徐州经济技术开发区高级中学年数学中档题练习应用题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精应用题1、如图，是海岸线OM,ON的两个码头，为海中一小岛,在水上旅游线上，测得到海岸线的距离分别为，。（1）求水上旅游线的长；（2）海中，且处的某试验产生的强水波圆,生成小时时的半径为。若与此同时,一游轮以的速度自码头开往码头，试研究强水波是否波及游轮的航行？2.如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议,决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设A(a,0）,B（0，b)（0＜a＜1，0＜b＜1）,则直线AB方程为EQ\F(x,a)＋EQ\F(y，b)＝1，即bx＋ay－ab＝0．因为AB与圆C相切，所以EQ\F(｜b＋a－ab｜,EQ\r(,bEQ\s\up4(2）＋aEQ\s\up4（2）)）＝1．……………4分（第17题图)化简得ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2（a＋b）－2．………6分（第17题图)因此AB＝EQ\r(，a2＋b2)＝EQ\r(，（a＋b）2－2ab）＝EQ\r（，（a＋b）2－4（a＋b）＋4)＝EQ\r（，(a＋b－2）2)．………………8分因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2，于是AB＝2－(a＋b)．又ab＝2（a＋b)－2≤(EQ\F（a+b,2)）2，解得0＜a＋b≤4－2EQ\r(,2),或a＋b≥4＋2EQ\r(,2)．因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2EQ\r(,2），………………12分所以AB＝2－（a＋b)≥2－(4－2EQ\r（,2））＝2EQ\r（,2）－2，当且仅当a＝b＝2—EQ\r(,2）时取等号，所以AB最小值为2EQ\r(,2)－2，此时a＝b＝2-EQ\r(,2）．答：当A,B两点离道路的交点都为2－EQ\r(,2)（百米)时，小道AB最短．……………14分解法二：如图，连接CE,CA,CD,CB，CF．设∠DCE＝θ，θ∈（0,EQ\F（π，2)）,则∠DCF＝EQ\F(π,2）－θ．在直角三角形CDA中，AD＝tanEQ\F（θ，2)．………………4分在直角三角形CDB中，BD＝tan(EQ\F（π，4）－EQ\F（θ，2））,………6分所以AB＝AD＋BD＝tanEQ\F（θ,2）＋tan（EQ\F（π，4)－EQ\F（θ，2)）＝tanEQ\F(θ,2）＋EQ\F(1－tanEQ\F(θ，2)，1＋tanEQ\F(θ，2)）．………8分令t＝tanEQ\F（θ，2)，0＜t＜1,则AB＝f(t）＝t＋EQ\F（1－t,1＋t)＝＝t＋1＋EQ\F（2，1＋t）－2≥2EQ\r(,2）－2,当且仅当t＝EQ\r（,2)－1时取等号．………12分所以AB最小值为2EQ\r(,2)－2，此时A，B两点离两条道路交点的距离是1－（EQ\r（,2）－1）＝2－EQ\r(,2)．答：当A,B两点离道路的的交点都为2－EQ\r(，2）(百米）时，小道AB最短．……………14分3．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为k，设。求关于的函数解析式,并写出的取值范围；求N—M的最大值及相应的的值.【解】（1）因为，由余弦定理，，解得，…3分由得,又，得,解得，…………6分所以OA的取值范围是．………………7分（2)，，则，…………………8分设，则=.…………11分当且仅当即取等号，此时取等号，………13分所以当时，的最大值是.……………14分4.植物园拟建一个多边形苗圃,苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：

方案①多边形为直角三角形（），如图1所示，其中；

方案②多边形为等腰梯形（)，如图2所示，其中．

请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．5．ABCDEF第17题图一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地来养蜂、产蜜与售蜜,他在正方形的边上分别取点（不与正方形的顶点重合），连接，使得。现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，部分规划为蜂巢区,部分规划为蜂蜜交易区。若蜂源植物生长区的投入约为元/百米2,蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？ABCDEF第17题图5．解：解法一：设阴影部分面积为，三个区域的总投入为。则，从而只要求的最小值。.....。。.。.。..。。2分设,在中，因为，所以，则;。。。.。。。。。...。。。4分又，所以，.。。.。.。...。。。..6分所以,。。....。。..。....8分令，则。。。..。。..。。。.。。10分,当且仅当，即时取等号。。....。....。。。。.12分从而三个区域的总投入的最小值约为元....。..。。..。。。..14分（说明：这里的最小值也可以用导数来求解：ABCDEFxyABCDEFxy当时，,递减;当时，,递增。所以当时，取得最小值为。)解法二:设阴影部分面积为,三个区域的总投入为。则，从而只要求的最小值.。.。。。。..。。。.。..2分如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系。设直线的方程为，即,因为,所以直线的斜率为，从而直线方程为.。.。.。.。。。.。。。。.6分在方程中，令，得，所以；在方程中，令，得，所以;从而。。..。.......。.。。10分以下同方法一。.。。.。。。。.。.。...14分解法三：设阴影部分面积为，三个区域的总投入为.则，从而只要求的最小值.....。。。。.。.。.。.2分设，则..。。。。.。。.....。。4分因为,所以，...。。。。.。。..。.8分所以，....。。..。..。.。10分即，解得,即取得最小值为，从而三个区域的总投入的最小值约为元。..。。..。...。。。.。14分6.某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形为中心在圆心的矩形，现计划将矩形区域设计为可推拉的窗口。（1)若窗口为正方形，且面积大于（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；（2)若四根木条总长为,求窗口面积的最大值.6.（1）设一根木条长为，则正方形的边长为因为,所以，即又因为四根木条将圆分成9个区域，所以所以;（2）（方法一）设所在木条长为,则所在木条长为因为，所以设，令，得，或（舍去），或(舍去）列表如下：+0—极大值所以当时,，即（方法二）设所在木条长为，所在木条长为由条件，，即,因为，所以,从而由于,因为当且仅当时，答：窗口面积的最大值为7．如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向,与居民楼平行。从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足。F第18题图AF第18题图ABEDGC←南居民楼活动中心(2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度,可使得活动中心的截面面积最大？（注:计算中取3）ABEDHGC第18题←ABEDHGC第18题←南·xy（1)因为,,所以半圆的圆心为，半径．设太阳光线所在直线方程为，即,.。。..。。。。。。.。.。2分则由，解得或（舍）.故太阳光线所在直线方程为，.。。。。。...。。.。..5分令，得米米。所以此时能保证上述采光要求..。。。.。..。.。。。..7分（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）。。.....。.....。.。9分故太阳光线所在直线方程为，令，得，由，得........。.。。...。11分所以.当且仅当时取等号.所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大。....。....。。.。。。16分方法二:欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点为，设过点G的上述太阳光线为，则所在直线方程为y－eq\f(5,2)＝－eq\f(3，4）（x－30)，即．。。...。.。。.。..。.10分由直线与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线的下方，则3r＋4h－100＜0，即，从而．.。。。.......。。.。13分又。当且仅当时取等号.所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大.。.....。...。。...16分8．如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图,点E在AB上,在梯形BCDE区域内部展示文物,DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头,为监控角，其中M、N在线段DE(含端点）上，且点M在点N的右下方.经测量得知:AD=6米，AE=6米，AP=2米，。记（弧度）,监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米．（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围;(参考数据：)（2)求的最小值.8。⑴方法一：在PME中，，PE=AE—AP=4米，，，由正弦定理得,所以，————---——-——--—--——--2分同理在PNE中，由正弦定理得,所以，----————----—-——-----4分所以PMN的面积S，—-----—--———---————-8分当M与E重合时，；当N与D重合时，,即，，所以.综上可得:,。——--—----—--——-————--10分方法二：在PME中，,PE=AE—AP=4米，，，由正弦定理可知：，所以，—-——--—--———-————-———2分在PNE中，由正弦定理可知：，所以,—--------—---—-—----—4分所以，又点P到DE的距离为，—----—--—-—-——-——--—-6分所以PMN的面积S=，-——--—----——-—---———-8分当M与E重合时，；当N与D重合时，，即，，所以。综上可得：,。—-———-—-———-—-----—--10分⑵当即时，取得最小值为。—-—--———-13分所以可视区域PMN面积的最小值为平方米。-—--—--—--——--------—14分9．如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米,BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往D地,甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．（第18题图）CBAD（1)若甲、乙两管理员到达（第18题图）CBAD（2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D,且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．9．解：（1)由题意，可得AD＝12千米．由题可知|EQ\F(12,6）－EQ\F（16,v）｜≤EQ\F（1，4），··············································2分解得EQ\F（64，9)≤v≤EQ\F（64，7）．··············································4分（2）解法一：经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t）．由于先乙到达D地，故EQ\F(16,v）＜2，即v＞8．················································6分①当0＜vt≤5，即0＜t≤eq\f（5，v)时，f（t)＝(6t）2＋(vt）2－2×6t×vt×cos∠DAB＝（v2－eq\f（48,5)v＋36）t2．因为v2－eq\f(48，5）v＋36＞0，所以当t＝eq\f(5,v）时，f（t）取最大值，所以（v2－eq\f（48,5)v＋36）×(eq\f（5，v）)2≤25，解得v≥EQ\F(15,4)．·········································9分②当5＜vt≤13，即eq\f(5,v）＜t≤eq\f(13，v）时，f（t）＝（vt－1－6t)2＋9＝（v－6）2(t－eq\f（1，v－6））2＋9．因为v＞8,所以eq\f（1,v－6)＜eq\f（5，v)，（v－6）2＞0，所以当t＝eq\f（13，v）时，f（t)取最大值，所以（v－6）2(eq\f(13,v)－eq\f(1，v－6）)2＋9≤25,解得EQ\F（39，8)≤v≤EQ\F（39，4）．········································13分③当13≤vt≤16，eq\f（13，v）≤t≤eq\f（16，v)时,f(t)＝（12－6t）2＋(16－vt）2，因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(eq\f（13，v)，eq\f（16，v））递减，所以当t＝eq\f(13,v)时，f(t)取最大值，（12－6×eq\f(13,v））2＋(16－v×eq\f(13，v))2≤25，解得EQ\F（39，8)≤v≤EQ\F(39,4）．因为v＞8，所以8＜v≤EQ\F(39,4）．·············································16分解法二：设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．由于先乙到达D地，故EQ\F(16,v）＜2，即v＞8．·················································6分以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系，①当0＜vt≤5时，f(t）＝(EQ\F(4,5)vt－6t)2＋(EQ\F（3,5)vt)2．由于(EQ\F（4,5)vt－6t）2＋(EQ\F(3，5）vt)2≤25，所以（EQ\F(4,5）v－6）2＋(EQ\F(3，5）v)2≤EQ\F(25,t2）对任意0＜t≤EQ\F（5，v)都成立，所以(EQ\F（4，5)v－6)2＋(EQ\F(3，5)v）2≤v2,解得v≥EQ\F(15，4）．···············································9分②当5＜vt＜13时,f(t）＝（vt－1－6t)2＋32．由于（vt－1－6t）2＋32≤25，所以－4≤vt－1－6t≤4对任意EQ\F（5,v)＜t＜EQ\F（13，v)都成立,即eq\b\lc\{(\a\al（v－6≤EQ\F（5，t)，，－EQ\F（3,t)≤v－6，）)对任意EQ\F（5,v）≤t≤EQ\F（13,v）都成立，所以eq\b\lc\｛（\a\al（v－6≤EQ\F（5v，13),,－EQ\F(3v，13）≤v－6,）)解得EQ\F（39，8）≤v≤EQ\F（39，4)．···············································13分=3\*GB3③当13≤vt≤16即eq\F(13,v)≤t≤eq\F(16,v)，此时f（t)＝(12－6t)2＋(16－vt）2．由=1\＊GB3①及=2\＊GB3②知：8＜v≤eq\F(39，4)，于是0＜12－6t≤12－eq\F(78,v）≤12－eq\F(78，eq\F(39,4）)＝4,又因为0≤16－vt≤3,所以f（t）＝（12－6t)2＋（16－vt）2≤42＋32＝25恒成立．综上=1\*GB3①=2\＊GB3②=3\*GB3③可知8＜v≤eq\F(39,4）．·············································16分10、如图,已知两镇分别位于东西湖岸的处和湖中小岛的处，点在的正西方向处,．现计划铺设一条电缆联通两镇，有两种铺设方案:①沿线段在水下铺设；②在湖岸上选一点,先沿线段在地下铺设，再沿线段在水下铺设,预算地下、水下的电缆铺设费用分别为万元∕、万元∕．（1）求两镇间的距离；(2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？10．(1）过作的垂线，垂足为．在中,,所以,在中，，所以．则，即，所以，，由勾股定理得，（km）．所以，两镇间的距离为km．……………4分（2）方案=1\＊GB3①：沿线段在水下铺设时，总铺设费用为(万元)．………6分方案=2\＊GB3②：设,则，其中,在中，，，所以．则总铺设费用为．………8分设，则,令，得，列表如下:极小值所以的最小值为．所以方案=2\*GB3②的总铺设费用最小为（万元),此时．……12分而，所以应选择方案=2\＊GB3②进行铺设,点选在的正西方向km处，总铺设费用最低．…………14分ABFDCEMNABFDCEMNP(1）当时，试判断四边形MNPE的形状,并求其面积;(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由。11.解：（1）当时，，所以，即，所以四边形MNPE为矩形,………………3分所以四边形MNPE的面积为;…………5分(2）设，由条件知：，，,，……8分由得:，所以解得:，所以四边形MNPE的面积为………………12分当且仅当，即,时取“="……14分答：当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，为.…16分12.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形(如图所示,其中O为圆心，在半圆上）,设，木梁的体积为V（单位：m3）,表面积为S(单位：m2）．(1）求V关于θ的函数表达式;（2)求的值，使体积V最大；（3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．（第17题）（第17题）解：（1）梯形的面积=，．…2分体积．…3分（2)．令，得，或（舍）．∵，∴．…5分当时，,为增函数；当时，，为减函数．…7分∴当时，体积V最大．…8分（3）木梁的侧面积=，．=,．…10分设，．∵,∴当，即时，最大．…12分又由（2）知时，取得最大值,所以时，木梁的表面积S最大．…13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．…14分13。现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示)，并要求正四棱柱的高的四倍。（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时，仓库的容积最大？14.a24xABC（第18题图）如图，墙上有一壁画,最高点离地面4米，最低点离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的a24xABC（第18题图）（1）若问:观察者离墙多远时，视角最大?（2）若当变化时，求的取值范围。14．（1）当时，过作的垂线，垂足为,则，且,由已知观察者离墙米,且,则,…………2分所以，，当且仅当时,取“"．………6分又因为在上单调增,所以，当观察者离墙米时，视角最大．…………8分（2）由题意得,，又，所以,……10分所以，当时，，所以，即，解得或，……14分又因为，所以，所以的取值范围为．…………16分APMNBC(第17题图)15。如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝APMNBC(第17题图)解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，EQ\F（MN,sin60°)＝EQ\F（AM，sin（120°－θ))．因为MN＝2，所以AM＝EQ\F（4\r(3),3）sin(120°－θ）．………2分在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ）．………6分AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝eq\f（16,3)sin2(120°－θ）＋4－2×2×EQ\F(4\r（3）,3)sin（120°－θ）cos(60°＋θ）………………8分＝eq\f(16,3)sin2(θ＋60°）－EQ\F(16\r（3)，3)sin(θ＋60°)cos(θ＋60°）＋4＝eq\f(8，3）[1－cos（2θ＋120°)]－EQ\F（8\r（3)，3)sin(2θ＋120°)＋4＝－eq\f(8,3）［eq\r(3)sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°）］＋eq\f（20，3）＝eq\f(20，3）－eq\f(16,3)sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°）．…………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2EQ\r(,3）．APMNBC第17题图APMNBC第17题图D解法二(构造直角三角形）：设∠PMD＝θ,在△PMD中，∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．……………2分在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴EQ\F（MN,sin60°)＝EQ\F(AM,sinθ)，AM＝EQ\F(4\r（3),3)sinθ,∴AD＝EQ\F(4\r（3）,3）sinθ＋2cosθ，(θ≥EQ\F(π，2）时，结论也正确）．……………6分AP2＝AD2＋PD2＝(EQ\F（4\r(3）,3)sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ）2＝EQ\F(16，3）sin2θ＋EQ\F（8\r（3),3）sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………8分＝EQ\F(16，3)·EQ\F(1－cos2θ，2)＋EQ\F（4\r(3),3）sin2θ＋4＝EQ\F(4\r（3)，3）sin2θ－EQ\F(8,3)cos2θ＋EQ\F（20，3)＝EQ\F(20，3)＋EQ\F(16，3）sin(2θ－EQ\F（π，6）)，θ∈(0，EQ\F（2π，3)）．…………12分当且仅当2θ－EQ\F（π,6)＝EQ\F(π，2)，即θ＝EQ\F（π,3）时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2EQ\r（，3)．此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°…………14分解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．在△AMN中，因为MN＝2,∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．…………2分因为EQ\F(MN，sin60°）＝EQ\F（AN，sinα）,即EQ\F（2，sin60°）＝EQ\F（y，sinα），所以sinα＝EQ\F（\r(3），4)y,cosα＝EQ\F（x2＋4－y2，2×2×x）＝EQ\F(x2＋(x2－xy),4x)＝EQ\F(2x－y,4）．…………6分cos∠AMP＝cos(α＋60°）＝EQ\F（1，2）cosα－EQ\F(\r(3），2)sinα＝EQ\F(1，2）·EQ\F(2x－y,4)－EQ\F（\r（3),2）·EQ\F(\r(3),4）y＝EQ\F（x－2y,4)．……………8分在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP，即AP2＝x2＋4－2×2×x×EQ\F(x－2y，4)＝x2＋4－x（x－2y）＝4＋2xy．………12分因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．所以AP2≤12，即AP≤2EQ\r(,3)．当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2EQ\r（，3）．答：设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………14分解法四（坐标法）：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．设M(x1，0），N(x2，EQ\r(，3）x2），P（x0，y0）．∵MN＝2,∴(x1－x2）2＋3xEQ\o\al（\s\up4（2),\s\do3(2))＝4．…………2分MN的中点K（EQ\F（x1＋x2,2），EQ\F(\r(3)，2)x2)．∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝EQ\r(,3),PK⊥MN．∴PK2＝(x0－EQ\F（x1＋x2,2））2＋（y0－EQ\F(\r(3),2)x2）2＝3，kMN·kPK＝－1，即EQ\F（\r（3）x2,x2－x1）·EQ\F(y0－EQ\F（\r（3),2）x2，x0－EQ\F(x1＋x2,2)）＝－1，…………6分∴y0－EQ\F（\r（3）,2）x2＝EQ\F（x1－x2，\r（3)x2)（x0－EQ\F(x1＋x2，2))，∴(y0－EQ\F（\r(3),2）x2)2＝EQ\F（（x1－x2)2，3xEQ\o\al(\s\up4（2）,\s\do3(2)））（x0－EQ\F(x1＋x2，2））2∴(1＋EQ\F((x1－x2)2，3xEQ\o\al（\s\up4（2），\s\do3（2)）)）（x0－EQ\F（x1＋x2,2））2＝3，即EQ\F(4,3xEQ\o\al（\s\up4（2),\s\do3（2））)（x0－EQ\F（x1＋x2,2))2＝3，∴(x0－EQ\F(x1＋x2，2））2＝EQ\F（9，4）xEQ\o\al(\s\up4(2)，\s\do3（2))．∵x0－EQ\F(x1＋x2，2)＞0∴x0－EQ\F（x1＋x2,2）＝EQ\F（3,2)x2，∴x0＝EQ\F(1,2)x1＋2x2，∴y0＝EQ\F（\r（3),2）x1．…………8分∴AP2＝xEQ\o\al(\s\up4(2）,\s\do3(0)）＋yEQ\o\al（\s\up4（2）,\s\do3（0))＝（2x2＋EQ\F（1,2）x1）2＋EQ\F（3，4）xEQ\o\al(\s\up4（2)，\s\do3（1）)＝xEQ\o\al（\s\up4(2),\s\do3（1）)＋4xEQ\o\al（\s\up4（2）,\s\do3（2）)＋2x1x2＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12，…………12分即AP≤2EQ\r（,3)．答:设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………14分APMNBCFEAPMNBCFE由于∠MAN＝60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧（优弧）上，…………4分设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R．…………8分在△AMN中，由正弦定理知：EQ\F（MN，sin60°)＝2R，∴R＝EQ\F（2,\r(3）)，…………10分∴FM＝FN＝R＝EQ\F(2,\r（3）），又PM＝PN，∴PF是线段MN的垂直平分线．设PF与MN交于E，则FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝EQ\F（1，3)．即FE＝EQ\F(\r(3），3)，又PE＝EQ\r（,3）．……………12∴PF＝EQ\F(4，\r（3))，∴AP的最大值为PF＋R＝2EQ\r（,3）．答:设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………14分16.如图,在地正西方向的处和正东方向的处各一条正北方向的公路和现计划在和路边各修建一个物流中心和.为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和设(1)为减少周边区域的影响,试确定的位置，使△与△的面积之和最小;（2）为节省建设成本，试确定的位置，使的值最小.解：(1）在Rt△PAE中，由题意可知，AP=8,则．所以．………………2分同理在Rt△PBF中，，PB＝1，则，所以．………………4分故△PAE与△PFB的面积之和为…………5分=8,当且仅当,即时，取“＝”，故当AE=1km，BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小．………………6分（2）在Rt△PAE中，由题意可知，则．同理在Rt△PBF中，，则．令，，………………8分则，………………10分令，得，记，，当时，,单调减；当时，，单调增．所以时，取得最小值，…………………12分此时，．所以当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．……14分17。如图,某市有一条东西走向的公路，现欲经过公路上的处铺设一条南北走向的公路．在施工过程中发现在处的正北百米的处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以为圆心，百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路、,欲再新建一条公路，点、分别在公路、上，且要求与圆相切．（1）当距处百米时，求的长；（2)当公路长最短时，求的长．解：以为原点，直线、分别为轴建立平面直角坐标系．设与圆相切于点,连结，以百米为单位长度,则圆的方程为，(1）由题意可设直线的方程为，即，，∵与圆相切，∴,解得,故当距处百米时，的长为百米．……………5分(2）设直线的方程为，即,，∵与圆相切，∴，化简得，则，…………8分令，∴，当时，，即在上单调递减；当时，,即在上单调递增，∴在时取得最小值，故当公路长最短时，的长为百米．答:(1）当距处百米时，的长为百米；当公路长最短时，的长为百米．……………14分18.某运输装置如图所示，其中钢结构是，的固定装置，AB上可滑动的点C使垂直于底面(不与重合），且可伸缩（当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面处沿运送至处，货物从处至处运行速度为，从处至处运行速度为．为了使运送货物的时间最短，需在运送前调整运输装置中的大小.(1）当变化时，试将货物运行的时间表示成的函数（用含有和的式子）;(2）当最小时,点应设计在的什么位置?解：（1)在中，………………4分，则,………8分（2）………………10分令，则………………12分令得，设，则时,；时时有最小值,此时.………………14分答：当时货物运行时间最短。………………15分19。如图，实线部分DE，DF，EF是某风景区设计的游客观光路线平面图，其中曲线部分EF是以AB为直径的半圆上的一段弧，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形,其中AB=2千米，.若游客在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE，DF的长度的比例系数为2，与路线EF的长度的比例系数为1,假定该风景区整体的“留恋度”是游客游览所有路线“留恋度”的和。(I）试将表示为的函数；（II）试确定当取何值时，该风景区整体的“留恋度"最佳？20.如图所示，一科学考察船从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在离港口(为正常数）海里的北偏东角的A处有一个供给科考船物资的小岛,其中，．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口正东m(）海里的B处的补给船,速往小岛A装运物资供给科考船,该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜．Z东北ABCZ东北ABCO⑵应征调m为何值处的船只，补给最适宜．解：⑴以O为原点，OB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系，则直线OZ方程为．设点，则，,即，又，所以直线AB的方程为．上面的方程与联立得点⑵当且仅当时,即时取等号，答：⑴S关于m的函数关系式;⑵应征调为何值处的船只,补给最适宜．21.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1m的四分之一圆弧，AB、DC分别与圆弧BC相切于点B、C两点,，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m,（1)若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P，设，试用表示木棒MN的长度；（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，则求木棒长度的最大值。解：（1）如图，设圆弧所在的圆的圆心为，过点作垂线，垂足为点，且交或其延长线与于，并连接，再过点作的垂线，垂足为．在 中，因为，，所以．因为与圆弧切于点，所以，在，因为，，所以，，①若在线段上,则，在 中，，因此.②若在线段的延长线上，则，在 中，，因此.．………8分（2）设，则,因此．因为,又，所以恒成立，因此函数在是减函数，所以，即．答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．……………16分22。为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会。计划用1

600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1

000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800）元(其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1

270元.(每平方米平均综合费用＝eq\f（购地费用+所有建筑费用,所有建筑面积))．（1）求k的值；(2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？解：（1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为10×1

000×5平方米,所有建筑费用为［(k+800）+（2k+800）+（3k+800)+（4k+800)+（5k+800）］×1

000×10，所以，…………3分1

270＝eq\f（16

000

000+[(k+800）+(2k+800)+(3k+800)+（4k+800）+(5k+800）］×1

000×10,10×1

000×5),解之得:k＝50．……………………6分\f（32000000+［(k+800)+（2k+800）+(3k+800））+(4k+800）+(5k+800）］×1000×10，10×1000×5)(2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f(n)，由题设可知f（n）＝eq\f（16000000+［(50+800）+(100+800）+…+(50n+800）]×1000×10,10×1000×n）＝eq\f(1600,n)+25n+825≥2eq\r(1600×25）+825＝1225 (元)。……………10分\f(32000000+［（k+800)+（2k+800）+（3k+800）)+（4k+800）+(5k+800）］×1000×10,10×1000×5）当且仅当eq\f(1600，n）＝25n,即n＝8时等号成立．………12分\f(32000000+［(k+800)+（2k+800)+(3k+800））+(4k+800）+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．……………14分23。如图,某新建小区有一片边长为1（单位:百米）的正方形剩余地块ABCD,中间部分MNK是一片池塘,池塘的边缘曲线段MN为函数的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段。为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路与曲线段MN相切(切点记为P），并把该地块分为两部分。记点P到边AD距离为,表示该地块在直路左下部分的面积。(1）求的解析式；（2)求面积的最大值。解:（1）因为，所以，所以过点的切线方程为，即，…2分令，得，令，得。所以切线与轴交点，切线与轴交点.………………4分①当即时，切线左下方的区域为一直角三角形，所以。………………6分②当即时，切线左下方的区域为一直角梯形，，……………8分③当即时,切线左下方的区域为一直角梯形,所以.综上…………10分（2）当时，，……12分当时,,………14分所以．…………………16分24。据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设(）．（1）试将表示为的函数；(2）若,且时，取得最小值，试求的值．解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数,且．……………………4分从而点C处受污染程度．…………6分（2）因为,所以,，……………8分，令，得，……………12分又此时，解得，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度的值为8．……………14分25。如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为的正方形，周围是四个全等的弓形。已知O为正方形的中心,G为AD的中点,点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H。设弧AD的长为,。（1）求关于的函数关系式；(2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美。证明：当角满足：时，招贴画最优美。解：(1）当时，点P在线段OG上，；当时，点P在线段GH上,；当时,．综上所述，，．…………2分所以，弧AD的长，故所求函数关系式为，．…4分（2）当时，;当时，；当时，．所以，,．………6分从而，．…………………8分记，．则．令,得．…………10分因为,所以,从而．显然，所以．…………12分记满足的,下面证明是函数的极值点．设，．则在上恒成立，从而在上单调递减．……………14分所以，当时，，即，在上单调递增；当时,，即,在上单调递减．故在处取得极大值,也是最大值．所以当满足时，函数即取得最大值，此时招贴画最优美．………16分26。如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径,O为半圆的圆心，AB=1,BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC。（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值。解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MQD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）S△PMN=MN·AQ=××(1+）=……………….………6分（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0,]，MQ=si