2025年山东省济南历下区九年级中考数学三模考试试题（含答案）

年九年级学业水平第三次模拟考试数学试题（2025.5）考试时间120分钟满分150分一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.7的算术平方根是（）A.±7B.7C.±7D.72.如图所示的几何体，其左视图是（）3.2025年4月24日，神舟二十号航天员乘组顺利入驻中国空间站，与神舟十九号航天员乘组完成我国航天史上第六次“太空会师”。中国空间站距离地球的高度约418700米，将数字418700用科学记数法表示为（）A.41.87×10⁴B.0.4187×10⁶C.4.187×10⁵D.4.187×10⁶4.如图，将△ABC沿边BC所在的直线向右平移得到△DEF，若∠A=55°，∠F=40°，则∠DEF的度数是（）A.40°B.55°C.75°D.85°5.下列运算正确的是（）A.x⁶÷x²=x³B.5x³・3x⁵=15x⁸C.5x-2x=3D.(x+3)(x-3)=x²-36.将一副三角板和一张矩形纸片按如图所示的方式摆放，两个三角板的直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸片的边缘重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸片的边缘上，则∠1的度数是（）A.25°B.20°C.15°D.10°7.如图为某商场地下车库示意图，其中A，D为入口，B，C，E为出口。若车辆随机从各口通过，则某车辆恰好从A入口进入，从E出口驶出的概率为（）A.16B.13C.238.已知点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)在反比例函数y=2m﹣1xA.m<0B.m>0C.m<12D.m>19.如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，作射线AP交BC于点D；②作DE垂直AB于点E；③以点D为圆心，以CD为半径作弧，交AD于点F，再以点A为圆心，AF为半径作弧，交AC于点G。若DE=45BD，则CG与CD的比值为（A.104B.4-10C.410-12D.1010.定义：已知二次函数y=ax²+bx+c，对于m、n为实数（m<n），若当m≤x≤n时，函数值y的取值范围为2m≤y≤2n，则称m≤x≤n为该函数的一个“翻倍取值范围”。已知二次函数y=x²+kx+1的图象上有两点(s,t)和(u,t)，其中s+u=4，若d≤x≤e（d<e）为函数y=x²+kx+1的“翻倍取值范围”，则e的值是（）A.378或3+22B.374或3-22C.374或3+22D.3-2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.计算：2x﹣1﹣2x12.如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为15cm，10cm和5cm。若将飞镖随机投掷到游戏板上，则飞镖落在黑色区域的概率是。13.如图，在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，OA=1+√3，∠AOB=60°，∠OAB=45°，若将△ABO绕原点O顺时针旋转75°，则点B的坐标变为。14.小明和小红进行8千米跑步练习，两人沿同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程s（米）与跑步时间t（分钟）的函数图象如图所示，则小明比小红早分钟完成练习。15.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=120°，点E是边AD上的动点（不与点A重合），连接CE，以CE为边在CE的上方作矩形CEFG，且EF=12CE，连接AF，则△AEF面积的最大值为三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：(-1)²⁰²⁵+|3-2|+(12)⁻¹+(317.（本小题满分7分）解不等式组：2（x18.（本小题满分7分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，BF=DE。求证：AE=CF。19.（本小题满分8分）2025年4月23日是第30个世界读书日，主题为“阅读：通往未来的桥梁”。为推广读书活动，某校随机抽取部分九年级学生进行了一次问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出了部分信息：a：将周末读书时间进行排序处理，所得数据中的部分信息为：…80，90，90，90，100，100，100，110…；b：将周末读书时间的数据进行整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图如下：（分为4组：A：x≤60；B：60<x≤90；C：90<x≤120；D：x>120）c：不完整的读书活动打分统计表：分数1分2分3分4分5分人数11024占比6%20%48%根据以上信息回答下列问题：（1）请补全条形统计图，并判断本次调查属于（填“抽样调查”或“普查”）；（2）扇形统计图中D组对应扇形的圆心角为度；（3）随机抽取学生的周末读书时间的中位数为分钟；（4）请计算随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分。20.（本小题满分8分）某校“综合实践”小组开展项目式学习活动，记录如下：请根据记录表提供的信息完成下列问题：（1）求空调出风口A到地面的距离；（2）请通过计算说明空调出风口到书桌的直线送风距离AI是否在舒适范围内。（结果精确到0.1m，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80。）21.（本小题满分9分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为圆上两点，AC=BC，连接CD交AB于点E，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F。（1）求证：DF=EF；（2）若DF=4，tan∠BCD=1222.（本小题满分10分）为培养学生的创新能力，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人。已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用7500元购买航拍无人机的数量和用6600元购买编程机器人的数量相同。（1）求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？（2）该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共15台，购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍，且商家给出了航拍无人机和编程机器人均打八折的优惠。问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？23.（本小题满分10分）如图，正方形OABC的顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点E(m,n)为其对角线AC上一点，反比例函数y=kx（1）求t的值和反比例函数的表达式；（2）求△EFG周长的最小值；（3）当∠AEF+∠GEC<90°时，请直接写出m的取值范围。24.（本小题满分12分）抛物线L：y=ax²+bx+4经过点A(3,0)和点B(-2,0)两点，与y轴交于点C。（1）求抛物线L的表达式；（2）点P是第二象限内的抛物线上一动点，作直线AP，连接AC。①如图1，作PE⊥x轴，垂足为点E，作PD⊥AC，垂足为点D，当PE+PD=6415②如图2，在①的条件下，设抛物线L在直线PA上方的部分为图象G，点F是图象G上的一点，将图象G沿直线PA翻折，若点F恰好落在x轴上，求出点F的横坐标。25.（本小题满分12分）在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC，点E在边BC上（点E不与点B，点C重合），连接AE。（1）如图1，作ED⊥AB，垂足为点D，若点D为AB中点，则BEDE=，ACAE=（2）如图2，在（1）的条件下，点F在线段AE上，连接BF，CF，若∠BCF=∠BFE，BF=4，求BD的长；（3）如图3，点F在线段AE上，连接BF，∠AFB=α，将射线BF绕点B逆时针旋转α-90°得到射线BF'，点H在射线BF'上且BH=2AF，连接CF和FH，求CF与FH的数量关系。答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.7的算术平方根是（D）A.±7B.7C.±7D.72.如图所示的几何体，其左视图是（B）3.2025年4月24日，神舟二十号航天员乘组顺利入驻中国空间站，与神舟十九号航天员乘组完成我国航天史上第六次“太空会师”。中国空间站距离地球的高度约418700米，将数字418700用科学记数法表示为（C）A.41.87×10⁴B.0.4187×10⁶C.4.187×10⁵D.4.187×10⁶4.如图，将△ABC沿边BC所在的直线向右平移得到△DEF，若∠A=55°，∠F=40°，则∠DEF的度数是（D）A.40°B.55°C.75°D.85°5.下列运算正确的是（B）A.x⁶÷x²=x³B.5x³・3x⁵=15x⁸C.5x-2x=3D.(x+3)(x-3)=x²-36.将一副三角板和一张矩形纸片按如图所示的方式摆放，两个三角板的直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸片的边缘重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸片的边缘上，则∠1的度数是（C）A.25°B.20°C.15°D.10°7.如图为某商场地下车库示意图，其中A，D为入口，B，C，E为出口。若车辆随机从各口通过，则某车辆恰好从A入口进入，从E出口驶出的概率为（A）A.16B.13C.238.已知点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)在反比例函数y=2m﹣1xA.m<0B.m>0C.m<12D.m>19.如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，作射线AP交BC于点D；②作DE垂直AB于点E；③以点D为圆心，以CD为半径作弧，交AD于点F，再以点A为圆心，AF为半径作弧，交AC于点G。若DE=45BD，则CG与CD的比值为（A.104B.4-10C.410-12D.1010.定义：已知二次函数y=ax²+bx+c，对于m、n为实数（m<n），若当m≤x≤n时，函数值y的取值范围为2m≤y≤2n，则称m≤x≤n为该函数的一个“翻倍取值范围”。已知二次函数y=x²+kx+1的图象上有两点(s,t)和(u,t)，其中s+u=4，若d≤x≤e（d<e）为函数y=x²+kx+1的“翻倍取值范围”，则e的值是（A）A.378或3+22B.374或3-22C.374或3+22D.3-2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.计算：2x﹣1﹣2x12.如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为15cm，10cm和5cm。若将飞镖随机投掷到游戏板上，则飞镖落在黑色区域的概率是2313.如图，在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，OA=1+√3，∠AOB=60°，∠OAB=45°，若将△ABO绕原点O顺时针旋转75°，则点B的坐标变为（2，﹣2）。14.小明和小红进行8千米跑步练习，两人沿同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程s（米）与跑步时间t（分钟）的函数图象如图所示，则小明比小红早64315.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=120°，点E是边AD上的动点（不与点A重合），连接CE，以CE为边在CE的上方作矩形CEFG，且EF=12CE，连接AF，则△AEF面积的最大值为94三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：(-1)²⁰²⁵+|3-2|+(12)⁻¹+(3=﹣1+2-3+2+1﹣3=4﹣2317.（本小题满分7分）解不等式组：2（x解：解不等式①，得x<5解不等式②，得：x≤3原不等式组的解为x≤3正整数解x=1,2,318.（本小题满分7分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，BF=DE。求证：AE=CF。∵矩形ABCD∴AB∥CD,AB=CD∴∠ABD=∠CDB∵BF=DE∴BF-EF=DE-EF即BE=DF∴△ABE≌△CDF∴AE=CF19.（本小题满分8分）2025年4月23日是第30个世界读书日，主题为“阅读：通往未来的桥梁”。为推广读书活动，某校随机抽取部分九年级学生进行了一次问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出了部分信息：a：将周末读书时间进行排序处理，所得数据中的部分信息为：…80，90，90，90，100，100，100，110…；b：将周末读书时间的数据进行整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图如下：（分为4组：A：x≤60；B：60<x≤90；C：90<x≤120；D：x>120）c：不完整的读书活动打分统计表：分数1分2分3分4分5分人数11024占比6%20%48%根据以上信息回答下列问题：（1）请补全条形统计图，并判断本次调查属于（填“抽样调查”或“普查”）；（2）扇形统计图中D组对应扇形的圆心角为度；（3）随机抽取学生的周末读书时间的中位数为分钟；（4）请计算随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分。(1）图略，请抽样调查；(2)108;(3)100;(4）请计算随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分。1450=2%,1-2%-6%-20%-48%=24%,1x2%+2x6%+3x20%+4x48%+5x24%=3.86（分）答：随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分为3.8620.（本小题满分8分）某校“综合实践”小组开展项目式学习活动，记录如下：请根据记录表提供的信息完成下列问题：（1）求空调出风口A到地面的距离；（2）请通过计算说明空调出风口到书桌的直线送风距离AI是否在舒适范围内。（结果精确到0.1m，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80。）解：过点A作AK∥BC，交GN于点M，交FC于点K由题意得四边形GECN是矩形∴NC=GE=0.4m,GN=EC=2m,MN=AB=0.17m,∴GM=2-0.17=1.83m.在Rt△AMG中，∠GAM=37°·tan∠GAM=GM∴AM=GMtan37∴BC=BN+NC=AM+NC=2.44+0.4=2.84m.(2）解：过点I作IP∥HK，交AK于点P在Rt△FGE中，GE=0.4m,∠FGE=∠GAM=37,tan∠FGE=FE∴FE=GE·tan37°=0.4x0.75=0.3(m)由题知，四边形IHKP为矩形∴IP=HK-HF+FE+EK-3.73(m)在Rt△AIP中，IP=3.73m,∠IAP=37°+24°=61°,sin∠IHP=IP∴Al=3.73÷0.87≈4.3m∴空调出风口到书桌的直线送风距离AI在舒适范围内。.21.（本小题满分9分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为圆上两点，AC=BC，连接CD交AB于点E，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F。（1）求证：DF=EF；（2）若DF=4，tan∠BCD=12解：(1）连接OC,OD∵AB为直径，∴∠ACB=90°∵AC=BC,O为AB中点，∴OC⊥AB所以在Rt△OCE中，∠OCE+∠OEC=90°∴DF为⊙O切线，∴OD⊥DF∴∠ODE+∠FDE=90°∵OC=OD∴∠OCE=∠ODE∴∠OEC=∠EDF又：∠OEC=∠DEF∴∠DEF=∠EDF∴DF=EF(2）连接AD,BD∵弧BD∴∠BCD=∠BAD∵AB为直径∴∠ADB=90°∴tan∠BAD=BDAD=∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA又∵∠ODA+∠ODB=∠ODB+∠BDE=90°∴∠OAD=∠BDF∵∠F=∠F∴∆FBD∽∆FDA∴FB4=4FA∴FB=2,FA=8∴AB=FA-FB=6-2-622.（本小题满分10分）为培养学生的创新能力，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人。已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用7500元购买航拍无人机的数量和用6600元购买编程机器人的数量相同。（1）求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？（2）该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共15台，购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍，且商家给出了航拍无人机和编程机器人均打八折的优惠。问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？(1）解：设购买编程机器人的单价为x元，则购买航拍无人机的单价为（x+150）元。根据题意得：6600x=解得：x=1100经检验x=1100是所列分式方程的解，且符合题意x+150=1250答：航拍无人机单价是1250元，编程机器人的单价是1100元；(2）解：设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机（15-m）台，总费用为w元根据题意得：m≤2(15-m)解得：m≤10w=0.8x1100m+0.8x1250x(15-m)=-120m+15000∵-120<0∴w随m的增大而减小当m=10时，W有最小值，最小值为﹣120x10+15000=13800（元）则航拍无人机为：15-10=5（台）答：购买编程机器人10台，航拍无人机5台时，总花费最少，最少为13800元23.（本小题满分10分）如图，正方形OABC的顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点E(m,n)为其对角线AC上一点，反比例函数y=kx（1）求t的值和反比例函数的表达式；（2）求△EFG周长的最小值；（3）当∠AEF+∠GEC<90°时，请直接写出m的取值范围。(1)将G(3,1）代入y=kxy=3x(x>将F(1,t）代入得t=3(2)∵G(3,1)，且四边形OABC是正方形∴B(3,3)∴GB=3同理FB=3FG=22取G关于AC的对称点G，连接GG