理能使牛顿力学运动

方程的形式在任意惯性系中保持不变，不会破坏运动方程及其解的唯一性。对「运动学的定

律，应该区分清楚用圆、抛物线、直线描述时，其数学形式也不会完全相同才合乎逻辑规范

吧一一科学理性有逻辑理性、数学理性、实验理性三种。

无论伽利略变换还是洛伦兹变换，在变换中存在着某些不变量和协变量，对于协变量

必须满足对应原理的要求，例如运动系测量的某个物理量当牵连速度等于0时必须等于静

止系测量的该物理量，对于非惯性系当牵连加速度为0时必须回到惯性系测量值。

二、正确理解弹簧振子中弹力作用点问题

力的大小、方向和作用点是力的三要素，但是必须本质地看待力的作用点问题，根据牛

顿第二定律力必须作用在有质量的点上，因此在研究弹簧振子和单摆问题时必须注意这个问

题⑵。我们可以把动量类比于电量，电量对于时间的变化率为电流强度，动量流即力是动量

对于时间的变化率，因此无质量的弹簧就是传递动量流一一力。「5）

由于弹簧和质点联系在一起，如果等效认为势能属亍弹簧，此时只需考虑弹簧一端受力

即可，劲度系数也是按照一端受力定义的，另一端为固定端。下面利川反证法说明考虑墙壁

的作用力,劲度系数依然按照k计算的错误一一假设墙壁的作用力单独改变质点的机械能.

与质点的作用力一样，根据对称性原理，必然改变弹簧的形变，那么弹簧的形变就不再是伽

利略变换的不变量，以弹簧的伸长为例，如果考虑墙壁的作用，当质点运动到最大位移处，

质点对于弹簧的拉力F=-kA。对于小车系，测量的力也是F=-kA,墙壁的拉力是F产-kA,如果

此时劲度系数依然按照k计算，此时弹簧的形变为2A,这样弹簧的形变就不是伽利略变换

不变量，显然是错误的。

三、鹰功能原理及其应用

文献［6］详细分析了功定义的三种表述是一致的，功不具有伽利略变换的不变性，耗散力

做功不能把物体视为质点等问题，在此不再论述。

所谓鹰功，就是不真实的功，但是数学表达式与功的表达式相同，它等于外力与质点组

质心位移标积的积分.这时外力虽然不做功，但它可以改变质点组的总动量，使内力通过质

点组），内各质点间相对位置变化做功，把内部其它形式的能量转化为质点组质心的动能。

度功能原理：作用于物体组的所有外力的矢量和的陵功等于以物体组质心为代表的平动动能

的增量。

例1人由一楼匀速走到五楼（请注意是对地不动的楼梯），地面对人的支持力是否做功？

是什么形式的能转化为人的重力势能？

分析：从做功的角度来看，人在登楼时，地面对脚底有支持力时，脚没有发生位移，脚

膝空向上运动时，支持力消失，故支持力不做功。人在登楼时，不能把人看作一个质点处理,

从质点组的动能定理（卬外+/％=EKH-EKA）角度来看，人所受外力和身体各部分之间内

力做功之和等于人的动能增量，既内力做功与重力之和为零（因为人是匀速走的）。这说明

人的身体各部分之间的内力做正功，从功和能的关系角度，如果地面的支持力做功，则地面

必然给人提供能量，事实上地面不可能给人提供能量，因此地面不可能对人做功。事实上是

肌肉收缩做功，也就是人的内力做功，从而把人体内的化学能转化机械能和内能（人体五分

之四的热能来自肌肉收缩），即人的重力势能是通过消耗人体的生物能来转化来的。（以上是

从内力做功的角度来考虑）从膜功能原理的角度来讲，在登楼时受到竖直向上的支持力和竖

直向下的重力，人的位移方向与支持力方向相同，故支持力做正功，重力做负功，地面提供

能量转化为人的重力势能，

四、势能的零点选取问题

根据力学相对性原理.（或者说坐标系的观点），在计算势能时势能的零点应该相对于观

察者不变，血不是相对于力源不变，例如在一个相对十地面匀速上升的封闭的电梯内，一个

观察者看到一个小球从电梯的顶端落下，碰到电梯底部后发生弹性碰撞，如果不考虑空气阻

力等因素，理想状况下小球将不断运动下去，观察者看不到外面的情况，不知道小球距离地

面的高度以及电梯相对于地面的速度，势能的零点只能相对于自己不变。只要建立了坐标系，

势能零点便随之确定。汤川秀树讲：“只用物体、空间和时间这样的概念，还很难准确地描

述运动，所以人们进一步引进坐标系，特别是直角坐标系。”

一个坐标系一个势能零点,不存在所谓各个坐标系的公共势能零

点，引力势能选在无穷远点计算方便，其他势能零点选在坐标原点计

算方便。i般情况下在一个惯性系里选择了势能零点，在另i个惯性系里最好用它的伽

利略像点，并不是选择其他点不行，只要相对于观察者不变即可。当一个轻质弹簧竖直悬挂

一个质点，质点浸没在水（充分多，忽略质点运动对于其能量的影响）中，在这里质点具有

弹性势能、重力势能、浮力势能⑺，在地面系看来总机械能守恒，在相对于地面匀速上升的

电梯系看来，机械能也守恒，势能零点只能相对于观察者不变⑻。文献［9］由于用错了势能

零点，才导致了势能显含时间的错误。

五、正确理解有势力、等时积分的概念

力是看不见也摸不到的，许多天才哲学家都承认力是最难弄清的概念。恩格斯认为：“力

只能被当作未被阐明的因果关系的略语来使用倒也可通，在日常生活中作科学上的小买卖，

技术上开个处方倒也可通，超过了这一点，在理论方面乱用力字的名词就是荒谬。形而上学

最省力气，他们凡是碰到不能解释的种种现象就贴上种种力字的标签作为避难所。有多少不

能解释的现象，就有多少力的名词。终极的原因和无数起作用的原因之间的对立，被相互作

用的范畴所扬弃，因为我们不能追究到比相互作用更深的地步上去了。”(这些话引自恩格

斯《自然辩证法》

当质点运动时所受力系F是位置和时间的单值连续函数，我们称这部分空间为力场，且

可表为F=F(r,t)。若F中不显含t,则称为稳定力场(三维空间里的力场)；F显含t时称为

瞬变力场(四维空间里的力场)。

显含时间力场的定义：对于力F邛(r,t),如果时间t不能通过恒等变换消去，只能表

示为位置和时间的二元函数，或者说力F对于时间的偏导数不恒等于0,那么力F就是•个

显含时间的力场或者说是一个不稳定场。州

力场显含时间是指场的坐标含有时间参最I,/•是指质点的坐标，含有时间参展i是必然

的，通过坐标变换可以完全消去，不叫做品含时间。

对于稳定场F=F(r)而言,假设U'(r)=F(r),F(r)dr=U(a)-U(a)=0,因此所有的稳定

场都是保守力场，对于非稳定场环路积分一定不等于0,可以把保守力的定义简化为：只与

空间位置有关的力。

若质点在空间各处所受场力F都相同，则称为均匀力场；反之，F在空间各处都不相同时，

则称为非均匀力场。例如万有引力场和弹性力场都是稳定场(三维空间里的力场)，在地面

附近的重力场F=mg便是均匀场，而瞬变场的例子在电磁学和量子力学中是很容易见到的。

注意显含时间的力F=F(r,t)是位置和时间的二元函数，如果t也是位置的函数，如果此

时F可以表示为位置的一元函数，不是显含时间的力，只能认为是隐含时间的力皿。文献

[11〜12]列举的实例也可以消去时间3不是显含时间的力。

王振发先生在“21世纪高等院校教材”《分析力学》中给出了力学原理的分类原则一

一力学原理可分为两大类：不变分原理和变分原理。每类又可分为两种不同的形式：微分

形式和积分形式。不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律。如果原理本身只表明某

一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理，如达朗伯原理就是不变分微分原理。如果原理

是说明一有限时间过程系统的运动规律，则称为积分原理，如机械能守恒原理即不变分的枳

分原理。而变分原理则不同，它提供一种准则，根据这种准则，可以把力学系统的真实运动

与相同条件下约束所允许的一切可能运动区别开来，从而确定系统的真实运动。如果准则是

对某一瞬时状态而言的，则该原理称为微分变分原理.，例如虚位移原理就是微分变分原

理，……动力学普遍方程和……高斯最小拘束原理都是微分变分原理。如果准则是对一有限

时间过程而言的，则该原理称为积分变分原理，……哈密顿原理和拉格朗日最小作用量原理

即积分变分原理。⑴

当场力F=F（r,t）时，若把时间t看作参数，而场力F的旋度尸x\7=0（40除外）得到

满足，则势能函数U存在，且F=—Vx川成立，即心V（r,t）,F=F（r,t）=-VV（r,r）,我

们把这样的力场称为有势场，是无旋场。若场力F中显含t时，这种有势场是非稳定的；若

场力F中不显含I时，这种有势场是稳定的。对于非稳定的有势场而言，等势面只具瞬时意

P1

义，而计算场力作功的公式W=JdW=-JdV=%-l/2不再成立，因为积分时不能将参数t

PI

dv

固定，场力的元功为flW=-VVdr=-dU+—dt.这种非稳定的有势场不是保守场，与它

dt

相关的势能函数U表示为位置和时间的二元函数依W,，f）«一般说来，具有势能函数的无

旋场不•定是保守场，它仅是有势场。重力、弹簧弹力和万有引力等都是稳定场（三维空间

里的力场），不是显含时间的力场（四维空间里的力场）。

等时积分是一个数学概念，当力场F（r,t）是时间利空间的多元函数时，在指定时刻t

和指定路线L,对力F的空间积分叫做等时积分.只有显含时间的力场（四维空间里的力

场）中的等时积分才不等于0,对于重力场、引力场、弹力场等稳定场（三维空间里的

力场）的等时积分都等于0,因为在稳定场（三维空间里的力场）中质点在任意时刻的

位移是唯•的，文献［9］作者得出等时积分不等于0,这是明显的低级错误。如果按照等时

枳分计算势能的改变量，自由落体运动中在地面系测量质点的重力势能始终不变，质点的动

能不断变化，机械能不守恒，这是极其荒谬的。

文献［9］利用等时积分计算势能的改变量，得出功和势能的改变量具有伽利略变换的不变

性，如果按照这个观点在弹簧振子问题中熠壁的作用力的等时积分也始终为（），不改变弹簧

的势能，文献［9］的观点显然是错误的。随体积分计算动能的改变量，不具有伽利略变换的

不变性。动能和势能的改变量利用不同的积分计算，显然二者不一致。

六、正确理解保守力的定义

在一个物理系统里，感受到某作用力，一个粒子从初始位置移动到终结位置，而此作用

力所做的机械功，跟移动路径无关，则称此力为保守力（conservativeforce）,又称为守恒力。

等价地，假设一个粒子从某位置，移动经过一条闭合路径后，乂回到原本位置，则作用与这

粒子的保守力所做的机械功（保守力对于整个闭合路径的积分）等于零。在一个物理系统里，

所有的作用力都是保守力，则称此物埋系统为保守系统，乂称为守恒系统。对于这种系统，

在空间里的每一个位置，都可以给位势设定一个唯一的数值。当粒子从某位置移动至令一位

置时，保守力会改变粒子的势能，前后差值与所经过的路径无关。

现在的力学教材都是利用环路积分为0定义保守力的，文献［13〜14甘旨出如果力的保守

性可随参照系而变，那么在不同的惯性系中做关于某力的保守性的物理实验，将可根据该力

在一惯性系中做功是否与路径有关，从而判断该惯性系相对施加该力的作为另一

惯性系的物体是否在运动一一这是相对性原理不能允许的。力是伽利略变换的不

变量就不成立了，经典力学理论本身就出现了矛盾。

文献［15］证明了旋度等于0、环路积分为0和作用力F是某位势中的梯度三者是等价的,

环路积分为0是力是保守力的充要条件。如果作用在物体的力所做之功仅与力作用点的起始

位置和终了位置有关，而与其作用点经过的路径无关（注意这里的路径必须具有任意性，否

则不一定是保守力⑹。），即不仅力有势，且在相应的势能表达式中不显含时间，该力则为保

守力。势能定理为dEp=-/环路积分必等于0。当势能不显含时间时，也可以称为位能,

势能是位置的函数，教材中可以将势能和位能区别开来，位能作为势能的•种情形。由于我

们研窕问题中势能一般不显含时间，也可以不加区分，本文没有区分，默认势能不显含时间。

由于旋度具有伽利略变换的不变性，因此力的保守性也具有伽利略变换的不变性，文献

［10］证明了力的保守力只有伽利略变换的不变性，保守力不nJ■能经过伽利略变换变成显含时

间的力。

引力是在三维空间里的力场，是稳定场，不存在所谓的引力磁场的问题。电磁力是四

维时空里的力场，非稳定场，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，是因为存在对

于时间的变化率，所以有电场和磁场的区别。

机械能守恒定律是时间均匀性的体现，显含时间的力场能量不守恒。对于弹簧振子

而言弹性势能公式Ep二，kx2是质点的弹性势能，而且不适用于所有的惯性系［17」，计算

2

弹簧的势能时必须同时计算其动能。文献［19］认为机械能的哈密顿量是位置坐标的函数，

在进行该位置坐标上的坐标变换时总会携带时间，导致其哈密顿量对时间的偏导数不为0,

是完全错误的，通过上面的分析可以看出时间t完全可以消去，其哈密顿量对时间的偏导数

始终为0.

场的性质是它本身的属性，和坐标系的引进没有关系。引入坐标系是便于运用数学研究

它的性质。经典力学中显含时间的力在各惯性系都是显含时间的力，机械能在各惯性系都不

守恒，不是保守力经过伽利略变换得出。伽利略变换是一种观测效应，它的实质通俗解释就

是一个质点在绝对空间里运动，两个惯性系里的观察者测量其速度和位移，然后利用矢量力

学规律描述其运动，场的坐标不变，在伽利略、牛顿时代还没有场的概念，认为是超距、瞬

时作用，直到法拉第、麦克斯韦时代才提出场的概念。俣守力是有势力的一种，力是伽利略

变换的不变量，包括力场的性质不变，在一个惯性系中某个力不显含时间，在另外的惯性系

中也一定不显含时间，例妇在自由落体问题中匀速上升的电梯系中我们不能计算势能时重力

是显含时间的力，利用动能定理求动能时重力不是显含时间的力，前后不自洽。用对称性原

理表述为，由势能对时间平移的不变性，就必有能量的守恒性（例如重力随时间的可变性，

在重力较弱时把水提升到蓄水池中去，所做的功较少：在重力变强时把蓄水池中的水池放出

来，利用水力发电，释放出较多的能量。这是典型的第一类永动机）。

对于一维运动，凡是个胃X单信函数的力都是保守力。设力F沿X方向，H其大小星-x

的函数，即「=乩1=£«）匕则F.dr=Fxdx=d［u（x）］,可以写成一个函数的全微分,因此F是保

守力，例如服从胡克定律的弹性力f=f（X）=-k（X-X0）是X的单值函数，故它是保守力。对于

一维以上运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力G初g是保守力。若在空间中存在某

个中心0,物体（质点）P在任何位置上所受的力f都与“向量0P”方向相同（排斥力），

或相反（吸引力），其大小是距离厂标量0P的单值函教，则这种力叫做“有心力”，例如

万有引力就是有心力，凡有心力都是保守力“我们可以概括为只要力与质点的运动状态无

关，而且是位置的单值函数就是保守力。因此静摩擦力是保守力，滑动摩擦力是耗散力。

大学力学里的保守力一般只提重力、弹簧弹力和万有引力，其实有些其他的力也是保守力，

例如斜面的支持力出、摆线的拉力、匀速圆周运动的约束反力、静摩擦力、理想流体的压力

I191o流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力，因此理想流体的压

力能也可以称为压力势能，其实管壁的侧压力也是一个保守力。）、弹性碰撞中的弹力、惯性

力以及浮力等，文献［20］列举了关丁浮力势能的文章很多，本文不再论述。斜面的支持力是

一个保守力，例如把斜面固定在地面上，在地面系看来小滑块在斜面上无论如何运动，当小

滑块回到原点时支持力的功都等于0,所以支持力是保守力，又由于力是伽利略变换的不变

量，因此在小车系看来支持力也是一个保守力。只要是保守力就可以引入势能，但是注意是

小滑块的支持力势能，不是斜面的支持力势能，因为斜面不考虑形变。又因为重力也是一个

保守力，因此它们的合力也是一个保守力。由于力是一个伽利略变换的不变量，因此在小车

系看来小滑块受到的合力也是一个保守力。

文献［21］指出了约束力是保守力的问题，文献［22］证明了约束力是保守力，文献［15］

和［18］验证了约束力是一个保守力，文献［23］指出只要是保守力就可以引进势能。力学中的

力可以分为三种：保守力、耗散力和显含时间的力。一个力可为保守力的前提条件为该力（大

小、方向）不随时间变化。文献［20］给出了势能的一般定义由于质点受至U有势

力而具有的能量叫做势能，势能的定义式为d£p=（-/）dr（与F哼

等价），当有势力不显含时间（即为保守力）时，势能也可以称为位能。

势能显含时间的充要条件是力场显含时间。如当两质点间的相互作用力除与

距离有关外还与两者的速度有关（如带电质点间的磁力）时，这两质点也可能存在位能，两质

点间的作用力不是保守力。

在分析力学中不考虑约束力对于系统的机械能的影响，也说明把约束力按照保守力来对

待。在完整约束下的第二类拉格朗日方程：——=如果要研究

力为aMa

的系统所在的内外力场均是保守力场，或者其它作用于系统的力均不作虚功。如果系统处在

保守力场中，保守力系必有与其对应的势能v,此势能是系统中各个质点的位置函数，即：

V=V储…弓…/）,且有它的三个分量表达式为：F=_曳F=-叱F=处。

"血切现''出

如果将方用广义坐标表示：弓=弓①，。则势能也就是广义坐标及时间t的函数：V=V（q,

t）,由此我们很容易求得在保守力场中广义力2,的表达式。由广义力的定义得:

七9普2-W瓢？售新言给合勃一根据复合

函数的微分规则可知其结果为］=_空将此结果代入第二类拉格朗口方程就可将它写成为:

ddTcTdV""/7—旷）=0•.•亚=o：.左边的式子又可写成为:

dicqadqadqa由的adqa

4a（7-V）—贸丁-丫）二0在这里就定义:L=7—V,L称作为拉格朗日函数，简称为拉

力的a为a

氏函数，它就等于系统的动能与势能之差。那么上式就可写成为：

（1dL一匹=O（a=1,2,…s）这个方程就是完整约束保守系的拉格朗日方程。有时也叫它

话就初

为拉格朗日方程或拉氏方程。由前面的推导可知这个方程适用的条件是：完整约束，保守力

系或者除了保守力系之外的其它力均不作虚功，T和V即L都是相对惯性系的量。

由于质点受到万有引力而具有的势能叫引力势能，由于质点受到重力而具有的势能叫重

力势能，而把弹性势能定义为由于弹性形变具有的势能不具有和谐性。有人说没有形变哪来

的弹力，确实这样，一个物体放在水平地面上受到支持力是弹力，但是我们不必考虑形变，

力学中不必考虑力的性质的来源，重力来源于万有引力，摩擦力还来自于电磁力呢？我们计

算摩擦力时从来不考虑电磁力的问题，研究质点的重力时也不考虑万有引力。赵凯华认为：

“研究一个规律的表述所具有的对称性，并设法消除某种不对称因素，从而使其规律的表述

具有更多的对称性，这无疑是有重要意义的“因为它不仅满足人类对于美（对称，和谐）的

心理追求，而且更重要的是使表述的规律具有更大的普遍性。

例2一个质点静止在水平地面上，在地面上的观察者看来，质点的动能和势能都不变，

机械能守恒：在相对于地面匀速运动的电梯里的观察者看来,质点的动能不变,支持力和重

力同时做功，两个力做功之和为0,重力势能的减少量等于支持力势能的增加量，因此势能

也不会发生变化，机械能也守恒，满足力学相对性原理。如果把支持力当做外力，在电梯系

支持力做功，机械能增加，能量来自哪里？这样就不满足力学相对性原理了。

例3地面上有两堵相互平行的刚性堵沿南北方向，其间有一刚性小球沿东西方向因与墙

的碰撞来回运动。地面上小球的机械能守恒，但在沿东西方向匀速运动的小车上看，小球机

械能不守恒。

错误分析•：在小车上看，小球的速度等于地面的速度（-V）加小球相对于地面的速度（一

会儿是W与墙碰后是rv）。所以在小车上看，小球的速度是一V+W,或-V-W。显然小球动能在

跳跃式来回变化，机械能不守恒。

止确解答：在这里由于是弹性碰撞，弹力做功没有产生热能，也应该视为保守力。在地

面系看来是弹性碰撞，应该理解为小球在压缩过程和还原过程中位移大小相等，平均力的大

小不变，因此动能不变。在压缩过程中动能转化为势能，在还原过程中势能转化为动能。如

果在地面系选择起始时刻势能为0的话，在地面系看来除非碰撞过程外，势能始终为0。

在小车系看来，小球在压缩过程和还原过程中位移大小不再相等，平均力的大小不变,

因此增加的势能转化为动能，或者减少的动能转化为势能。从上面的分析可以看出弹性碰

撞不能视为完全不能形变的质点，否则会造成矛盾。此时可以认为是若干个受弹力作用的

质点，每一个质点都受到保守力的作用，所以其机械能守恒，进一步得出整体的机械能守

恒。东西墙各安装一弹簧令小球在两弹簧间运动。假定系统没有非保守力作用，机械能守

恒定律在各惯性系都成立。从上面的分析可以看出真正的弹性碰撞并不存在，实验中是近

似弹性碰撞，此时组成物体的各个微粒能量不变，通过质功完全转化为物体的能量，是理

想化模型。

金属材料在外力作用卜发生弹性变形，分析其内任一有限部分（设其包含的区域为V,

表面为S）的功能变化关系。根据热力学的观点，物体受力时发生变形，外力对此金属材料

做功，同时该物体与外界还可能有热量交换，物体的动能与内能也发生变化。因此，这是一

个简单的热力学过程，必须遵守热力学第一定律，同时必须遵守热力学第二定律。此过程按

照热力学第一定律其微分表达式为：+其中："W表示外力对此

物体做功；"Q物体产生的热量；次;动能增加；dK内能增加（应变能增加）。

根据产生能量形式的不同，弹性变形的形式和受力情•况也不同，一般可分为三种：

a当弹性体在外力作用下发生塑性变形，弹性体在产生变形能（势能）的同时也产生了

热能。数学表达式为此时弹力不是保守力；

b当弹性体在外力作用下发生振动效应的变形，弹性体在产生变形能（势能）的同时也

产生了动能，此过程受力为动载荷或恒力。数学表达式为，八〃=+此时弹力是保

守力；

c当弹性体在外力作用下只发生弹性变形，此变形只产生变形能（势能），此过程弹性

体受的力为弹性力。数学表达式为小^=，木，此时弹力也是保守力。

以上三种情况都满足热力学第一定律。

七、区分矢量力学的势能和分析力学中的势能概念

经典力学理论从牛顿形式发展为拉格朗口形式，在思想观念上的创新主要有二：一是在运动

学意义上用“独立”坐标取代了牛顿理论中为表示一个力学体系中的每个质点的位置所需要的坐

标，后者的数量可能比前者少得多，这样可使动力学方程的数目减少很多，使数学方程变得容易

求解。说得具体点，设某个力学体系由n个质点和即个刚体组成，用牛顿力学的理论表示这个力

学体系的动力学方程时，需要3n+6m个坐标，有3n+6m个动力学方程。但这个力学体系内部和体

系与外界之间，往往存在许多“约束”条件，设有f个约束条件，每个约束条件可以消去一个不

独立坐标。因此这个力学体系实际上可自由运动的“独立”坐标只有s=3n+6m-f个，s称为这个

力学体系的“自由度”。经典力学的拉格朗口理论就是在给出一个力学体系的动力学方程时，已

经把全部不独立坐标消去，这样就可使动力学方程的数目大大减少。二是在拉格朗日理论中，用

“动量”取代了牛顿理论中的速度。速度是坐标对时间的导数，只与时空性质有关，与力学理论

并无直接关系。拉格朗日理论中的独立坐标被称为广义坐标，对于自由度为S的力学体系有S个

广义坐标0・，与其相对应的广义动量夕O被定义为

p.=会=Pa(q@i)，a=1,2,3,..............s(1.1)

“a

上式中的T是整个力学体系的动能。(1-1)式是s个代数方程，将其联立对s个@求

解，可得

R=4式4A©a=l,2,3,................s(1.2)

由于以上两方面的变化，在经典力学的拉格朗日理论中，一个力学体系状态的表示形式和动

力学方程的形式，也要作相应的变化。动力学方程改变为

式中的L称为此力学体系的拉格朗日函数

L=T-V=L(q,@,t)(1•4)

上式中的T和V分别为整个体系的动能和势能。

经典力学的拉格朗日理论可由牛顿理论加上约束条件推理而得，这里从略。简而言之，就是

利用(1・1)式和(1・2)式，将(1・3)式和(1・4)式中的所有广义速度0；都用广义动量夕.

取代。这时s个联立的二阶常微分方程(1・3)就被2s个一阶方程

心=二；a=1,23............,S(1・5)

所取代，(1-4)式所表示的拉格朗日函数L被哈密顿函数H所取代，哈密顿函数与拉格朗日

函数之间的关系是

H(q,p,t)=£<paq,a-L(q：q(L6)

上式中所有的广义速度《在哈密顿理论中都必须用(1・2)式将其变为用q-p-t来表示。

根据以上所述，似乎经典力学的哈密顿理论全部来自拉格朗口理论，并无实质性的区别。但

实际上二者是有原则性的区别。拉格朗日理论的应用仅限于力学范畴，而哈密顿理论之所以能够

成为包括量子力学在内的整个物理学的理论基础，都源于有此区别。

设函数L/qR,t）满足拉格朗日方程（1・3），即:鼠-=0a=123……S

成立。现在有另外一个函数Lj（q，4,t），它与函数.满足关系式L,（q,q：C）=l（q,4t）

+^azf（q,t）（1•7）

上式中的函数f（q,t）是一个坐标q和时间t的任意函数。因为

软联）=£.新%琮（1・8）

将（1・7）和（1・8）式代入（1・3）式，立即可以证明，满足（1-7）式的函数G也满

足拉格朗日方程，即2翌2——抖=0也成立。由于函数f（q,t）是任意的，因此对于一

个确定的力学体系而言，满足其动力学方程的拉格朗日函数可以有无数多个，找到了,个满

足拉格朗日方程的拉格朗bl函数L,利用（1・7）式，就可以找到无数多个也满足拉格朗

日方程的函数这就是拉格朗日函数具有不确定性的意思。

说清楚「拉格朗日函数具有不确定性后，现在可以来说明本节所言的经典力学哈密顿理

论的“灵魂”所在了。上节指出，从经典力学的拉格朗日理论发展为哈密顿理论，其关节点

是用动量％=的来取代速度心==qa。由于拉格朗日函数中含有速度4r对于同一个坐

标q,两个不同的拉格朗日函数L,和所得到的动量是不同的。这相当于在经典力学的哈

密顿理论中.一对共扼的坐标q.和动量pg之间是完全独立的,即在同一个问题中与一个

确定的广义坐标q。共枕的广义动量%有无数多个。

在经典力学的牛顿理论和拉格朗日理论中，一个力学体系仅知道其在时刻t时的位形（坐

标q）,它以后的运动规律并不能确定下来，只有同时知道其速度心，这个力学体系以后的运动

情况才能完全确定下来。但在小顿理论和拉格朗口理论中，坐标和速度的关系是确定了的。而在

哈密顿理论中，如上所述，坐标和动量是独立的。这相当于在拉格朗口理论中，一个“自由度”

为S的力学体系，到了哈密顿理论中，它的自由度翻倍变成了2s。任何事物，自由度越大，越可

有所作为。经典力学哈密顿理论的优越性，它能越出力学范畴应用于其他领域，包括量子力学在

内，其原因都可归结为此。拉格朗FI函数具有不确定性，是客观存在的。但拉格朗日理论和哈密

顿理论，对这一性质采取了完全不同的态度。前者认为，一个力学体系既然可以有无数多个等效

的拉格朗口函数，在力学意义上所得到的结论完全一样，那就任意选取一个就行了。哈密顿理论

则充分利用了拉格朗日函数具有不确定性这个特性，将体系的理论上的“自由度”翻倍，打开了

物理学理论的一条新通道，使力学理论能应用于整个物理学领域。

假设一个质点受到的合力为保守力，根据牛顿第二定律可知於〃2皆，(1.9)

dt

两边点乘公(1.10)

引入动能和势能的表达式dEp=-f公，则式(1.10)变为dE\+dE萨0(1.11)

2

从上面机械能守恒定律的推导可以看出，机械能守恒定律中的保守力星指保守力的合力，因

为牛顿第二定律中的力也是指合外力。由于牛顿第二定律只研究质点，因此机械能守恒定

律也是只考虑质点，是质点动力学规律。

考虑了势能就不能再计算保守力的功了，严格讲斜面和单摆问题中的机械能不是重力机

械能问题，因为此时质点受到的合力不等于重力，不过在相对于斜面和单摆悬挂点静止的坐

标系里计算的结果和重力机械能计算结果相同，因为另外一个保守力不做功出25)(因此很多

人误认为是重力机械能问题)，但是在相对于该坐标系匀速运动的坐标系里这个保守力做功，

同时改变了质点的动能和势能，不改变质点的机械能，因此分析力学从能最角度研究完整、

理想、双侧束问题，计算机械能时不考虑约束反力，虚功原理在所有的惯性系里都成立。其

实在非惯性系里约束力也不能改变系统的机械能，只能同时改变动能和势能，因此虚功原理

在非惯性系也成立。

设约束不可解(即双面约束)，某力系在左个几何约束下处于平衡状态。对体系中任一

质点匕，设有主动力合力蚌及约束反力合力R/乍用其上，则因处于平衡状态，故此时必有

F.+R,.=O(z=l,2,.■.,/?)

现让每一质点自它的平衡位置发生一虚位移bq,则由上式得

Ff•Sr,+R：•=0(f=1,2,•••,«)

对上式中的各式求和，得ZE•羽+£也•物=。

r=l

若为理想约束，约束反力不改变机械能，即之也^^工二。，这正是上式左边第二项，故若

M

力系处于平衡状态，则其平衡条件为

虚功原理

力w这F,•阴=0

i=l

或萩=f（F,x3xi+/期+F*z）=0

i=\

反之也可证明，当上式对任意br,都成立时，系统在约束所允许的位置必保持平衡。可

见此式表明，受有理想约束的力系平衡的充要条件是此力系诸主动力在任意虚位移上所做的

兀功之和为0。此即虚功原理，也称虚位移原理，还称为好力学的普遍方程。（虚功原理是

力学体系呈平衡状态的一般判据，它是一个关于平衡的原理，是机械能守恒定律的一种表现

形式）。光滑约束中的约束反力不改变质点的机械能，这样就适用于所有的惯性系了2、

设质点系由n个质点组成，应用达朗贝尔原理，第i个质点的惯性力耳产-小珥，则

作用该质点的主动力耳、约束力尸刖、惯性力F"勾成平衡力系。其平衡方程为

E+EM+E，=0C=1，2,…，几）

质点系受到理想、双侧约束时，依据虚位移原理有之（耳+尸即+五3•问=0

1=1

若质点系受的理想约束，即支五M•四=0，则之（耳+及）•问=0或者

1=11=1

£（耳-7麓9）•问=0称为动力学普遍方科也称为达朗贝尔―拉格朗日方程。它表明：具

（=1

有完整、理想、双侧束的质点系在运动的任一瞬时，作用在质点系上的主动力和惯性力在

任一组虚位移中所作的元功之和为零。它建立了质点系动力学问题的普遍规律，特别是对

于非自由质点系来说，在求解时不必考虑未知的约束力，只需研究主动力，从而大大地简化

了计算过程。

在弹簧振子（单摆）问题中，是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机

械能；考虑弹簧（摆线）质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统

的机械能。

牛顿第二定律是从合力角度进行分析，而机械能守恒定理、拉格朗口方程、哈密顿正则

方程则是从能量角度出发，哈密顿变分原理则为更为普遍的力学原理，通过对其变分可以推

导出拉格朗日方程、哈密顿正则方程以及运动微分方程。矢量力学的机械能守恒定律中的势

能对应于所有的有势力，包括主动力和约束反力，而分析力学中的拉格朗日函数或哈密顿函

数中的势能只对应于广义力，广义力只包含主动力，故两种势能不同。分析力学中的哈密顿

函数H的守恒原理，在非稳定的约束情况下，并非机械能，成为广义的能量,

只有在稳定的约束情况下，是机械能。故矢量力学的机械能守恒定律要求有势能，

而哈密顿函数的守恒原理要求11不显含t旦为稳定约束，它们是从不同角度讨论机械能守恒

的。对「主动力是保守力的力学体系，分析力学注重的物理量是能量，从数学上讲，处理对

象从矢量转变为标量，处理方法也从几何方法转变为数学分析的方法。在处理束缚体系时，

由于拉格朗日方程中不含约束反力，避免了约束反力引起的麻烦。所以分析力学方法在处理

力学体系运动问题时显示出了很大的优越性。牛顿力学方法面对的物理量是矢量，借助几何

图形，解题思路明确、清晰，既nJ求出运动规律，也能求出约束反力，但对于多约束的力学

体系，此方法会陷入困境,分析力学方法面对的物理量是标量，采用数学分析的方法，此方

法具有更高的概括性和统一性，较牛顿力学方法有一定的优越性。从理论上看，牛顿力学是

从物体受力的角度导出其动力学方程的，分析力学则是从能量的角度来导出其动力学方程

的。力仅是力学范围内的一个物理量，而能量则是整个物理学的一个基本物理量，这就使拉

格朗日方程成为了力学和物理学其他分支相互联系的桥梁，所以分析力学方法具有更高的概

括性和统一性，它使得经典力学的理论体系更加严谨，它代表了经典力学的重大发展。

八、内势能与外势能的关系

1.利用内势能计算的局限性

由于•有人怀疑引入外势能概念的必要性，认为势能属「系统，从两体问题的角度分析，

导致了机械能守恒定律不满足力学相对性原理的结论。如果全部按照内势能计算具有很大的

局限性，下面以重力势能为例分析一下这个问题。

由于研究重力机械能守恒定律时不考虑地球的公转、自转和体积大小因素的影响，为了

研究问题的方便，设地球（视为质点，下同）质量为M,物体的质量为m,忽略其它力（在这

里仅从理论上推导机械能守恒定律，生产实践和科学实验中还要考虑其它因素）。

下面我们先从两体角度（内势能）出发分析自由落体问题，由于把自由落体问题看作两

体问题，需要考虑地球受到物体（视为质点）微弱的作用力，因此地球和物体都不是严格的

惯性系，但是系统的质心确实严格的惯性系，因此我们设地球与物体组成系统的质心为A

点。

Ani

设地球与物体之间的作用力恒为mg，距离为h,地球移动的距离为％,由于系统受到的

合外力为0,因此根据牛顿第•定律，初始状态地球与物体相对于A点静止，系统的势能为

2

mgh,设到达A点物体的速度为V2.则由运动学得v『=2gih-hi),v2=2mghI/M,地球移动距离

为hi.此时系统的动内自之利为LMv/+J_mv:=lni.2g(h-hi)+.!-M.2mghi/M=mg(h-hi)+mghi=mgh<J

2222

上面的推导得出的结论与以地球为参照系得出的结论一致，事实上当时是把地球质最认

为无穷大，以地球为参照系得出的，严格上讲是近似规律，因为根据动量守恒定律可以得出

Mh^mCh-h,),h尸mh/(M+m),此时以地球为观察者物体的运动速度大小为

2

V|+v2=J2g(/lhj+M=j2gMh/(M+/〃)+y]2mgh/[M(M+/??)]

=++/[M(M+/〃)]=yf2ghy/[nj+M)/M，这一结论也

Mm

可以利用折合质量计算得出，以地球为参照系，物体的折合质量为蔡力，以地球为参照系

卜备h=____________

物体下落到地面的速度为V为而廊,折合质量的计算更简洁

一些。

与以地球为参照系得出的速度大小不相等，实际上当M视为无穷大时上式等号成立，这

也符合唯物辩证法的量变质变规律，也符合玻尔提出的对应原理。

从这里可以看出自由落体运动的计算得出的也是近似值。设f(m)二J通师工切7必，

显然是关于m的增函数，在牛顿力学里以地球为参照系物体下落的速度确实与物体的质量有

关，质量越大下落越快，但并不是亚里士多德所说的下落速度与质量成正比。这个结果可以

给出一个直觉解释，随着物体质量的增加，地球的加速度也在不断增加，时间也会逐渐缩短。

由「一般物体的质量较小，系统相对误差较小，在实验中无法发现，通过上式可以把实验结

果与计算数据进行矫正，只要v魅值=v丹论的师工柘7而，即可以说实验是完全成功的。

由于地球的质量巨大，上述的分析只具有理论意义，系统误差不仅远远小于空气阻力的影

响，也远远小于重力加速度的变化产生的影响，甚至小于质点由于运动引起的狭义相对论

效应，生产实践和科学实验中可以不予考虑，而且由于不知道地球的具体质量，按照内势

能计算复杂、误差会更大。

突比于上面的分析平抛运动、斜抛运动等物体在重力场中的运动规律也是近似规律,

但是系统相对误差极小，生产实践中可以不予考虑。下面推导其系统相对误差的大小:

由上面的推导可知，mvi=Mv2,v2=invi/Mo在物理学中把与观察者(或参照系)实际同一

的速度为牵连速度，此时需要考虑到牵连速度。以地球为参照系物体到达A点时系统的机械

能为物体的动能(vt+mvi