《平面》名师课件2

平面生活中有哪些事物给我们以平面的形象？

情境导入

生活与数学YOURSITEHERE平静的海面教室里的桌面、黑板面、墙面、地面平整的纸张平面的形象学习目标：

1、掌握平面的表示法，点、直线、平面的关系，有关平面的三个公理；2、会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系；3、通过共同讨论，增强对平面的感性认识，认识到我们所处的世界是一个三维空间。学习重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

学习难点：平面基本性质的掌握与运用。思考1:将一条线段向两端无限伸展得到的图形是什么？将课桌面、平静的水面向四周无限伸展得到的图形是什么？思考2:直线是否有长短、粗细之分？平面是否有大小、厚薄之别？一.平面

平面是从日常见到的具体平面抽象出来的理想化模型。它具有无限延展，不计大小，不计厚薄的特征。

自主探究

二.平面的画法及表示方法（1）水平放置的平面：（2）竖直放置的平面：通常把表示平面的平行四边形的锐角画成ABCD文字语言图形语言符号语言位置关系内

容语

言点与直线的位置关系点在直线上点在直线外AC三.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：ABaPbC直线与平面的位置关系文字语言图形语言符号语言位置关系内

容语

言点与平面的位置关系点在平面内点不在

平面内直线在平面内直线在平面外αAαBαα思考如果直线与平面α有一个公共点，直线是否在平面α内？如果直线与平面α有两个公共点呢？

合作探究

如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？思考

实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上。思考桌面αAB

如果直线l与平面α有两个公共点，直线l是否在平面α内？

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。ABl作用：判定直线是否在平面内。

在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理。这些公理是进一步推理的基础。BCABCA自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？思考思考:过空间中一点可以做几个平面？过空间中两点呢？三点呢？公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。ACB存在性唯一性作用：确定平面的主要依据。

不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”。下列条件，哪些能确定一个平面？1、一直线和直线外一点2、两条平行直线3、两条相交直线思考推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。推论2.两条相交直线确定一个平面。推论3.两条平行直线确定一个平面。公理2.不共线的三点确定一个平面。确定一平面还有哪些方法？aACBB

把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B

？思考在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。

观察长方体，你能发现长方体的两个相交平面有没有公共直线吗？观察

这条公共直线B’C’叫做这两个平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交线。

另一方面，相邻两个平面有一个公共点，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一个公共点B’，经过点B有且只有一条过该点的公共直线B’C’。

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。作用：①判断两个平面相交的依据。②判断点在直线上。Pl例题讲解：例1、(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.探究点一三种语言的相互转化[解]

(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示：(如图所示)．(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图所示．

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．例题讲解：注意：例题讲解：探究点二点、线共面问题例2、证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一：(纳入平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.所以直线l1，l2，l3在同一平面内．例题讲解：探究点二点、线共面问题例2、证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：(辅助平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．注意：例题讲解：探究点三点共线、线共点问题例3、如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．[证明]因为MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，又因为M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.所以M、N∈平面ABCD，所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．(1)证明三点共线的方法①首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知，这些点都在两个平面的交线上．②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．(2)证明三线共点的步骤①说明两条直线共面且交于一点．②说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．③得到交线也过此点，从而得到三线共点．例题讲解：探究点四平面交线问题例4、如图所示，E，F分别为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．

[解]如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.

因为M∈FD1，M∈DA，FD1⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD，所以M∈平面BED1F∩平面ABCD.又B∈平面BED1F∩平面ABCD，连接MB.则直线MB＝平面BED1F∩平面ABCD，即直线MB即为所求两平面的交线．解决此类问题，必须注意两个平面不存在只有一个公共点的情形．如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线．同时要注意，找到两个平面的一个公共点，交线的具体位置还无法判定，只有找到两个公共点，才能确定这两个平面的交线，这是做几何体截面时确定交线经常用到的方法．素养提炼：1．立体几何中的平面与平面几何中的平面图形的区别(1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分，可以度量．(2)立体几何中的平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的，它可以无限延展，没有边界．(3)立体几何中的平面是理想的，绝对平的．2．符号语言的理解立体几何中引用集合的观点，把点看作元素，直线(平面)为点的集合．点与直线(平面)的关系是属于或不属于关系，用符号“∈”或“∉

”．直线与平面的关系是包含或不包含关系，用符号“⊂”或“⊄

”表示．素养提炼：3．对公理2的理解(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”．条件中的“三点”是骨干，一般不会被忽视，但“不在一条直线上”这一附加条件则易被遗忘，若无，结论就不成立了．同时要注意经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在一条直线上的四点，不一定有平面．(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一．素养提炼：4．平面的画法(1)水平的平面的画法：画表示水平的平面的平行四边形，通常把锐角α画成45°，横边画成邻边的2倍．(2)直立的平面的画法：画表示直立的平面的平行四边形，要有一组对边为铅垂线．(3)非水平非直立的平面的面法：画表示非水平非直立平面的平行四边形，只要将锐角α画成不等于45°就可以．平面、平面的画法及表示法；点、线、面之间的位置关系；3.平面的基本性质：

(1)如何判定直线在平面内？

(2)哪些图形可以确定一个平面？

(3)如何判定两个平面相交？小结

总结反