第十三章立体几何初步（单元重点综合测试）

第十三章立体几何初步（单元重点综合测试）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是()A．平行 B．相交但不垂直C．异面垂直 D．相交垂直【答案】C．【解析】因为PC⊥平面α，所以PC⊥BD.又在菱形ABCD中，AC⊥BD，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA.显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n【答案】C【解析】选项A，只有当m∥β或m⊂β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l⊂β，∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n.3.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上、下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A．13.25立方丈 B．26.5立方丈C．53立方丈 D．106立方丈【答案】B【解析】由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．4.已知圆台的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆环(如图所示)，则圆台的下底面积与上底面积之差为()A．1cm2 B．πcm2C．eq\f(1,2)cm2 D．eq\f(π,2)cm2【答案】选B．【解析】设圆台上、下底面半径分别为r1，r2，因为圆台的侧面展开图是一个半圆环，所以圆台的侧面积为eq\f(1,2)π(2r2)2－eq\f(1,2)π(2r1)2＝2π，所以πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝π，所以圆台的下底面积与上底面积之差为πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝π；故选B．5．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则异面直线PB与B1C所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】选D．【解析】如图，连接B1C，BC1，AD1，因为在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1＝BC，所以BC1⊥B1C.因为四棱柱ABCD­A1B1C1D1是长方体，所以AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥B1C.因为AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1.因为PB⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥PB，故异面直线PB与B1C所成角的大小为90°.故选D．6．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【答案】选D．【解析】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C．若l4＝DC1，则l1与l4相交；若l4＝BA，则l1与l4异面；若l4＝C1D1，则l1与l4相交且垂直．综上，l1与l4的位置关系不确定．故选D．7．如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】选C．【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC，又DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ABC，AC⊂平面ADC，所以平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.故选C．8．已知四棱锥S­ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋4eq\r(3)，则球O的体积等于()A．eq\f(4\r(2),3)π B．eq\f(8\r(2),3)πC．eq\f(16\r(2),3)π D．eq\f(32\r(2),3)π【答案】选B．【解析】由题意可知四棱锥S­ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r，且四棱锥的高h＝r，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为eq\r(2)r的正三角形，底面为边长为eq\r(2)r的正方形，所以该四棱锥的表面积为S＝4×eq\f(\r(3),4)(eq\r(2)r)2＋(eq\r(2)r)2＝2eq\r(3)r2＋2r2＝(2eq\r(3)＋2)r2＝4＋4eq\r(3)，因此r2＝2，r＝eq\r(2)，所以球O的体积V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×2eq\r(2)＝eq\f(8\r(2)π,3)，故选B．二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有()A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PCC．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC【答案】选ABC．【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，所以AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PC，故B，C正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，因此PB与CD不垂直，从而PB不与平面ADC垂直，D错误．故选ABC．10．正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列选项正确的是()A．BC1∥平面AQPB．A1D⊥平面AQPC．异面直线A1C与PQ所成的角为90°D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形【答案】选ACD．【解析】对于选项A，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，所以PQ∥BC1，利用线面平行的判定定理可得BC1∥平面AQP，所以A正确；对于选项B，在正方体中AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又A1D⊥AD1，AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，若A1D⊥平面AQP，则平面ABC1D1∥平面AQP，这与平面ABC1D1与平面AQP相交矛盾，所以B不正确；对于选项C，与选项B同理可证BC1⊥平面A1B1C，又PQ∥BC1，所以PQ⊥平面A1B1C，从而得到PQ⊥A1C，即异面直线A1C与PQ所成角为90°，所以C选项正确；对于选项D，在正方体中，平面AA1D1D∥平面BB1C1C，平面AQP∩平面AA1D1D＝AD1，平面AQP∩平面BB1C1C＝PQ，所以AD1∥PQ，所以平面AQP截正方体所得截面为四边形APQD1，因为PQ≠AD1，AP＝D1Q，即四边形APQD1为等腰梯形，所以D正确；故选ACD．11．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论不正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′－BCD的体积为eq\f(1,3)【答案】ACD【解析】因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因为CD∩A′D＝D，CD，A′D⊂平面A′CD，所以BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C＝90°，B正确，其余均不正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm.当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的eq\f(2,3)(细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高是________cm.【答案】eq\f(16,9)【解析】由题意得当细沙全部在上部时，底面半径为2cm.高为4cm，所以体积为eq\f(1,3)×4π×4＝eq\f(16π,3)(cm3)，当细沙全部在下部时，底面半径为3cm，高为hcm，所以体积为eq\f(1,3)×9π×h＝3πh(cm3).所以eq\f(16π,3)＝3πh，解得h＝eq\f(16,9).故答案为eq\f(16,9).13．如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SE∶SA＝________时，SC∥平面EBD.【答案】1∶2【解析】连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．因为SC∥平面EBD.且平面EBD∩平面SAC＝EO，所以SC∥EO，所以点E是SA的中点，此时SE∶SA＝1∶2.14．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为________．(铁皮厚度忽略不计)【答案】eq\f(\r(15)π,3)【解析】如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l等于正方形的边长4，扇形的弧长＝eq\f(1,4)×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝2π，所以r＝1，所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(15)，所以圆锥的容积为eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(15)π,3).四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AC交BD于点O.(1)求证：BD1∥平面MAC；(2)求证：平面BDD1⊥平面MAC．证明：(1)连接MO，因为M，O分别为DD1，BD的中点，所以BD1∥MO，因为BD1⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，所以BD1∥平面MAC.(2)正方体ABCD­A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC.因为正方体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.因为BD，DD1是平面BDD1内两相交直线，所以AC⊥平面BDD1，因为AC⊂平面MAC，所以平面BDD1⊥平面MAC.16.(本小题满分15分)在①PA⊥平面ABC，②∠ABC＝60°，③点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心，这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，并解答．在三棱锥P­ABC中，PA＝AB＝AC＝6.若________，求三棱锥P­ABC的体积．【解析】若选择①和②，因为AB＝AC＝6，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，因为PA⊥平面ABC，所以PA即为点P到平面ABC的距离，且PA＝6，所以VP­ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).若选择①和③，因为PA⊥平面ABC，所以点A为点P在平面ABC内的射影，又因为点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心，所以点A即为△ABC的垂心，所以∠BAC＝90°，因为AB＝AC＝6，所以三角形ABC是等腰直角三角形，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×62＝18，因为PA⊥平面ABC，所以PA即为点P到平面ABC的距离，且PA＝6，所以VP­ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×18×6＝36.若选择②和③，因为AB＝AC＝6，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，设△ABC的中心为点O，则点O即为等边△ABC的重心、垂心，且OA＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×6))＝2eq\r(3)，因为点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心，即O点，所以PO⊥平面ABC，所以PO即为点P到平面ABC的距离，且PO＝eq\r(62－（2\r(3)）2)＝2eq\r(6)，所以VP­ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PO＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×2eq\r(6)＝18eq\r(2).17.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，B1C1⊥CC1，点E，F分别是BC，A1B1的中点，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1.(1)求证：B1C1⊥A1C；(2)求证：EF∥平面A1C1CA.【解析】证明：(1)因为B1C1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1CA∩平面BCC1B1＝C1C，B1C1⊂平面BCC1B1，则B1C1⊥平面ACC1A1.又因为A1C⊂平面A1C1CA，所以B1C1⊥A1C.(2)取A1C1的中点G，连接FG，GC.在△A1B1C1中，因为F，G分别是A1B1，A1C1的中点，所以FG∥B1C1且FG＝eq\f(1,2)B1C1.在平行四边形BCC1B1中，因为E是BC的中点，所以EC∥B1C1且EC＝eq\f(1,2)B1C1，所以EC∥FG，且EC＝FG，所以四边形FECG是平行四边形，所以EF∥GC.又因为EF⊄平面A1C1CA，GC⊂平面A1C1CA，所以EF∥平面A1C1CA.18.(本小题满分17分)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A­BE­P的大小．【解析】(1)证明：如图所示，连接BD.因为四边形ABCD是菱形且∠BCD＝60°，所以△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.因为AB∥CD，所以BE⊥AB.因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.因为PA∩AB＝A，所以BE⊥平面PAB.又因为BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知BE⊥平面PAB，PB⊂平面P