2024-2025学年山东省济南第三中学高一下学期期中质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济南第三中学高一下学期期中质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足(z+2)i=1−i(i为虚数单位)，则zA.−3 B.1 C.2 D.2.已知非零向量a,b满足b=23a，且a⊥3A.π6 B.π3 C.2π33.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′OA.62 B.C.8 D.104.已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为(

)A.53 B.193π35.在▵ABC中，D为BC边上一点，满足AD⊥AB,BD=A.32 B.6 C.23 6.已知向量a,b满足a=3,b=3,3，且aA.−334,−94 B.7.▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b+c)cosA+acosC=0，b=23，若边BCA.3 B.23 C.48.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为截面A1CA.22 B.2 C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=1−3i1+i(iA.复数z的虚部等于−2i B.zz=5

C.z+z=−210.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列结论正确的是(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.若▵ABC是锐角三角形，则sinA<cosB

C.若a:b:11.如图，棱长为1的正方体中ABCD−A1B1C1A.异面直线B1D1与BC1所成的角为60∘

B.直线A1C与平面C1CDD1所成的角为45∘

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，c=23，cosA=313.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，▵ABC是等边三角形，AA1=AB，D，E，F分别是棱AA114.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R，球冠的高是ℎ，球冠的表面积公式是S=2πRℎ，与之对应的球缺的体积公式是V=13πℎ2(3R−ℎ).如图2，已知C,D是以AB为直径的圆上的两点，∠AOC=∠BOD=π3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,3)，B(m,−(1)若m=1，求z1(2)若z2是关于x的方程x2+2x+17=0的一个复数根，求m的值及16.(本小题15分如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,AD/\!/BC,AD=6,BC=2AB=4，E，F分别在BC，AD上，EF/\!/AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使BE⊥(1)若BE=3，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP//平面ABEF？若存在，求出AP(2)求三棱锥A−CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离．17.(本小题15分如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，∠ADC=2π3，E为CD中点，且AF=λAD(0≤λ≤1)，(1)当λ=12时，用a，b表示AE，(2)若AN⊥BN，求实数(3)求BF⋅FE18.(本小题17分)在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a(1)求A的大小；(2)已知a=27，b=2，设D为BC边上一点，且AD为角A的平分线，求▵19.(本小题17分)如图，在三棱台ABC−DEF中，∠BAC=60(1)证明：CF⊥(2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；(3)当点C到平面ABED距离最大时，求三棱台ABC−DEF的体积．(注：V棱台=13ℎS+参考答案1.D

2.D

3.D

4.B

5.B

6.A

7.C

8.B

9.CD

10.ACD

11.ACD

12.2或4

13.514.72π+36315.解：(1)由题意得z1因为m=1，所以z2则z1所以z1(2)(方法一)由题设得(m−4i即m2+2m+1−8(m+1)解得m=−1.故z2(方法二)由题设得方程x2+2x+17=0的两根为m−4i则m−4i+m+4i=−2，得(方法三)由x2得x+1=±4i，即x故z216.解：(1)AD上存在一点P，使得CP//平面ABEF，此时AP理由如下：当APPD=1如图，过点P作PM/\!/FD交AF于点M，连接ME，则MPFD∵BE=3，∴FD=3，∴MP=1，又EC=1，MP/\!/FD/\!/EC，∴MP/\!/EC，故四边形MPCE为平行四边形，∴CP/\!/ME，又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面∴CP//平面ABEF综上，存在点P，使得CP//平面ABEF，AP(2)设BE=x，则AF=x(0<故VA−CDF∴当x=3时，VA−CDF有最大值，且最大值为3∴此时EC=1，AF=3，FD=3，DC=2∴AD=AF在▵ACD中，由余弦定理得cos∠ADC=18+8−14S▵设F到平面ACD的距离为ℎ，VA−CDF=V综上，三棱锥A−CDF的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为317.解：(1)AE=1(2)若AN⊥BN，则因为AE=12a+则AE⃗所以λ=1(3))由题可得：FE=(1−λ)BF⋅∵0≤λ≤1，当λ=1116时，BF⋅当λ=0时，最小值为−6，所以BF⋅18.解：(1)由正弦定理得：sinA∴sinA∵C∈0,π，∴sinC≠0，∴(2)由余弦定理得：a2=b2+c2∵cosA=−12，

∵S▵∴1∴AD=4319.解：(1)证明：在▵ACF中，由正定理可得3由于∠CAF为锐角，故∠CAF=π6由∠BAC=60°,所以又∠ACF=∠BCF=120所以BF=AF=取AB中点O，连接OF,OC，则AB⊥OF,AB⊥OC，故AB⊥平面OCF,CF⊂平面由三棱台的性质可知AB/\!/DE，所以DE⊥(2)由三棱台的性质可知AC/\!/DF，所以直线DF与平面ABF所成角即为直线AC与平面ABF所成角．由AB⊥平面OCF，AB⊂平面ABF，可知平面ABF⊥平面OCF作CG⊥OF，连接AG，则∠CAG即为直线AC在▵OCF中，OC=余