现代控制理论基础

3.1线性定常系统的能控性

线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。

当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特

性。这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状

态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移

到任意终态的掌握量”的问题，即能控性问题。并非全部状态都受输入量的掌

握，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的掌握。还有“能否

由测量到的由状态重量线性组合起来的输出量来确定出各状态重量”的问题，即

能观测性问题。并非全部状态重量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。

能控性、能观测性在现代掌握系统的分析综合中占有很重要的地位，也是很多最

优控制、最优估量问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状

态空间结构的关系。片点击观看

第一节线性定常系统的能控性

能控性分为状杰能控性、输出能控性（如不特殊指明便泛指状态能控性）。

状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进

行讨论（各自又包含单输入与多输入两种状况）：

一、离散系统的状态可控性

引例设单输入离散状态方程为：

勺卜+1）=7阳

+1）=2彳式上）+昭）

初始状态为：H（°）=bT°）=l

用递推法可解得状态序列:

0XIQ)=F@)=T

勺4)=2x?©)+u(0)=2+u(0)

士=1勺(2)=-巾)=卜"

2

X2(2)=2X2(1)+U^)=2+2u(0)+u(l)

k=k-l,xj(k)=-xj(fc-1)=(-11^

r2(k)=2xj(k-l)+w(k-l)=2^+2f(0)+2“-训1)+•••+”伏一1)

可看出状态变量勺网只能在+i或-I之间周期变化，不受M无)的掌握，不能从

初态勺(°)转移到任意给定的状态，以致影响状态向量勺⑻/也不能在

〃㈤作用下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受掌握，

便称作状态不完全可控，简称不行控。可控性与系统矩阵及输入矩阵亲密相关,

是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。

设单输入离散系统状态方程为：

x(七+1)=①X&)+gu*)

(3-1)

式中，泰)为力维状态向量；.功为纯量，且在区间,*1］是常数，其

幅值不受约束；①为("6维非奇异矩阵，为系统矩阵；目为HZ)维输入矩

阵：上表示打离散瞬时，T为采样周期。

初始状态任意给定，设为x(°);终端状态任意给定，设为XW,为讨论便

利，且不失一般性地假定xW=0o

单输入离散系统状态可控性定义如

下:

在有限时间间隔0«区”内，存在无约束的阶梯掌握信号“(°),MD,

…避伍T)，能使系统从任意初态X(°)转移到任意终态XW=0,则称系统是状态

完全可控的，简称是可控的。

由方程(3-1)的解

A.-1

*(乃二①、(o)+£中心〜韶的

i-0

(3-2)

可导出可控性应满意的条件。按定义，令士=，，且XN=°,方程两端左乘中

给出:

x(o)=-z①G)=-[①*(o)+①-9(1)4—F①*(〃-1)]

2-0

■〃(。厂

*

W(«-1)

(3-3)

令

s；=[①，①-①。]

(3-4)

该阵为("加维。方程(3-3)表示非齐次线性方程组，含〃个方程，含於个

未知数M。)，…,依据线性方程组解存在定理可知，当矩阵的秩与增

广矩阵明0°)]的秩相等时，方程有解，否则无解。在M°)任意的状况下，要使

方程组有解的充分必要条件是：能控阵满秩，即

rcmk$=n

(3-5)

以上讨论假定了终态H°）=°。若令终态为任意给定状态皿），则方程（3-2）

变为：

①”*(0)-x(«)=-2①"'部(»

2-3

(3-9)

方程两端左乘中有

则]

x（0）一①一-⑻=-①为①…①

(3-10)

该式左端完全可看作任意给定的另一初态，其状态能控性条件能用以上推导方法

得出完全相同的结论，故假定是不失一般性的。

例3-1采用递推法讨论下列离散系统

1001rr

x(/c+l)-02-2x(k)+0”尢)

-1101

初态为XW=[21呼，试选择H°）,刈）,x（2）使系统状态在h=3时转移到零。

2点击观看

解令4-0,1,2,得状态序歹I」：

21

x⑴=①x(0)+(0)=2+0朔

x（3）=①乂⑵+韶⑵:曹x（0）+①2gw（0）+①韶⑴+韶⑵

2

12+-2〃（0）+—2以⑴+0“（2）

4-3

令建）=0,即解如下方程组:

-2-20⑷=-12

1几（2）][.4

-3-1

矩阵即能控阵,当其非奇异时,可解出:

r111T1r-21222-2-5

-12-12=11

以⑴=-2-20-12=2i2_4_8

产⑵」[-3-11J1-4J[12°]

即取M）=IL.2）=-8时，可在第三个采样周期瞬时使系统转移到零状

态，因而系统是能控的。

若想讨论可否在其次个采样周期内便使转移到零状态，只需讨论"⑵=0时

是否存在"（°〉见〉令*（2）=0,解如下方程组：

-2

-1

11-2

-20-6

简单看出系数矩阵的秩为2,但增广矩阵I11°」的秩为3,两个秩不等，故

无解，表示不能在其次个采样周期内使给定初态转移到零。对于某些系统则是可

能的。

例3-2试用能控性判据推断例3-1的状态能控性。

111

0-2-2=3=«

解ran5i=rankle，rankl-1-1-3-

111

周二H题①％|=0-2-2=4^0

或1一1一3,故能控。

例3-3设4'(°)同例3T,6=[12"，试推断能控性。

111'

222=1<3

解ranks!=rank16①，卜rankI-11”故不能控。

关于讨论单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系统。设系

统状态方程为：

x(fc+1)=4^x(Jc)+Gk(k)

(3-11)

式中呐为卜'1)维掌握向量，G为("M维输入矩阵。问题转化为能否求出

无约束的掌握向量0°),皿)，…，M〃T),使系统从任意初态H°)转移到

响=0。

方程(371)的解为：

%付=中“(0)+2中bZQtG)

2-0

(3-12)

令无=为，且两端左乘中T得:

x(O)=g^Gu(O

i-0

=-[①-，(o)+①-Su⑴+…+①fGu[-1)]

r-(o)i

二-即】G①二G…①7G]叩

(3-13)

令与=惨-16中-2G...中t©(3-14)

该阵为伍x咽)维矩阵；同.°),…，认〃-1)子列向量构成的掌握列向量是a

维的。式(3T3)含有口个方程，叩个待求掌握量。由于初态.°)可任意给定,

依据解存在定理，唯有叫矩阵的秩为-时，方程组才有解，于是多输入离散系

统状态能控的充要条件是：

rank羽="

(3-15)

或

ran"

(3-16)

或

rank=rank*^=

rank*"G中iG…中GG上月(3

-17)

或

rank62

rank[G①G]=«

(3-18)

式(3-15)至式(3-18)均称为多输入离散系统能控性判据。

一般多输入系统，式(3T3)所含的方程个数息少于未知数个数，方程组的解

不唯一，可以任意假定伍月一编个掌握量，其余〃个掌握量才能唯一确定，这意

味着掌握序列的选择将有无穷多种方式。

例3-4试推断下列双输入三阶离散系统的状态可控性:

x(fc+l)=4>x(k)+

式中

42-1

①二0-20i=1,2G]二

1-40

-122-4

3Gl=0-204

解计算0-4-110

故

00:-122-4

&=区中.・・,01:0-204

10:0-4-110

显见由前三列组成的(3x3)矩阵的行列式

00-1

010工0

00

det1

故ranS1=3,系统可控。

01:-1-223

$2=[G?中G?・••中2G?]=00:0000

10:01-1-2

显见消失全零行，rank^=2<3,故不能控。

多输入系统能控阵与,其行数小于列数，在计算列写能控阵时，若显见与

矩阵的秩为,便不必把与矩阵的全部列都写出。有时可通过计算心・S『的

秩是否为“来推断多输入系统的能控性。这是由于，当与非奇异时，心-*必

非奇异，而为方阵，只需计算一次〃阶行列式即可确定能控性，但在计

算力时，可能需多次计算阀阶行列式。

在多输入系统中，使任意初态x（°）转移至原点一般可少于〃个采样周期。

见例3-4,令k=O,M）=O,可给出；

则

0

1

x(C)=-4>-Gitt(O)=-0

1

12

1

0-

2

3

2-

已知式°），若能唯一确定内（°｝叼⑺，便表示能在第一个采样周期将工⑺转移

到原点。

一、连续系统的状态能控性

引例设单输入连续系统方程为：

=-2X]+町+〃

其中，其次个方程只与状态变量町本身有关，且与U无关，是不能控

状态变量；"受U掌握，是能控状态变量。显见〃可影响》而不能影响与，

于是使状态微量不能在U作用下任意转移，称状态不完全能控，简称不能控。

为导出连续定常系统的状态能控性矩阵，需应用凯莱-哈密尔顿定理的推论，故

先介绍该定理。

关于凯莱-哈密尔顿定理及其推论

设、阶矩阵4的特征多项式为：

/(勾=w-a=淤+*舒+…+的

(3-19)

则矩阵力满意

/(/)=/*+4_14T+…+&)/=0

(3-20)

证明据逆矩阵定义有：

197⑷-】一-喇口一.-而㈤

(3-21)

式中B⑶为元素蜒是四一⑷的伴随矩阵。方程(3-21)两端右乘("-⑷得:

(3-22)

由于5㈤的元素团-⑷代数余子式，均为次多项式，故据矩阵加法运算

规章，可将其分解为n个矩阵之和：

凤义)=小-%_1+/-2纥_2+…+义务+岛

(3-23)

式中冬_】,…'瓦均为伍-1)阶矩阵。将式(3-23)代入式(3-22)并绽开两端:

不为_1+矛T(&_2-当-/)+十4(当_3-桀々4)+…+川瓦+瓦⑷-瓦4

=矛1+a；(一］4“-1工+…+apiZ+HQI(3-24)

采用两端片同次项相等的条件有：

瓦

瓦-1

-2

当-3

(3-25)

将式(3-25)按挨次两端右乘#，Ai工，可得:

&W="

KA

BK_2A-

X2

BK_3A--卜

BQA—=Q^A.

--c?0Z

(3-26)

将式(3-26)中各式相加有：

(7Z=0

f(A)=A*++£7S_2A--2+•••+a1A+0

(3-27)

得证。

推论1矩阵不可表为工的(〃T)次多项式:

A'=-%_]A"T-—…—&A—旬1

(3-28)

A"I=AA.x=——a—A'"-…-'A，—LJQA=0

2・

二一々-1（一即』A*-i-即-2AdpA-a0l）-4_2A*T-—a^2+GA

+（%］劭一的）A?,+%1他1

故/降苗可一般表为力的伍T)次多项式：

淤=工在㈱心依2句

tn」)

(3-29)

式中心均与N阵元素有关。

采用推论1可简化计算矩阵的幕。

12-

A=

例3-5已知L0”，求那°=?

解N为二阶矩阵，-=2。

先列定▲的特征多项式：1加-吊=印-筋+1

据凯莱-哈密尔顿定理：/⑷=膜-24+1=0

A2=-2A-I

故A3=AA2=2A2-A=2(2A-I)-A=3A-2I

A4=AA3=3A2-24=3(24-I)-2A=44-31

据数学归纳法有:A^=k4-（k-l）Z

故:

1002001[9901200

4loo=lOOA-99Z=

0100J-[o9901

推论2矩阵指数可表为N的J"）次多项式:

M-0

(3-30)

由于

e"=I++++/]八A」“严"

j,+1+1

+士"+7-L-2if*+…+%%+...

川3+11kf

=£+++…十/1八RTfX-l

+-j4-14，"-ax-2^'-2％42-々/-。0"卜

+(，“(-々3-/-2卜1+h-陷-一2与)4"-'+…

+h-0-a》'+.乂-1a1-々ok+4-1-+，,

=<x0(f)Z+a1(f)X+a2g"2+...+/阳

x-1

=卒』的

n-0

(3-31)

式中

%,)=1-»。尸+口^铲1耐"1+…

%(f)=f勺尸+瓦一1也一如尸+i+…

%,)=摄户—J"*'+(匕I*("-I"2一40/+”「卜

&-阴=F^iy""一金用"+(%.】-叫尸"+…

(3-32)

均为鼎函数，在10'时间区间内，不同时刻构成的向量组

&(。)，…，4-1(0)1…，辰W…，是线性无关向量组，这是由于其中任一

向理都不能表为其它向量的线性组合。

同理：

«-o(3-

33)

其中

。0,)=1-(-1)'+(一1>3.；]Jax-Ko产+1+…

a-k)=(-1严点/1-CT5%尸

+(-严以1-明卜"+…

(3-34)

设单输入连续系统状态方程为：

x=Ax+bu

(3-35)

其状态能控性定义如下：

在有限的时间间隔环金金/内，存在无约束的分段连续掌握函数达”能使

系统从任意初态建。)转移到任意终态式0)，则称此系统是状态完全能控的，

简称是能控的。

方程(3T9)的解为:

X(2/)=①-4卜(4)①-

=0a-匕(幻①八

兀

(3-36)

小上一外为状态转移矩阵。为导出能控性应满意的条件，仍可不失一般性地假定

fo=°,及于是有：

°-"，*(0)+("/厂4〃(永丁=0

故

x(O)="%(浜

(3-37)

采用凯莱-哈密尔顿定理，可推论出如下结果(证明见本问题末)：

»-i

A1M

e~=^aK(r)A=a0(r)l+aY(r)^+.•.+

M-0

(3-38)

即用无穷级数表示的可改用N的NT)次多项式来表示；并经证明，其

为卜)…，怎』(。都是时间，的不同基函数，并且向量1ao是线性无关向

量。于是有：

x(°)=-1ZJA%(*F

M-0(3

-39)

令

4=］；'%(+(小下幽=0,1，…储一1

(3-40)

L为纯量；则

x（0）=—=—（b^Q+Ah/+…+A"%%一]

-%-

=—[hAh…A""b].1

*

%L

3.2线性定常系统的能观测性

•、离散系统的能观测性

引例设单输入离散系统动态方程为

—I)][-10]网叫+1%仇）

则=[1。]专

用递推法求解第八"I、，+2采样时刻的输出量：

加=[1°]”叱=勺々)

Lx2WJ

如一。愣H唱]副性）

=-恭)+诚)

如2)=[10『窗

「[-1oT、G)1r〔TO][以G）+[io.：〃G+i）

=10y+10.

to2」岛(川[02j

=/6)-〃6)+〃6+1)

可看出在己知炖）〃G+i）的状况下，在第，步便可由输入、输出确定，/）,

而输出中始终不含有叼，于是与不能由输出量观测到，是不能观测的状态变

量。系统中只要有一个状态变量不能由输出量观测到，就称该系统不完全可观测,

简称不能观测。能观测特性与系统矩阵及输出矩阵亲密相关，是系统的一种司有

特性。下面只对多输出状况进行一般分析。

离散系统能观测性定义如下：

己知输入MmT）的状况下，通过在有限个采样周期内量测到的输出

?（0>,能唯一地确定任意初始状态H。）的n个重量，则称系统是

完全能观测的，简称是能观测的。

设多输入-多输出离散系统动态方程为：

x（k+1）=中x付+Gt（£）

y付=Cc（k）+

状态方程的解：

x（k）=①Sr（0）+£①I7GU⑥

2-0

（3-70）

则

A-I

，付=煤底（0）+,工中b17比@+加取）

2-0

（3-71）

既然“初小、G、C、D均为已知，讨论能观测性问题时可不失一般性地简化动态

方程为：

x伍+1)=①x(k)

(3-72)

7付=&伏)

(3-73)

其状态方程的解:

响=①。(0)

(3-74)

及

W)=Wx(。)h=O,l,・・・,”l

(3-75)

若将式(3-71)右边后两项移至左边合并起来，仍为已知量，其方程性质同式

(3-75)o绽开式(3-75)有:

跑=&(。)

腐=血@)

m一1)=行』则\

(3-76)

式中好"，由-1)各代表4个方程，共计预个方程，“(°)含有M个未知量。

写成矩阵向量形式：

(3-77)

令

C-

Ct>

匕r=：

川-1

(3-78)

式(3-78)为%X句维能观测性矩阵。在式(3-75)的做个方程中若有力个独立

方程，便可确定唯一的一组巧(°),故系统能观测的充要条件是:

ranld^r=«

(3-79)

由于叫了=/，故系统能观测的充要条件通常表示为:

rankPi7=rankCT<t>rCr做尸斗力

(3-80)

匕为离散系统能观测性矩阵，显见只与中、。矩阵有关

例3-11推断下列系统的能观测性：

X依+1)=中

y的=Cpr(乃i=1,2

式中

■10-1121

①二0-2;g=-1

.301

001

G=@10)

100

解计算能观测性矩阵匕：

⑴可上TM呻］

303

K卜1-24=3,0

⑵

01319-2

Fi=000000

102-11-3

显见匕矩阵消失全零行，故侬^匕=2¥3,系统不能观测。

本例看出，输出矩阵为G时，『付=心（“第儿步便同输出确定了>2；当

J仅+1）=与依+1）=-2町6）+与卜）时便可确定勺；当

m+2）=-2与6+1）+勺依+1）=4勺々）+3X阳时便可确定勺，对三阶系统来说，在三

步以内能由『口，」卜+1）,『R+2）测得全部状态，故能观测。而输出矩阵为G

时，

药优）一

y（劝二

为的

与（上+i）-ir3勺（上）+2均（无）

y（上+1）=再G+i）_|-［再㈤-弓（劝.

3为优+1）+2弓（分+1）~|90优）+勺伏）

y/+2）=

公化+1）-勺伍+1）J［一2内的一3X3伏）

可看出在三步内，其输出始终不含门，故门是不能观测状态。以上分析表明,

能观测性是与小、。有关的；中确定后，则与c的选择有关。

二、连续系统的能观测性

连续系统的能观测性定义如下：

已知输入说），通过在有限时间间隔“金金/内量测到的输出力），

能唯一确定任意初始状态工卜。）的每一重量，则称系统是完全能观测的，简称是

能观测的。

设连续系统动态方程为：

x=Ax+Bit

y=Cx+Du

状态方程的解：

x（£）=e或f）x（4）+[e^?_x）Bu（T）2?T

贝产）…丸te4一出u⑺dt+Du

已知〃、N、3、C、P,可不失一般性地假定注=0及4=°,于是有：

7（2）=0g（0）=。/%（2/\（0）

m-0

=[c/（z）+C%,）A+…+0%.1（办"1卜（。）

C

CA

二%«丸…%』（巩]：x（O）

■

CAX1

（3-81）

式中4为4阶单位矩阵，是为将MO记为向量矩阵形式而引入的。已知

1飞（‘火’…'的的列线性无关，于是依据测得的亦）值可唯一确定.°）

的充要条件是：睇X，）维矩阵叼的秩为«,即

rank=

c

CA

rank0421

(3-82)

由于rankrf=rank匕，故连续系统能观测的充要条件通常表示为:

rank^2二

rankH伊心，…（川广3“

(3-83)

唠、用均称能观测性矩阵。若系统能观测，则其H司对称为能观测对，的司

亦然。

例3-12推断下列连续系统的可观测性:

4-20

⑴°-1-"=。年。】

解计算能观测性矩阵匕:

⑴rank%=rankJ=arnkI-0。卜，故不能观测。

1-110

..=2

rankF2=rankaTcTJ=arnkL01--2-

⑵

故可观测。

三、N为对角阵、约当阵的能观测性判据

当系统矩阵已叱成对角形或约当形时，应用能观测性矩阵导出推断能观

测性的简捷方法。

引例设对角化系统矩阵及输出矩阵为：

40

042=h$

能观测性矩阵匕的行列式为:

;4s

detF2=公也丁川切：与石

当det%工°时系统能观测，于是要求：

当/有相异根时体‘4),应存在白"，6，。。若4=为，该系统始终不

能观测。也就是说，4阵对角化且具有相异根时，只需依据输出矩阵没有全零

列即可推断能观测；木角化阵中含有相同元素时，则不能这样推断。

设约当化系统矩阵及输出矩阵为

能观测性矩阵匕的行列式为：

dctv^=dct^=21c/ff(c】+c㈤-在n=c?

只要c/0,系统便能观测；允许与为零或为任何非零数值。也就是说，N阵仅

含约当块M,输出矩阵中与约当块最前一列所对应的列没有全冬列，即可推断系

统能观测。

以上判据方法可推广到对角化、约当化的、阶系统。

设系统动态方程(已令u=0而不失一般性)为:

(3-84)

(3-85)

其中N为对角阵且元素各异，这时状态变量间解除了耦合。简单写出状态方程

的解：

(3-86)

(3-87)

显见当输出矩阵中第一列全零时.，在输出量九比…，为中均不含有媪°),媪°)

是不能观测的。N为对角化且元素各异时，系统能观测的充要条件可表示为：

输出矩阵中没有全零列。

力为对角形但含有相同元素时(对应于重特征值但仍能对角化的状况)，

以上表达方式不适用，仍应依据能观测性矩阵的秩条件来推断。

设系统动态方程如下:

41o再

4X、

■

*■

o

(3-88)

(3-89)

系统矩阵中含有二重特征值4及相异特征值4,…，4。动态方程的解:

%（o）-

叼（0）

工3（0）

■

*■

.醺触

(

3-90)

(3-91)

显见输出矩阵第一列全零时，输出量加.、坊均不含有上（°）;若第一列不全零,

必有输出量，既含有八（°）,又含有勺（。），于是输出矩阵其次列允许全零。故A

阵为约当形时，系统能观测条件必满意如下两个条件：

⑴输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不得全零（允许输出矩阵中与

约当块其它列对应的列为全零）；

⑵输出矩阵中与N阵中相异特征值对应的列不得全零。

当相同的特征值不是包含在一个约当块内，而是分布于不同约当块时，例如

L10

o90

*^

OO

^1,上述推断方法不适用，其分析见能控推断，这时仍应以能观测性矩

阵的秩来推断。

例3-13推断下列系统的能观测性:

夫1-21%

200

0-2

00-1

00

1.

10

石-1

7-[-50200]

-21

0-2

2.1/5」L^J

八>1

-201/=[10]

3.㈤0-3

*11%.

y=[11]1

0

4.

104

当020

-20

一必00-1

03LJ」

X1X1

1o

石-1

-217=[-50020]

-21

0-2

6.35.1/5」L^J

解1.约当块第一列位于系统矩阵第一列，而输出矩阵第一列不全零;

相异根位于系统矩阵第三列，而输出阵第三列也不全零，故能观测。

2.含两个约当块，其第一列分别位于系统矩阵第一列及第三列，其输出

阵第一、三列不全零，故能观测。

3.工已对角化且元素各异，但输出阵有全零列，故不能观测。

4.工已对角化但元素相同，输出阵虽无全零列，也不能观测。

5.约当块第一列位于系统矩阵第一列，但输出阵第一列全零，故不能观

测。

6.含两个约当块，其第一列分别位于系统矩阵第一、三列，但输出阵中

第三列为全零列，故不能观测。

四、能观测标准形问题

设单输入线性定常系统动态方程（单输入为例）为：

(3-92)

(3-93)

计算能观测性矩阵《：

000•••1・

000

001...X

01X

1一4』一4-1+W』…X

(3-94)

显见这是一个右下三角阵，巴上0，肯定是能观测的，这就是形如式(3-92).

式(3-93)中的N、。称作能观测标准形名称的由来。

一个能观测系统，若其矩阵工、。不具能观测标准形时，定可选择适当变

换化为能观测标准形，其变换矩阵的求法见对偶原理一节。

五、线性变换的特性

在前面所作的分析中，为了便于讨论系统各种特性，需对系统进行线性变换,

全部这些变换都是满秩线性变换，如将N阵化对角形或约当形需进行尸变换，

将N、》化为能控标准形需进行尸-1变换，将A,。化为可观测标准形需进

行户变换等等。引入线性变换后，对于系统的特性，如特征值、可控性、可观

测性，是否会引起转变呢？下面来分析论证。

设系统动态方程为：

x=Ax+BIL

y=Cx+Du

以引入尸变换为例，即令于是变换后：

z=p-1APz4-P-1Bi

y=CPz+Du

1.线性变换后系统特征值不变。

证明列出变换后系统矩阵的特征多项式：

|^I-P-1AP|=|^P-1F-p-1AP|=|p-1/af>-p-1AP|=|p-1(/iI-A)F|

="忸-硼卡呼-睛㈤-用巾-国

表明与变换前特征多项式相同，故特征值不变。

2.线性变换后系统能控性不变。

证明列出变换后可控性矩阵的秩:

rag=r劭虹p-iB,(pTAP)p-iB,(pTAP)2p-iB,…，8-1Ajy-ip-ip]

11111111

=r^PB:p-AB,(p-AP)(p-AF)p-B,...J(p-AP)(p-AF)p-B]

Jl-1

-1-1

=r^PB:PAB,P

=.就产1[B,AB,A2B,…,A"1B]=尸口甩&B,ABNB,…,Af]

表明与变换前能控性矩阵的秩相同，故系统能控性不变。

3.线性变换后系统能观测性不变。

证明列HI变换后可观测性矩阵的秩：

=m^[(CP)T,(p-1AP)T(CP)T,|(p-1AP)2lT(CP)T,...,[(p-1AP)Il-1]T(CP)T]

=m^[PTC,PTAT(PT)-1p-1CT,FT(A2)T(PT)-1PTCT,-,PT(A,l-1)T(PT)-1PTCT]

=rank^T[CT,ATC「(A2)TCT,…,W-1)TC”

=raz^[CT,ATCT,(A2)TCT,-,(An-1)TCT]

表明与变换前能观测性矩阵的秩相同，故系统能观测性不变。

4.线性变换后系统传递矩阵不变(其证明见第一章第四节)。

3.3能控性、能观测性与传递函数(矩阵)关系

描述系统内部结构特性的能控性和能观测性，与描述系统外部特性的传递函

数之间，是必定存在亲密关系的，这里揭示出能控性、能观测性与传递函数的零

极点对消现象之间的关系，可用来推断单输入-单输出系统的能控性、能观测性;

传递函数矩阵的行或列的线性相关性，可用来推断多输入-多输出系统的能控性、

能观测性。这是又一种推断系统的能控性、能观测性的判据，是在S域内的判据。

一、单输入-单输出系统

设系统动态方程为：

x=Ax+bu

y=ex

当N阵具有相异特征值与…，4时，引入满秩线性变换x