沪科版九年级上12月月考数学试卷含解析初三数学月考

九年级（上）12月月考数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.如果两个相似三角形的周长分别是1和4,那么这两个三角形的面积之比是（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：16

2.把抛物线y=-3（x+2）2平移后得到抛物线y=-3x2,平移的方法可以是（）

A.沿x轴向右平移2个单位B.沿x轴向左平移2个单位

C.沿y轴向上平移2个单位D.沿y轴向下平移2个单位

3.如果口是锐角,sina=那么cosa的值是（）

A1RV2rV3nV3

2223

4.△ABC中，D、E分别是AB和AC边上的中点，设律二则而可表示为（）

T-1-1-

A.2aB.-2aC.-aD.--Q

A.所有正方形都相似

B.有一个角为30。的等腰三角形都相似

C.所有等边三角形都相似

D.有一个角为30。的直隹三角形都相似

6.已知二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，则下列判断中不正确的是（)

A.a<0B.b<0C.c>0D.b2-4ac>0

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.己知线段a=9cm、b=4cm,那么线段a、b的比例中项c=cm.

8.抛物线y=x2-2x+3的图象与y轴的交点坐标为.

9.线段AB=4cm,点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP,则AP的长为

10.小王在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是35。，那么点B处得小明看点A处

的小王的俯角等于度.

ii.如果非零向量力与石满足等式之二-3E，那么向量W与E的方向

12.如果斜坡的坡比i=l：3,坡角为a,那么cota=.

13.一个矩形的周长为20,设其一边的长为x,面积为S,则S关于x的函数解析式是

.(请注明定义域)

14.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC的中点，则言的值是_________

Er

15.底角为15。，腰长为6的等腰二角形的面积足.

16.在△ABC中，AD是边BC上的中线，G是重心，如果AG=32,那么线段DG的长是

17.已知抛物线y=x2-2x+c经过点A(1,yi)和B(2,y2),比较yi与y2的大小：

yiy2(选择"〉"或"v〃或"=〃填入空格).

18.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是A(-1,0),B(3,0),C(0,2),已

知动直线y=m(0<m<2)与线段AC、BC分别交于D、E两点，而在x轴上存在点P,

使得△DEP为等腰直角三角形，那么m的值等于.

三、(本大题共7题，满•分78分，其中第19・22题各10分，第23、24题各12分，第25

题14分)

19.求值：cos30°*tan6004-cot450*sin45°.

20.用配方法求抛物线y=2x2-4x的顶点坐标和对称轴.

21.如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角NB=30。，背水坡AD的坡度为

1：亚，坝顶DC宽25米，坝高CE是45米，求：坝底AB的长、迎风坡BC的长以及

BC的坡度.(答案可以带上根号)

22.如图，已知两个不平行的向量W、b-先化简，再求作：2（a-^b）-£（2^+4%）.

（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

23.如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2,点D是BC延长线上一点，BC：

CD=2：1,连接FD与AC交于点N,求FN：ND的值.

24.已知一个二次函数的图象经过A（0,3）、B（4,3）、C（1,0）三点（如图）.

（I）求这个二次函数的解析式：

（2）求tanNBAC的值;

（3）若点D在x轴上，点E在（I）中所求出的二次函数的图象上，且以点A、C、D、E

为顶点的四边形是平行四边形，求点D、E的坐标.

4

25.（14分）已知在△ABC中，ZA=45°,AB=7,tanB=^动点P、D分别在射线AB、

AC上，且/DPA=/ACB,设AP=x,△PCD的面积为y.

（1）求^ABC的面积；

（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出•函

数的定义域；

（3）如果△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长.

•学年上海市上南地区六校九年级（上）12月月考数学

试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.如果两个相似三角形的周长分别是1和4,那么这两个三角形的面积之比是（）

A.1：2B.I：3C.1：4D.I：16

【考点】相似三角形的性质.

【分析】由两个相似三角形的周长分别是1和4,即可求得这两个三角形的周长比，根据

相似三角形周长的比等于相似比，即可求得这两个三角形的相似比，又由相似三角形面积

的比等于相似比的平方，却可求得答案.

【解答】解：两个相似三角形的周长分别是I和4,

・••这两个三角形的周长比为：1：4,

.••这两个三角形的相似比为：1：4,

这两个三角形的面积比为：1：16.

故选D.

【点评】此题考查了相似三角形的性质.解题的关键是掌握相似三角形周长的比等于相似

比与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用.

2.把抛物线y=-3（x+2）2平移后得到抛物线y=-3x2,平移的方法可以是（）

A.沿x轴向右平移2个•■单位B.沿x轴向左平移2个单位

C.沿y轴向上平移2个单位D.沿y轴向下平移2个单位

【考点】二次函数图象与几何变换.

【专题】计算题.

【分析】原抛物线顶点坐标为（-2,0）,平移后抛物线顶点坐标为（0,0）,由此确定平

移规律.

【解答】解：:抛物线y=-3（x+2）2的顶点坐标为（-2,0）,抛物线y=-3x2的顶点坐

标为（0,0）,

「•平移的方法可以是：x轴向右平移2个单位.

故选A.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换.关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的

平移，寻找平移方法.

3.如果a是锐角，sin。=那么cosa的值是（-）

A.JB.eC.近D.立

【考点】特殊角的三角函数值.

【专题】探究型.

【分析】先根据已知条件得出a的度数，再根据特殊角的三角函数值得出cosa的值即可.

【解答】解：是锐角，sina=（,

a=60°,

cosa=cos60°=­.

故选A.

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的

关键.

4.△ABC中，D、E分别是AB和AC边上的中点，设另不』则而可表示为（）

--1-J

A.2dB.-2aC.-QD.--Q

【考点】*平面向量.

【分析】首先根据题意画出图形，然后由D、E分别是AB和AC边上的中点，可得DE是

△ABC的中位线，由三角形中位线的性质，即可求得答案.

【解答】解：如图，•「△ABC中，D、E分别是AB和AC边上的中点，

/.DEIIBC,DE=-^BC,

标二，

一］一

故选D.

【点评】此胭考置了平面向量的知识以及三角形中位线的性质.注意掌握平行向量的意

义.

A.所有正方形都相似

B.有一个角为30。的等腰三角形都相似

C.所有等边三角形都相似

D.有一个角为30。的直角三角形都相似

【分析】根据正方形的性质和相似的定义可对A进行判断；利用3（）度可为顶角，也可为

底角可对B进行判断：根据等边三角形的性质和相似的判定方法对C进行判断；根据直角

三角形相似的判定方法对D进行判断.

故选B.

6.己知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中不正确的是（)

A.a<0B.b<0C.c>（）D.b2-4ac>0

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系.

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴的交点、与x轴的交点逐项判断

即可.

【解答】解：由图象可知，开口向下，aVO,故A正确；

对称轴在y轴的右侧，根据左同右异，可知b>0,故B错误；

抛物线与y轴交于正半轴，可知c>0,故C正确；

抛物线与x轴有两个交点，可知b2・4ac>0,故D正确；

故选：B.

【点评】本题主要考查抛物线图象与系数的关系.能够根据图象正确确定出各系数的取值

范围是解决此题的关键，此外，此题注意数形结合思想的运用.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.已知线段a=9cm、b=4cm,那么线段a、b的比例中项c=6cm.

【考点】比例线段.

【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负.

【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线

段的乘积.

所以C2=4X9,x=±6,（线段是正数，负值舍去），

故答案为：6.

【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数.

8.抛物线y=x2-2x+3的图象与y轴的交点坐标为（0,3）.

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】令x=0求出y的值，然后写出即可.

【解答】解：令x=0,则y=3,

所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0,3）.

故答案为：（0,3）.

【点评】本题考杳了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的求

解方法是解题的关键.

9.线段AB=4cm,点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP,则AP的长为（2遥-2）

cm.

【考点】黄金分割.

【分析】根据黄金分割点的定义和AP>RP得出^R.代入数据即可得出AP的

长度.

【解答】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，

且AP>BP,

贝ljAP=^^—x4=（2^/5-2）cm.

故答案为：（2证・2）cm.

【点评】本题考查了黄金分割.应该识记黄金分割的公式：较短的线段二原线段的

与作，较长的线段;原线段的近二1

22

10.小王在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是35。，那么点B处得小明看点A处

的小王的俯角等于空度.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【分析】两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等.

【解答】解：从点A看点R的仰角与从点R看点A的俯角互为内错角，大小相等.

点B处的小明看点A处的小李的俯角是35度.

故答案为：35。.

【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，主要考查仰角、俯角的概念，以及仰

角与俯角的关系.

11.如果非零向量W与E满足等式W二-3E那么向量W与％的方向

相反.

【考点】*平面向量.

【专题】几何图形问题.

【分析】由于Z=-3总E与-3%方向相反，则W与E的方向相反.

【解答】解：:E与-E方向相反，・.・E与-3芯方向相反，

.•.之二-3三，二^与石的方向相反.

故答案为：相反.

卜点评】本题考查了平面向量的方向性，是基础题型，比较简单.

12.如果斜坡的坡比i=l：3,坡角为a,那么cola=3.

【考点】解直角三角形的应用■坡度坡角问题.

【分析】坡比二坡角的正切值，进而可求出a的余切值.

【解答】解：由题意，得：lana=i=W，

cota=—tana=3.

【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系，坡角的正切等于坡比.

13.一个矩形的周长为20,设其一边的长为x,面积为S,则S关于x的函数解析式是

S=x(10-x)(OVxVlO)(请注明定义域)

【考点】根据实际问题列二次函数关系式.

【专题】几何图形问题.

【分析】易得矩形的另一边长，则面积二两边长的乘积，根据边长为正数可得自变量的取

值.

【解答】解：.•.矩形的周长为20,其一边的长为x,

另一边长为10-x,

S=x(10-x)(0<x<10).

故答案为S=x(10-x)(0<x<10).

【点评】考查列二次函数关系式：得到矩形的另一边长是解决本题的突破点.

14.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC的中点，则B高F的值是2.

【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.

【分析】由题意得出DE=CE=±D,

由平行四边形的性质得出ABIICD,AB=CD,

△ABFs^CEF,得出对应边成比例，即可得出结果.

【解答】解：:E是DC的中点，

DE=CE喙D，

•••四边形ABCD是平行四边形，

/.ABIICD,AB=CD,

△ABF-△CEF,

•BF_Ag_CD_?

-EF-CFCF

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握平行四

边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键.

15.底角为150，腰长为6的等腰三角形的面积是立

【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质.

【分析】根据题意画出相应的图形，过C作CD垂直于BD,交BA的延长线与点D,由

AB=AC,利用等边对等凭可得NB=NACB,再由NDAC为三角形ABC的外角，根据三角

形的外角性质得到NCAD=/B+NACB,求出NCAD=3。。，在直角三角形ACD中，根据

30。角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边AC的长求出CD的长，即为BA边上的高，

最后利用三角形的面枳公式即可求出三角形ABC的面积.

【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：

R------------------------------C

由题意可知：AB=AC=6,

ZB=ZACB=15\

过C作CD_LBD,交BA的延长线与点D,

••NCAD为△ABC的外角,

ZCAD=ZB+ZACB=150+15°=3O\

在直角三角形ACD中，AC=6cm,ZCAD=30°,

/.CD=,AC=3,

则SAABC=^BA.CD=X6X3=9.

故答案为：9.

【点评】此题考查了含30。角的直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及等腰三角形

的性质，解题的关键是作出相应的辅助线CD,灵活运用各种性质来解决问题.

16.在△ARC中，AD是边RC上的中线，G是重心，如果AG=32,那么线段DG的长是

16.

【考点】三角形的重心.

【专题】计算题.

【分析】由于G是重心，可运用重心的性质(重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的

2倍)可得AG=2DG,然后根据条件"AG=32"就可求出DG.

【解答】解：:AD是边BC上的中线，G是重心，

/.AG=2DG.

•••AG=32,

DG=16.

故答案为16.

【点评】本题考查的是重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重

心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.

17.已知抛物线y=x2・2x+c经过点A(1,yi)和B(2,y2),比较yi与y2的大小：yig

y2(选择"〉"或"〈"或填入空格).

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据二次函数的性质，当抛物线开口向上时，物物线有最小值即可判断.

【解答】解：.••抛物线y=x2-2x+c开口向上，对称轴为x=-2=l,

.,.点A(1,yj)是顶点，

••・抛物线开口向上，抛物线有最小值，

yi<y2»

故答案为v.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析

式.

18.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是A(-1,0),B(3,0),C(0,2),已

知••动直线y=m(0<m<2)与线段AC、BC分别交于D、E两点，而在x轴上存在点P,

4

使得△DEP为等腰直角三角形，那么m的值等于懑1.

【考点】等腰直角三角形；坐标与图形性质.

【专题】动点型；存在型.

【分析】因为△ABC的顶点分别为A(-1,0)B(3,0),C(0,2),动直线y=m(0

<m<2)与线段AC,BC分别交于D,E,要使△DEP为等腰直角三角形，(1)DE二EP,

（或DP）,ZDEP（或NEDP）=90。或（2）PD=PE,NEPD=90。，由直线方程和等腰直角

三角形的性质及勾股定理求解.

【解答】解：ADEP为等腰直角三角形分两种情况：

（1））DE=EP,（或DPDzDEP（或NEDP）=90。时,

设D（X],m）,E（X2>m）,

22

（Xj-x2）=m,

由已知得CA方程：y=2x+2,

2

CB方程：y=-A+2,

0

二得：4(m-2)2=m2,

4

解得：m产w，n[2=4（与0<m<2不符舍去），

4

..m--；

（2）PD=PE,ZEPD=90•时,

_2

则（上_11）=m2,

2

_22

（x2x1）=4m,

/.4（m-2）2=4m2,

解得：m=l,

综上：当m/或m=l时，△DEP为等腰直角三角形，故答案为：券1.

【点评】此题考查的知识点是等腰直角三角形的性质运用及坐标与图形的性质，关键是确

定等腰直角三角形的两种情况，然后分别求解.

三、（本大题共7题，满分78分，其中第19・22题各10分，第23、24题各12分，第25

题14分）

19.求值：cos30°・tan600+cot45°・sin450.

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】把特殊角的锐角三角函数值代入计算.

【解答】解：原式=零乂«+1*1

2

【点评】此题考查了特殊角的锐角三角函数值的计算，要能够熟记各个数据.

20.用配方法求抛物线y=2x2-4x的顶点坐标和对称轴.

【考点】二次函数的三种形式.

【分析】运用配方法把二次函数的•般式化为顶点式，根据二次函数的性质确定对称轴和

顶点坐标.

【解答】解：y=2x2-4x

=2（x-1）2-2,

「•顶点坐标是（I,-2）,对称轴是直线x=l.

【点评】本题考查的是二次函数的三种形式和性质，正确运用配方法把二次函数的一般式

化为顶点式是解题的关键，掌握二次函数的对称轴和顶点坐标的确定.

21.如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角NB=30。，背水坡AD的坡度为

1：亚，坝顶DC宽25米，坝高CE是45米，求：坝底AB的长、迎风坡BC的长以及

BC的坡度.（答案可以带上根号）

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】应用题.

【分析】要求BC的长和坡度，直角三角形BCE中，有NB的度数，有CE的高，BC的

长和坡度便可求得.BE的长也可得到.要求得AB的长，只要求出AF和BE的长即

可.直角三角形AFD中，有AD的坡度，有DF的长，那么AF也不难求出，再加上前面

得出的BE的长，AB的长就求出来了.

【解答】解：..・而言，.•.AF=45加，

••・奈cot30°=V5,BE=45V3»

AB二EF+AF+BE=25+45扬45V5（米），

451

又•••音sin30°二尚，BC=90（米），

DC2

,.ZB=30。,BC的坡度为tan30°=I：%.

答：坝底AB的长为25+45行45加（米）、迎风坡BC的长为90米，BC的坡度为I：

V3.

【点评】此类题可把条件和问题转化到直角三角形中，使问题得到解决.

22.如图，已知两个不平行的向量tb-先化简，再求作：2（£与）-“看玲.

（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

【考点】*平面向量.

【分析】首先利用平面向量的运算法则，化简原式，再利用三角形法则画出向量.

【解答】解：原式=2:卫-"^-2%

一个一

二d-3上.,

如图：AB=a»AC=3b»

则厘即为所求.

【点评】此题考查了平面向量的运算.注意掌握三角形法则是解此题的关键.

23.如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2,点D是BC延长线上一点，BC：

CD=2：1,连接FD与AC交于点N,求FN：ND的值.

【考点】平行线分线段成比例.

【专题】证明题.

【分析】过点F作FEIIBD,交AC于点E,求出痣FH二之1得出FE二1微BC,根据已知推出

DCJ5

CD^1BC,根据平行线分线段成比例定理推F出N箫F言F，代入化简即可.

乙IMULJJ

【解答】解：过点F作FEIIBD,交AC于点E,

.EF=AF

…BC-AB，

/AF：BF=I：2,

.AF_1

AB3

.FE_1

BC3

UPFF.=-RC.

•/BC：CD=2：1,

/.CD=,BC,

---FEIIBD,

2

■而亩至3,

即FN：ND=2：3.

证法二、连接CF、AD,

AF：BF=1：2,BC：

BF=BC=_2

AB"BE=1,

zB=zB,

△BCF”△BDA,

器券得，ZBCF=ZBDA,

AEBE3

FCllAD,

△CNF-△AND,

FNCF2

前一IT亏

【点评】本胭考置了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比

例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目.

24.已知一个二次函数的图象经过A(0,3)、B(4,3)、C(1,0)三点(如图).

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求tan/BAC的值；

(3)若点D在x轴上，点E在(1)中所求出的二次函数的图象上，且以点A、C、D、E

为顶点的四边形是平行四边形，求点D、E的坐标.

【考点】二次函数综合题.

【专题】综合题.

【分析】（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,利用待定，系数法列式计算出a、b、c的

值，从而得解；

（2）过点C作CM1.AB于点M,先求出点M的坐标，然后根据三角形函数的定义列式

进行计算即可；

（3）根据抛物线的对称怛结合平行四边形的性质可得AEIIx轴，从而得到点E与点B重

合，然后根据平行四边形的对边相等求出CD的长度，再分点D在点C的左边与右边两种

情况求解，从而得到点D的坐标.

【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+数+c,

c=3

）16a+4b+c=3»

a+b+c=0

ra=l

解得b二-4,

c=3

・••二次函数的解析式为y=x2-4x+3；

（2）如图，过点C作CMJLAB于点M,

.••点M的坐标为（1,3）,

⑶叱BAC%也

（3）•••点D在x轴上，点E在二次函数的图象上，

了.以点A、C、D、E为顶点的平行四边形中AEIICD,

・••点E与点B重合，

.・•点E的坐标为（4,3）,

/.AE=4-0=4,

根据平行四边形的对边平行且相等CD=AE=4,

又,•,点C的坐标为（1,0）,

•・.①当点D在点C的左边时，AC是对角线，1・4=-3,

点D的坐标为（-3,0）,

②当点D在点C的右边时，AC是平行四边形的边，1+4=5,

点D的坐标为（5,0）,

综上所述点D的坐标为（-3,0）或（5,0）,点E的坐标为（4,3）.

【点评】本题是对二次函数的综合考查，包括待定系数法求二次函数解析式，锐角函数的

三舛函数，平行四边形的性质，在确定平行四边形的顶点时，判断出点E与点B重合是解

题的关键.

4

25.（14分）已知在△ABC中，ZA=45°,AB=7,tanB=］，动点P、D分别在射线AB、

J

AC±,J&ZDPA=ZACB,设AP=x,△PCD的面积为y.

（1）求仆ABC的面积；

（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函

数的定义域；

（3）如果△PCD是以PD为腰的等腰三。角形，求线段AP的长.

c

D

APB

【考点】解直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质.

【专题】动点型.

【分析】（1）过C作CHJ_AB于H,在R/ACH、RsCHB中，分别用CH表示出

AH、BH的长，进而由AB=AH+BH=7求出CH的长，即可得到AH、BH的长，由三角形

的面积公式可求得△ABC的面积；

（2）由NDPA=NACB,可证得△DPA-△BCA,根据用似三角形得出的成比例线段可求

得AD的表达式，进而可得到CD的长；过P作PE_LAC于E,根据AP的长及NA的度

数即可求得PE的长；以CD为底、PE为高即可求得△PCD的面积，由此可得出y、x的

函数关