电大工程数学本复习题

中央电大11—12学年度第一学期“开放本科”期末考试〔半开卷）

工程数学〔本〕试题

一、单项选择邈[冬题3分，共15分）

1.设A、B为三阶可逆矩阵，且A>0,那么以下成立的是〔B〕

A.|A+B|=|A|+|B|B,|AB|=|ABFIc.|AB-1|=|A||BID.|kK\-k|A|

2.设A是n阶方阵，当条件[A）成立时，n元线性方程组AX=b有唯一解。

A.r[A]=nB.r（A）<nC.|A|=0D.b=0

3.设矩解A・一-1的特征值为。，2那么3A的特征伍为〔B〕

1-1"

A.0,2B.0,6C.0,0D.2,6

4.假设随机变量X〜N[0,1）,那么随机变量Y=3X-2〜〔D〕

A.N[-2,3)B,N(-4,3〕C.N〔-4,3?〕D.N(-2,32〕

5对正态总体方差的检脸用〔C）

A.U捡脍法B.t检脸法C.72检验法D.F检验法

二、埃空题〔毋通3分，共15分）

（oA-'V'（O8]

6.设A、B均为二阶可逆矩阵，那么，=

此O）0）

X1+工2+工3+工4=3

7.线性方程组，％+3工2+2刍+4%=6一般解的自由未知量的个数为仁

2%+x3-x4=3

8.设A、B为两个事件，假设P〔AB〕二P〔A〕P〔B〕，那么称A与B相互独立

9.假设随机变量X〜U[0,2],那么D〔X〕=l/5

io.假设a，”都是夕的无呜估计，且满足。（，）<。（，），那么称q比a更有效。

三、计算题〔每题16分，共64分〕

,234、p11]

11.设矩阵A=123B=111，那么A-B可逆吗？假设可逆，求逆矩阵

<231,、230,

123

解：因为|A-B|=o12=1。0,由P70定理2.2可知，矩阵A-B可逆.

001

用初等行变换求矩阵A-B的逆矩阵:

」-21、

所以，(A—8尸=01-2

<001,

X]+2X2+3X3=2

12.在线性方程组(一玉+看=3一2中2取何值时，此方程组有解。在有解的情况下，求出通解

2x+

}3X2+5X3=1

解：线性方程的增广矩阵化为阶桥形矩阵

当aw1时，方程组无解；当2=1时，方程组有解,

x=-1

此时，原方程组化后，得方程组的一般解为《■，其中&是自由未知量

lx2-~X3+1

令刍二0,得方程组的一个特解X。=(-1,1,0)',

对应的齐次线,性方程组化为

令玉=1,对应的齐次线性方程组的根底解系X1=(-i-i,iy,

所以，原方程组的通解为：x=x0+k]x]=.

13.设随机变量X〜N(8,4〕求P〔|x-8|<1)和P〔XW12〕。(①〔0.5〕=0.6915,

①(1.0]=0.8413,6(2.0)=0.9773]

V_Q

解：因为X〜N(8,4),y--------------N(O,1).

2

所以，p(|x-8I<1)=P(|x-81<0.5)=P(-0.5<y<0.5)

2

Y_Q1_Q

P(X<12)=P(-^—<-^―^)=P(Y<2)=0(2)=0.9773

22

14.某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度

为10.5。〃，标准差为0.150"。从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：【单位：J

10.4,10.610.110.4

问该机工作是否正常？(a=0.05,z%=〃0975=L96)

解：金属棒长服从正态分布，JLI=1O.5??7/?7,cr=0.15,

假设Ho:.=10.5,H:〃w10.5

构造统计量四数U=与巴=叱“5=-=-1.667

加"％0075

IUI=1.667<；/0975=1.96

/.接受”()，即该机工作正常.

四、证明题〔此题6分〕

15.设n阶方程A满足A?=I,AA'=/,试证A为对称矩阵

证明：因为A2=Z,AA=Z,

所以A!=IA：=A1A!=y4(^)=AI=A

即A为对称矩阵.

工程数学试卷

一、单项选择邈〔每邀3分，共15分〕

的一/=

1.方程组,04-X=相容的充分必要条件是B〕，其中〃jHO,i=1,2,3

3a2

“十七=%

A.a}+/+%=0B.%+a2-a3=0

C.《一。2+。3=0D.-q+/+%=0

2.设A,B都有是〃阶方阵,那么以下等式中正确的选项是(C〕

A.|A+8|=|A|+|B|B.|A-+『|=|4尸+|B-

c.\AB\=\A\\B\D.|/LA|=2|A|

3.以下例题中不正确的选项是〔A〕

A.A与A”有相同的特征值B.A与4'有相同的特征多项式

C.假设A可逆，那么零不是A的特征值D.A与A'有相同的特征值

4.假设事件A与B互诉，那么以下等式中正确的选项是〔D〕

A.P(A)+P〔B〕=1B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(A)=P[A|B)D.P(A+B]=P[A]+P[B]

5设随机变量X,那么以下等式中不正确的选项是〔A〕

A.E(2X+1)=2E(X)B.O(2X+1)=4D(X)

c.D(X)=E(X2)-(E(X))2D.D(-X)=D\X)

二、填空题〔每题3分，共15分〕

-100-

6.假设3阶方阵A=0-1-2,那么IA?一川=0

236

7.设4为〃阶方阵，假设存在数4和非零〃维向量X,使得AX=2X,那么称数4为4的

游征值

8.0(A)=0.2,P(8)=0.4,那么当事件A,8相互独立时，P(AB)=0.08

1234

9.设随机变量X〜那么〃=0.1

0.10.30.5a

10.不含未知参数的样本函数称为统计量

三、计算题〔每题16分，共64分〕

1

11.设矩阵A=-1AX=B,^X.

1

12

解：:A=-1-1

3)

(/、

122100、100-5-42

・•.(*/)=-1--10010T01053-2

111-2-11

3500/I.0

/

5-42、-5-42、"12)-1-6、

/.A-1=53-2.・.X=A-B=53-2-11—25

_

\2-11,-2-11704/；-I

—2x,+4X3—-5

2x,+3x?+%=4

12.求线性方程组《1JJ的通解.

3x1+8X2-2/=13

14阳

-X2+M=-6

解：增广矩阵

原方程组化为：〈,令与=。得特解为：X。=(一1,2,0)'

令元得根底解系为：乂一

原方程组对应的齐次方程组为：，-13,3=11=(2,1,1)'

X2=马

所以原方程组的通解为：

X=Xo+AX|

13.设X〜N(2,25),试求：[1]P(12<X<17)；〔2〕P(X>-3).

(0(1)=0.8413,①⑵=0.9772,中⑶=0.9987)

X-JLIX-2

解：4=2,5=5，令丫=〜N(o,D

55

12-2、/17-2

.•.⑴P(12<X<17)=P(-------<Y<--------)=P(2<y<3)

55

=①⑶一(D(2)=0.9987-0.9772=0.0215