2024-2025学年河北省承德市高新区第一中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省承德市高新区第一中学高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若将函数y=sinx的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移π2个长度单位，则所得到的曲线的解析式为A.y=sin12x−π4 B.y2.已知点A(3,−2)，B(−5,−1)，且AP=1A.−1,−32 B.(−8,1) C.1,3.在▵ABC中，已知bcosA=acosB，判断A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形4.如图，四边形ABCD中，AB=2DC,E为线段AD的中点，F为线段AB上靠近B的一个四等分点，则EF=(

)A.−CB−12CD B.CB−5.已知3sin α+cos α=A.−79 B.229 6.已知函数f(x)=2sinωx−π6(ω>0)在0,πA.0,23 B.1,53 C.7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，满足f(0)=3，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到函数A.1 B.2 C.3 D.48.如图，在▵ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且AP=14AC+λABA.−76 B.76 C.−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.在▵ABC中，若CA+CB=2CD，则D是AB的中点

B.已知A，B，C是平面内任意三点，则AB+BC+CA=0

C.若O，A，B，C是同一平面上的四个点，若OA=λOB+(1−λ)OC(λ10.若▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b−2a+4asin2A+BA.角C为钝角 B.a2+2b2−c2=011.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米(如图所示)，水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时(图中P0)开始计时，则(

)

A.点P第一次达到最高点，需要20秒

B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米

C.在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米

D.点P距离水面的高度ℎ(米)与t(秒)的函数解析式为ℎ=4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.sin47°13.函数f(x)=sinxcosx−ln|14.已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，点E是边CD上的一点，设AE在AC上的投影向量为a，且满足a=34AC，则CE等于

；延长线段AE至点F，使得AE=2EF，若点H在线段BC上，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分已知a,b是同一平面内的两个向量，其中a(1)若a⊥b,(2)若|a+b|=|a−216.(本小题15分已知向量a=3(1)若a=b，x∈(2)设函数f(x)=a⋅b，求f(x)图像的对称中心坐标，并写出f(x)的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像(写出一种变换方式即可17.(本小题15分)已知f(x)=(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求f(x)的单调增区间；(3)当x∈π4,18.(本小题17分在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos(1)求角B；(2)若∠ABC的角平分线交AC于点D，a=3，c=4，求BD(3)若▵ABC的外接圆的半径为3，求2c−a19.(本小题17分用高中所学知识解决下列问题：如图正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为AB,DA上动点，且▵APQ的周长为2(1)求PQ的最小值；(2)证明：∠PCQ为定值，并求出该定值；(3)设▵PCQ的面积为S，求S的最小值．

参考答案1.A

2.A

3.D

4.D

5.A

6.C

7.B

8.C

9.ABC

10.ABC

11.ABD

12.12或0.513.2

14.1；−17715.解：(1)设b=(x,y)，因为a⊥b且解得x=3y=−所以b=(3,−1)(2)由题a=因为a+b=即a2所以6a⋅b所以cos<a又<a,b

16.解：(1)由a=b，可得整理得6cos2x=4因为x∈π2,π则tan2x=(2)f(x)=a令2x+π6=kπ，k∈Z所以f(x)图像的对称中心坐标是−π12+令k=0，可得f(x)的图像的一个对称中心坐标是−π所以将f(x)的图像向右平移π12个单位长度，再向下平移1

17.解：(1)最小正周期T=π，令2x+所以x=kπ2(2)令2kπ所以kπ−3π8(3)当x∈[π4所以−1≤sin(2x+π当2x+π4=当2x+π4=所以当x∈[π4,3π4

18.解：(1)因为cos2可得sin2由正弦定理得b2=a且0<B<π(2)由题意可知：∠ABD因为S▵则12即12×3(3)由正弦定理可得csin则c=2可得2c−a=4又因为C∈0,2可得sinC−π6所以2c−a的取值范围为(−3,6)．19.(1)2【详解】(1)因为cos2可得sin2由正弦定理得b2=a且0<B<π(2)由题意可知：∠ABD因为S▵则12即12×3(3)由正弦定理可得csin则c=2可得2c−a=4又因为C∈0,2可得sinC−π6所以2c−a的取值范围为(−3,6)．

19.解：(1)设∠QPA=θ，θ∈0,π2∵△APQ的周长为2，∴PQ所以PQ=2又θ∈0,π∴∴当sinθ+π4=1，即θ=π4时，(2)设∠PCB=α，∠QCD=β，则PB=tanα，∴AP=1−tanα，AQ=1−∴△APQ的周长为2，∴2=1−tanα+∴tanα+∴tan(α+β)=tanα+t