数学（新高考九省专用01）：2024年高考考前押题密卷含答案

2024年高考考前押题密卷01【新高考九省专用】

高三数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第【卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多

商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售

价x（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得V关于x

的线性回归方程是»=0.25x+G,预测当售价为45元时，销售量件数大约为（）（单位：百件）

2025303540

y578911

A.12B.12.5C.13D.11.75

2.已知£（-1,0）,名（1,0）是椭圆M的两个焦点，过点入且垂直于X轴的直线交椭圆M于A8两点，且

|人即=3,则椭圆M的离心率为（）

BC

',三-T-ID.与

3.设正项等比数列｛4｝的前〃项和为S”，q=l,且-4，的，4成等差数列，则S?。”与陶侬的关系是（）

==—=

A--^20242。2024—1B.S2a=^2024+1C.52024^^21)24D.,^2024"见必+】

4.设〃、〃是两条不同的直线，夕、A是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若a//〃，alia,则B.若：J_），«±cz»b上。，则

C.若。，尸，。工。，则D.若a上乃,alia.则

5.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部

第一次举办世界性综合运动会,该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项，其中，

篮球项目比赛、热身和训练在凤凰山体育公园等8个体育场馆举行.将5名志愿者分配到3个场馆，每个

场馆至少有1名志愿者，且每名志愿者只去一-个场馆，则志愿者甲、乙到同一场馆的概率为（）

6.已知圆*2+）*=］,。为直线”+），-4=0上的一个动点，过P作圆O的切线，切点分别为4,B,

若直线外、PB关于直线/对称，则cosZAP8=（）

A.且B.aC.也D.也

7434

7.已知且cos（a-：）=VIcos2a,则sin（a+：）=（）

A.一巫B..也C.且D.巫

4444

8.已知双曲线c£-W=lS＞0.〃＞（））的右焦点为F，A是C的一条渐近线上位于第一象限内的一点，延长线

a2b-

段w与C的另一条渐近线交于点儿若。为坐标原点，|A网=2应却=3|。4|,则C的渐近线方程

为（）

A.y=±3°xB.,=±2&xC.y-±42xD.y=±^-x

?432

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）

A.若(l+i)z=-i,M|z|=l

B.对任意复数Z1,z2,有卜仔2|=团忆］

C.对任意复数4，22,有正=,2

D.在复平面内，若"={2|卜-2|工2},则集合M所构成区域的面积为6兀

10.已知函数/0）=sinMr+*）（口＞（）,|0|〈兀）满足一/（已）=/图=/,且/（x）在值上单调

递减，则（）

A.①/B./（X-自为奇函数

C.的对称轴为+MZeZD.小）在［0,可上有3个零点

ii.已知定义在R上的奇函数“力连续，函数〃力的导函数为了'(”.当1>()时，r(x)cosx>

/(x)sinx+e・/"(x),其中e为自然对数的底数，则()

A./(x)在R上为减函数B.当x>0时，/(x)<0

D.f(x)在R上有且只有1个零点

C/部信)

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(--X2］的展开式中第2项的二项式系数为6,则其展开式中的常数项为________.

1％J

13.在四棱锥P—A8CQ中，已知平面平面A8CDAB=5O=2JJ,AO=4,PA=P。，，BCD=—,

4

若二面角的正切值为亚，则四棱锥P-A8C。外接球的表面积为.

3

14.1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角

形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120。时，所求的点为三角形的

正等角中心(即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成隹120°),该点称为费马点.已知A8C中，其

中NA=60。，BC=1,P为费马点，则依+PC-F4的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数/(x)="Tnx,a£R.

⑴若函数〃(,。-/(⑼-/有两个极值点，求”的取值范围；

(2)若曲线产/(“在点口jf邛处的切线与)，轴垂直，求证：/(x)<er+-.

16.(15分)近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身

中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心正行适当的体育锻炼.

(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A,4两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择

A健身中心健身的概率分别为求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；

(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个,

其中周六选择A健身中心的概率为;.若「周六选择A健身口心，则周口仍选择A健身中心的概率为1；

24

若周六选择4健身中心，则周日选择A健身中心的概率为♦.求丁周日选择健身中心健身的概率；

(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的

学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取•人，其%值低于1分的概率为0.02.

现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直

至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过〃.若抽取次数的期望值不超过23,求〃

的最大值.

参考数据：0.9829a0.557,0.9s30«0.545,0.9831之0.535.

17.（15分）如图所示，三棱柱A4G所有棱长都为2,N与8O60,。为8c中点，。为4（与

交点.

（1）证明：CO〃平面八。4；

（2）证明：平面4coJ_平面八4G；

（3）若直线。々与平面人。与所成先的正弦值为名叵，求二面角A的平面角的余弦值.

13

18.（17分）已知椭圆E：*+5=1（。>2>0）的离心率为乎，A,8分别是E的左、右顶点，尸是E上

异于A,8的点，△4PB的面积的最大值为2VL

（1）求E的方程；

（2）设。为原点，点N在直线x=2上，N,P分别在x轴的两侧，且△AM与△N8P的面积相等.

（i）求证：直线ON与直线”的斜率之积为定值；

（ii）是否存在点尸使得乌△N8P,若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

19.（17分）定义两个"维向量《=（/,土2,…，七.“），%=（如""，…，肛”）的数量积

-aj=x{Axji+xi2xj2+­••+xinxjn（z,；eN+）,记4★为《的第攵个分量（ZK八且keN.）.

如三维向量q=（2J5）,其中q的第2分量《2=1.若由〃维向量组成的集合A满足以下三个条件：①

集合中含有〃个〃维向最作为元素;②集合中每个元素的所有分量取。或1;③集合中任意两个元素q,

力，满足（/为常数）且q.%=］则称4为7的完美〃维向量集

（1）求2的完美3维向量集；

（2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；

⑶若存在A为7的完美〃维向量集，求证：A的所有元素的第2分量和y=7\

2024年高考考前押题密卷01【新高考九省专用】

数学•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多

商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x

（单位：元）和俏售量）’（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得），关于x的线性

回归方程是»=0.25x+4,预测当售价为45元时，销售量件数大约为（）（单位：百件）

X2025303540

y578911

A.12B.12.5C.13D.11.75

【答案】D

【分析】求出X，亍，根据回归直线方程必过样本中心点求出心从而得到回归直线方程，再代入x=45计

算可得.

_1_1

【详解】因为犬=一（z20+25+3。+35+40）=3（）,^=-（5+7+8+94-11）=8,

55

所以回归直线过点（30,8）,故8=0.25x30+6,即3=0.5,所以亍=0.25.r+0.5.

将x=45代入？=0.25x+0.5中，得亍=0.25x45+0.5=11.75.

故选：D.

2.已知片（-1，。）,工（1,0）是椭圆M的两个焦点，过点入且垂直于x轴的直线交椭圆M于A8两点，且

|A却=3,则椭圆M的离心率为（）

A.1B6

2U5

【答案】A

【分析】设出椭圆方程，根据给定条件,列出方程组求出椭圆长半轴长即可得解.

【详解】依题意，设椭圆方程为£+£=1（〃＞力＞（））,贝|」/一加=1,

a~b~

x=\,

x2y2，，解得IW=Z，则更=3,于是。=2,

直线AB:x=l,由，

/+L。°

所以椭圆M的离心率为，

故选：A

3.设正项等比数列｛4｝的前〃项和为S”，q=l,且一%，%,2成等差数列，则%”与内侬的关系是（）

=—

A.-^20242^2（124B.$2024=242024+1C.=442G”一3D.52024=4«2（）,4+1

【答案】A

【分析】先利用等比数列的通项公式列方程求公比，然后求出S2侬和物）24观察它们之间的关系即可.

【详解】设正项等比数列｛《,｝的公比为4，q＞0

因为-%，%，%成等差数列，所以2%=-%+4，

所以为=—解得〃=2,

9（P4\

0±2=22°“-］，限/产=22叱

「q

则$2024=2a2024-1.

故选：A.

4.设。、b是两条不同的直线，a、夕是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若a//〃，alia,则。//aB.若；J_），a±a,b上。,则a_L/?

C.若a工0,则a〃aD.若a，，，alia,则a，/

【答案】B

【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系判断ACD,利用空间向量判断线面位置关系，从而

判断B,由此得解.

【详解】对于A,若a//b,al/a,则有可能Z?u。，故A错误；

对于B,若〃，a,bLpy则直线。，方的方向向量a力分别为平面a,夕法向量，

又；1%，即a_L〃，所以aJ•1，故B正确；

对于C,若。工0,则有可能aua,故C错误；

对干D,若alia,则有可能〃u〃，故D错误.

故选:B.

5.第31屈世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部

第一次举办世界性综合运动会,该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项，其中，篮

球项目比赛、热身和训练在凤凰山体育公园等8个体育场馆举行.将5名志愿者分配到3个场饵，每个场馆

至少有1名志愿者，且每名志愿者只去一个场馆，则志愿者甲、乙到同一场馆的概率为（）

A.-B.—C.—D.—

5102525

【答案】D

【分析】按不同的分组情形分类讨论，利用排列、组合数求出所有分配方法，再利用捆绑法求出甲、乙到

同一场馆的情况，代入古典概型的概率公式计算即可.

【详解】5名志愿者分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为3,1,1或2,2,1,

当分为3,1,1时，有C；A；=60（种）分配方法，

当分为2,2,1时，有笺・A；=90（种）分配方法，即共有60+90=150（种）分配方法，

其中志愿者甲、乙到同一场馆，将甲、乙看作一-个整体，情况有C；A：+C；A；=36（种）分配方法，

故志愿者甲、乙到同一场馆的概率为含=晟，

故选：D

6.已知圆O：A-2+/=l,P为直线/：x+y—4=0上的一个动点，过尸作圆。的切线，切点分别为A、B,

若直线胡、关于直线/对称，则cosNAPB=（）

A.且B.aC.也D.也

7434

【答案】B

【分析】由题意可得OQ_U,ZAPO=ABPO,求出|。修，再结合二倍角公式即可得解.

【详解】由题知小、关于直线/：x+y-4=0对称，知OP_L/,

则|。4==242,\OA\=1,

记乙4尸8=2a,则NA尸O=NBPO=a,

7.已知aw((后,且cos|a-不卜缶os2a,则sin(a+：J=(

)

D,巫

A.一叵B..且C,且

4444

【答案】D

【分析】利用两角差的余弦公式和二倍角的余弦公式化简求出cos[a+：J,然后利用同角三角函数基本关

求解即可.

【详解】因为cos(a—：=&cos2a,所以cosacosw+sinasin[=&(cos?2-sin2a),

所以cosa+sina=2(cosa-sina)(8sa+sina),

又aw(0,],所以cosa+sina>0,所以cosa-sina=；,所以0cos(a+：)=g

故选：D

8.已知双曲线。:鸟-1=1(">()力>())的右焦点为是C的一条渐近线上位于第一象限内的一点，延长线

ab~

段W与C的另一条渐近线交于点8.若。为坐标原点，|AW=2&|OA|,|O5|二3|ON，则C的渐近线方程为

()

A.y=±^^-xB.y-±^^xC.y=±y/2xD.y=±^-x

4-32

【答案】D

【分析】由题意，可求得O4_LA8,tanNAO8=20,进而计算tan/AOr=变，即可求得结果.

2

【详解】^\AB\=2y/2\O^\OB\=3\O^f得|。4『二|。四）

所以OA1AFiAixnZAOB=2&・

由ZAOB=2ZAOF,得=2&,解得tanZ.AOF=—或tanZAOF=-叵（舍去）,

l-tan2ZAOF2

所以2二正，从而。的渐近线方程为），=土变x.

a22

故迄D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有()

A.若(l+i)z=-i,则|z|=l

B.对任意复数Z],z2,有匕旬=|21HzJ

C.对任意复数4,z2,有H=

D.在复平面内，若"={2|卜-2|《2},则集合M所构成区域的面积为6兀

【答案】BC

【分析】借助复数的运算、共挽复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.

-i-ix(l-i)-1-i

【详解】对A：由(1+1)Z=T,故Z=「==2—,

1+1(1+1)(1-1)2

对B：设Z]=a+Ai卜/,。€R)、z2=c+di(c,^eR),

则匕zJ=|(a+Ai)(c+di)|=|ac—+(ad+)i|=J(ac-bd)~+(ad+bc)~

=\a2c2-labcd+b2d2+crd2+2abcd+b2c2=\la2c2+b2d2+a2d2+b2c2，

。?+//+*+",

|z,||z2|==Js+Bd+w=J/

故上闯=im，故B正确;

对C：设Z1=a+bi(a,Z?£R)、z2=c+di(C^/GR),

有ij-z2=(6/+/?i)(c+)=ac-bd4-(ad+be)i,则z,刍=ac-bd-(ad+bc)i,

z(z2=(a-bi)(c-d\)=ac-bd-(ad+bc)i,故马％=马刍,故C正确;

对D：设z=x+yi(xywR),则有(％-2>+)?W4,

集合M所构成区域为以（2,0）为圆心，半径为2的圆,

故S=nr2=47r，故D错误.

故选:BC.

10.已知函数f（x）=sin（3r+＞）（@＞（）,I夕K兀）满足一/已=7］）=，与＞且/（“在值上单调

递减，则（）

A.（P吟B./（工一雪）为奇函数

JI乙

C.小）的对称轴为工=力程，ZeZD.在［0,可上有3个零点

【答案】AC

【分析】先通过条件推知是“X）的对称中心，以及X=白是/（%）的的对称轴，然后结合f（x）在

信方）上单调避减得出fm=1,“X）在（芸）上单调狒减，再推知f3=sin（2x+：｝至此可直接

验证A正确，而验证/倨）是否为（）即可判断B,分别解方程sin（2x+1）=l和疝（2%+舒=0即可判断C

和D.

【详解】由于小）在你以上单调递减，-尼卜/图故照（4对应的点停。）是〃H的对

即佃”

称中心,

同样地由于在但，如上单调递减，故最小正周期722佟

162J\2o73

同时，由于对任意的实数〃，方程/(力=。在一个形如+的区间上至多有两个根，且在有两个根的情

况下，这两个根的平均值％对应的直线x=%一定是/")的的对称轴，而=等｝

2兀兀n712兀/兀_a7兀2兀「兀兀11fx2兀)In7.段田田3、7兀当日"、

T=2+6<2+T-2+r,从而5'7噌子今故与=5匕+旬=莅对应的直线、=五一定是小)

的的对称轴.

现在，由于传，o］是/(X)的对称中心，x=3是/(X)的的对称轴，故工=合是/(工)的对称轴.而/(工)在

信3上单调递减,故/、1)=八/(X)在左,，)上单调递减.

再由信。］是/(x)的对称中心，就知道)=93所以T=人故"=字=2.

此时得到/(x)=sin(2x+0),代入/仔］=1得sin住+。］=1,即？+>=三+2反(&eZ).

\>^7)62

从而W=1+2反(&eZ),由|“兀知k=0,所以*=g,即/(x)=sin(2x+1).

经验证，/(力=sin(2呜)满足条件.

然后逐一验证各个选项：

我们已经推出8=］，故A正确；

由“(*)=sin卜2+以=9。：知函数小-总在D处有定义但不过原点'从而不可能是奇函数,

B错误;

由于|/(刈=1当且仅当sin(2x+?：=1,即2x+方=］+E(左wZ),即x=R+与仅wZ),故的对称轴

是力=^+4(AeZ),C正确；

由于/'(刈=0当且仅当sin(2x+1］=(),即"+三二而(丘Z),即工=—?+”(雇工)，故/(“在［0,句上的

I.)362

全部零点是:，称，只有2个，D错误.

36

故选：AC.

11.已知定义在R上的奇函数/(1)连续，函数/(x)的导函数为尸(x).当x>0时,

//(x)cosx>/(A：)siiw4-e/,(x),其中e为自然对数的底数,则()

A./(X)在R上为减函数B.当x>0时，/(x)<0

C.佃>/用D.〃力在R上有且只有1个零点

【答案】BCD

【分析】根据题意，令g(x)=/(/cosAe),利用导数求得g(x)在(0,同上单调递增，结合(屈，

得到/图>/图，可判定C正确；再由x>0时，g(力晨0),可判定B正确；根据/(可是定义在R上

的奇函数,结合单调性和零点的定义.可判定D正确.根据/(x)的单调性无法判断,可判定A错误.

【详解】由/'(x)cos^>/(x)shu+e-r(x),可得/'(x)(cosx-e)-/(x)sinr>0.

令g(x)=/(H(cosx-e),

则当x>()时，gr(x)=/(x)(cosx-e)-/(x)siiu>0,所以g(x)在(0,田)上单调递增，

所以g闫«丹即/挑哈力信m

可得同㈠〈稽)(Y),所以/(">/图，所以C正确；

因为g(O)=f(O)(l-e)=。所以当x>0时，g(x)>g(O)=O,

又因为cosx—evO,所以当x>0时，/(x)<0,所以B正确：

由F")是定义在R上的奇函数，故当xvO时，/(x)=-/M>0,

又囚为了(0)=0,所以/(x)在RL有且只有1个零点，所以D正确.

因为的单调性无法判断，所以A错误.

故选：BCD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(1-/J的展开式中第2项的二项式系数为6,则其展开式中的常数项为.

【答案】15

【分析】由题意先求出〃=6,再求出(:--j的展开式的通项公式，令3--6=0代入即可得出答案.

【详解】因为fL-f丫的展开式中第2项的二项式系数为6,所以C：=6,〃=6,

的展开式的通项公式为&=c《£|•(-1y=(T)W_6,

令"-6=0,得「=2,故展开式中的常数项为C»(-1)2=15.

故答案为：15.

3兀

13.在四棱锥P-ABCD中，已知平面P4O_L平面ABCD4B=87)=2&,AQ=4,P4=PD,Z«CD=—,

4

若二面角P-钻-O的正切值为池，则四棱锥P-A8CQ外接球的表面积为.

3

■田064乃,64

【答案】—/—^

JJ

【分析】分别取A。、AB的中点。、R,连接PQ.PRQR,即可证明PQ工平面A8CO,从而得到PQ1A8,

再由A4_LQR,即可得到平面PQR,从而得到/心。为二面角尸-四一。的平面角，即可求出P。，

又三棱锥外接球的球心0在直线P0上，求出三棱锥尸-48。外接球的半径，即可得到外接球的表

面积，再由A、B、C、。四点共圆，即可得到三棱锥〃-/W。的外接球即为四棱锥尸-A6s的外接球,

从而得解.

【详解】分别取AD、A3的中点。、R,连接PQ/RQR.

因为%=。力，所以PQ_LA。，

因为平面上4。_1_平面ABC。，平面孔V)c平面A88=AO,PQu平面PAD,

所以PQ/平面A8CZ),RQu平面ABC。，ABu平面A8CO,所以PQ_LQ?,PQ上AB,

因为A8=BO=2x/2,/\D=4,

所以4长+8。=4)2,所以A^JLB。，

因为Q，R分别为4)，A8的中点，所以QR//BD,所以

又PQQR=Q,PQ,QRu平面PQR,所以A8/平面PQR,

乂PRu平面尸QR,所以

所以/PRQ为二面角P-A3—。的平面角，所以tan/PRQ=^=—,

RQ3

因为RQ=；BD=母,所以尸。二手，

所以三棱锥2-48力外接球的球心。在直线PQ上，由名叵＜2知。在线段尸。的延长线上.

3

设OQ=d,则PQ+d=J/+QD：,即苧+d=/7F,所以d二手，

所以三棱锥P-/WO外接球的半径为PQ+d=竽，表面积为4、华)=y

因为/胡。二一，ZBCD=—f即NZMO+N4c。=兀，

44

所以A、B、C、D四点共圆，

所以三棱锥尸-ABD的外接球即为四棱锥P-ABCD的外接球，

64

故四棱锥P-A5CO外接球的表面积为了兀.

64

故答案为：yn

14.1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角

形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120。时，所求的点为三角形的正等

角中心(即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角12()。)，该点称为费马点.已知.ABC中，其中乙4=60。,

BC=1，P为费马点，则P8+尸C-PA的取值范围是.

【答案】知

./

【分析】设户A=叽PB=fJ,PC=t,ZPAC=a(0°<a<60°),进而得到N/WA,NPAB/PCA,然后在二PBC

中通过余弦定理得到〃，1的关系式，在△PAC和一PAB中通过正弦定理得到人〃?的关系式和网〃的关系式，

然后借助三角函数的性质和函数的性质求得答案.

【详解】如图，根据题意，设QA=〃?,P3=〃,QC=/,ZE4C=a(0°<a<60°),则NP8A=a,

ZPAB=ZPCA=60°-a,在aPBC中，由余弦定理有cos120。=七匕1=-_!_=>〃+,="口…①

2nt2

tm

在△抬C中,由正弦定理有益=.(6。。_0'

mn

在中，由正弦定理有益二薪不，

/nsintt

sin（600-a）

故则川=〃/，由①，〃+/=J〉+1…②,

,7/sin（60°-or）

sina

〃?sin（60°-a）+〃?sina_J病+1=1〔]_sin（6（）o_a）|sina

sina.sin（60°-a）“.0N+m2sina+sin（600-a）

设*=sin（60。-a）,则一当I.>/3,L\件W，所

cosa]sina],由题意，lanae（0,6）=>----G

sinax=---tana

sinatana2

以上«0,珂，而，|+，_=彳+1,由对勾函数的性质可知,Il+-^-e[2,+oo）=>0<m<—

Vm~Vtn~3

1在(。,当上单调递减’于是

由②，PB+PC-PA=y/m~+1-m=「——,易知函数）'=「——

m~+14-m^trr+1+tn

PB+PC-PAGI^-,\].

故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数/（x）=arTnA；a£R.

(1)若函数/(X)=/(力-/有两个极值点，求。的取值范围;

⑵若曲线y=/(x)在点gjg))处的切线与丁轴垂直，求证:1

/（x）ve*+

【答案】⑴(2©+句(2)证明见解析

【分析】(1)根据条件知，/(工)有两个正的变号零点，即方程-2/+研_1=0有两个不相等的正实根，有

△>0及韦达定理得到不等式，解出后验证即可：

(2)根据条件可求得〃=e,不等式转化为ex-e'<hu+L,利用导数考察不等式左右两边函

IeJex

数的最值即可证明.

【详解】(1)由题，F(A)=ar-liu-x2,

函数的定义域为(0,+/),

F'lx)=a---2x="2X+ay-1(x>0).......................................2分

XX

因为F")有两个极值点，

所以方程-2/+,q_1=0有两个不相等的正实根，

设为看，*2，且王<工2，得芭+七=5>。，

且八=/-8>0，得〃>2/.................................................4分

当()<x<%时，F(x)<0/(x)单调递减；

当石<工<天时，F(<)>0/(x)单调递增；

当1>七时，F'(x)<0,P(x)单调递减.

所以/(x)在x=$处有极小值，在x=%?处有极大值，

因此。的取值范围是(2&,+。)...............................................6分

(2)因为〃x)=orTiu・，则/'("=竺」(x〉0),

X

由题意知/(£]=。(2-1)=0,得〃=6,......................................7分

故f(x)=et-lnr,WfW/(-v)<er+^-,

即ex-IFLV<e'+—,

ex

BPe.r-e'<lav+—.........................................................8分

ex

令g(x)=ex_e'(x〉0),则g<x)=e-e”,

当H>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当Ovxvl时，g'(">O,g(x)单调递增，

所以g(%)max=g(l)=e-e=O................................................1()分

令力(X)=bu+-!-,则"(x)=匚，

exex

当力>■!■时，/«力>0,力(“单调递增，

e

当0cxV』时，"(x)<oj7(x)单调递减，

C

所以"=m!+1=°..............................................12分

显然g(x)与介(力不同时为0,

所以ex-e'<liivH---,故/(1)ve"■<.........................................13分

exex

16.(15分)近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了AB两个健身

中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.

(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A8两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择A健

II?

身中心健身的概率分别为:看,；，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；

(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其

中周六选择A健身中心的概率为！.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为!；若周

六选择8健身中心，则周口选择A健身中心的概率为|.求丁周口选择8健身中心健身的概率；

(3)现用健身指数可攵«0,10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定氏值低于1分的学生

为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为0.02.现从全校

学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位

健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过〃.若抽取次数的期望值不超过23,求〃的最大值.

参考数据：0.9829忆0.557,0.983°B(1545,0.98“*0.535.

713

【答案】(1)京；(2)—；(3)30.

【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算；

(2)设出事件，利用全概率公式进行求解；

1-0.98"

(3)设抽取次数为X,求出X的分布列和数学期望,利用错位相减法求出E(X)=,判断其单调

0.02

性，结合特殊值，求出答案.

【详解】(1)由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率

.............3分

(2)记事件C：丁周六选择A健身中心，事件。：丁周日选择9健身中心,

则p(c)=aC)=；,p(o|c)=i—(=(,p(oQ)=i—|=；.......................4分

由仝概率公式得尸(D)=P(C)P(*)+P©)尸(。0=9。聂：=3

13

故丁周日选择8健身中心健身的概率为机....................................6分

（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为〃，则

〃=0.12.........................................................................................................................7分

设抽取次数为X,则X的分布列为

X123Ln-1n

PP(1-P)P(i-p)2pL(I-P)2P(1-〃尸

故E(X)=p+(l-p)〃x2+(l-〃y〃x3++(1-P)n2/?X(//-1)+(]-p)"~}Xn,

.....................................................................................................