正弦型函数的性质与图像

正弦型函数的性质与图像

知识梳理

一、正弦型函数的相关概念

1、定义：一般地，形如y=4in(gf。)的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这

类型的函数称为正弦型函数，其中4回。都是常数，且AwO,。。。.

2、对函数y=Asin(0x+0)图像的影响

(1)A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.

(2)8决定了户()时的函数值，通常称(p为初相，cox+9为相位.

(3)。决定了函数的周期7=」

co

3、A,的实际意义

(1)同的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；

(2)°在决定仁0时小球的位置中起关键性作用，称为初相；

(3)周期r=M表示小球完成一次运动所需要的时间,

内能完成的运动次数，称为频率.

二、正弦型函数的性质

1、定义域：R

2、值域:[-⑷却

3、周期：7=勺

4、奇偶性「定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下,

对于y=Asin(4v+(p)(Aw0,H0)

当°=Z;r(%£Z)时，函数y=Asin(5+0)(AWO,GWO)是奇函数；

当0=攵万+](&€Z)时，函数y=Asin(<yx+0)(AwO,①。0)是偶函数；

当0=4(kwZ)时,函数)，=Asin(0x+e)(AwO,GwO)是非奇非偶函数；

5、单调性确定函数y=Asin(iyxI。)(八>0,69>0)的单调区间的思想是把cox\。看作一个整体。

由2左万-14a¥+9《24不+5（女£2）解出工的范围，可得单调递增区间；

由2版■+］工《"+°工2%乃+耳（ZEZ）解出x的范围,可得单调递减区间；

三、用五点法画y=4sin（“x+0）一个周期内的简图时，要找五个关健点，如下表所示.

n-(P江史2TI-(p

X-义+工

coco2toco2cocoCD

3兀

COX+(/)0匹712兀

2T

y=Asin(cox+(p)0A0・A0

四、三角函数图像变换

1、振幅变换

要得到函数》=Asinx（A>0,4=1）的图像，只要将函数v=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长

（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到.

2、平移变换

要得到函数户sin*+8）的图像，只要将函数），=sinx的图像上所有点向左（当勿>0时）或向

右（当8<0时）平行移动3个单位长度即可得到.

3、周期变换

要得到函数ksins（xwR）（其中。>（）且gw1）的图像，可以把函数>'=sin<上所有点的横

坐标缩短（当。>1时）或伸长（当°°。时）到原来的5倍（纵坐标不变）即可得到•

4、函数y=sinR的图像经变换得到），=Asin（sr+°）的图像的两种途径

画出尸疝》•的图象画出xsin”的图象

1

横坐标变为原来的1倍

向左（右）平移21个单位长度春

得到尸sin（a+q）的图象得到y=sinsv的图象

|£|个单位长度

横坐标变为原来的1倍I向左（6）平移

得到y=sin（*、：+（p）的图象|

得到尸sin（s4+夕）的图象

纵坐:标变为原来的A倍纵坐标变为原来的A倍

彳母到尸Asin（s4+0）的图象|得到尸Asin（s；i+0）的图象

5、三角函数图像变换中的三个注意点

（1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；

例如：sint=cos(^--)siccost=sin(z+—)

22

(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图像，得到的是哪个函数图像，不可弄错方向；

(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中

函数y=Asinx至！J)，=Asin(x+°)的变换量是网个单位，

函数y=Asin5到y=Asin(<yx+0)时，变换量是—个单位.

co

'至常考题型

题型1五点法画正弦型函数图像题型5正弦型函数的奇偶性

题型2正弦型函数的周期性题型6求正弦型函数的最值或值域

正弦型函数的4

性质与图像

题型3正弦型函数的对称性题型7根据函数图像求解析式

题型4正弦型函数的单调性题型8正弦型函数图像变换

'孽题型精析

题型一五点法作正弦型函数图像

【例I】用“五点法”作产2sin2A-的图象,首先描出的五个点的横坐标是()

A♦吟万与B,。，*号/C.0,L,4万D'°'7，f,f，T

【答案】B

【解析】由“五点法”作图知：令2r=(),9兀，*，2%

解得1=0,?,三，：兀，兀，即为五个关键点的横坐标,故选：B.

【变式皿】用‘五点法哂—⑦+9在一个周期内的筒图时所描的五个点分别是(一御)，

哈⑵，号。)，喑「2),

【答案】咨,0).

O

【解析】用“五点法”画y=2sin（2x+§在一个周期内的简图时,

分别令2X+9=O,9学,2万,当2x+g=2万,可得尸耳,此时腐。=0,

3225oo

所以五个点分别为（-3。），哈，2）,除0）,点「2）,磨,0）.

O1231ZO

【变式1-2］作出下列国数在一个周期图象的简图：

71(3)y=2sin(2%+?+1

(1)y=3s呜;(2)y=2sinX+—

4

【答案】（1）函数图象见解析；（2）函数图象见解析；（3）函数图象见解析

【解析】（1）因为y=3si吟，取值列表：

3不9乃

X0T34T6乃

X3n

0冗24

37~2

y030-30

描点连线，可得函数图象如图示:

(2)因为y=2sinx+—，取值列表：

4J

7T7C3兀5乃7%

XI~4T~4~T

71713元

x+-0不2/r

422

y020-20

点连线，可得函数图象如图示:

描点连线，可得函数图象如图示:

题型二正弦型函数的周期性

【例2】函数仆）=sin（2x+1）的最小正周期为（）

A.兀B.2nC.4兀D.6兀

【答案】A

【解析】由题意最小正周期是7=1=兀，故选：A.

【变式2-1］小）=2-3可消）的最小正周期为,

【答案】■

_2几

【解析】由题意可知，函数/"）的最小正周期为T=.

2

【变式2-2］已知函数/*)==5(3>0)的最小正周期16,则八2)=.

【答案】专

【解析】由周期公式可得7=£=16®>0),所以”,

所以.”崂工，所以〃2)=si吟x2=si哈咚

【变式2・3】已知/(%)=sin&+J则/⑴+〃2)+〃3)++/(2022)=.

【答案】。

_2£_,

71万、T

【解析】函数faxsin—X+—的最小正周期为£

36JI

冗兀

当&eZ时，/(6^)=sin^=l,/(6A+I)=sin—+—=1

o236J

2万JI1

/(6^+2)=sin三+——,/(6火+3)=sin7T+—|=

\3626j2，

4乃7T]1

f(6k+4)=sin——+—=-l/(6k+5)=sin

36JI362，

所以，/@)+/(67)+/(6n2)+/(6&+3)+/附+4)+/(6八5)=0,

•.2022=337x6,因此，〃l)+/(2)+/(3)+…+/(2022)=0x337=0.

【变式2-4】已知/(〃)=sin£,(〃wN')，/⑴+/⑵+/(3)+L+/(2019)=;

【答案】。

【解析】依题意小)=神保，

所以/(l)=si吟=1,〃2)=sin;r=0,/(3)=仔,=-1,〃4)=sin2乃=0,

/(5)=siny=sin^2^-+|^=sin|=l,……，以此类推，

/(〃)是周期为4的周期函数,且/⑴+/(2)+〃3期"4)=0,

所以/(D+/(2)+/⑶+L+/(20I9)=

0+/(2017)+/(2018)-b/(20I9)=/(l)+/(2)+/(3)=l+0+(-l)=0.

题型三正弦型函数的对称性

【例3】函数），=sin（2x+.）的图象的一个对称轴方程是（）

、乃n乃c兀八九

A•X“WB--v=-7C,A-=-D,x=-

【答案】c

【解析】对于函数丁=$皿2"?）,令2x+[=g+A肛％wZ,解得工=尚+乎,壮2,

44ZoZ

故函数的对称轴方程为xW+?kZ,

oZ

令攵=（）,可知函数的一条对称轴为x故选：C

O

【变式3-1]下列关于函数/（”）=2sin,+总的图象，说法正确的是（）

A.关于点件。卜寸称B.关于直线户域对称

C.关于直线A十寸称D.关于点仁可对称

【答案】C

【解析】A：/图=2si臂+总。2,即/⑴关于I=？对称，故错误；

B:/（—吉卜2可4+£|=0,即/⑴关于卜方可对称，故错误；

C：/e）=2"畀£|=2,即，⑶关于x君对称,故正确；

D：佃=2sin（2喂卜0,故错误.故选：C.

【变式3-2】已知函数小卜如（2崂），.若方程小）号的两个解为"，则

sin（x1+x2）=（）

A.—4B.且C.1D.

2222

【答案】B

【解析】由题意可得则2崂呜也,

令2呜，即函数小"心Y）,■叫关于直线Y对称,

则/（"在（词上单调递增,在信）上单调递减，所以—X泻,

故sina+X2）=sin《=”,故选：B

【变式3-3】如果直线、=葭是函数.y=2sin（3x+p）图像的一条对称轴，则。的最小正值为

1o

【答案】T

【解析】由已知3乂卷+。=彳+版■，丘Z，解得e=+

IOZ3

当E。取最小正值，且为用故答案为：y.

【变式3-4]已知函数/O）=sin（2x+0）的图象关于点信0）中心对称,则同的最小值为（）

A'B-C—D—

A-6B-3C-3U-3

【答案】B

【解析】因为函数/（x）=sin（2.2的图象关于点后,。）中心对称,

所以sin/2X£+°]=0,贝[]2x^+9=A兀,AeZ,即一四+EMwZ,

k6/63

故⑷的最小值为弓.故选：B

题型四正弦型函数的单调性

【例4】函数丁=%（2.一日的单调增区间是（）

jrjr

A.2k7r-^,2k7r+^(keZ)B.k九一二，k冗中三伏£Z）

63

C.k;r+—,k7r+^-(k.€Z)D.一k兀一三、一k几+?（kGZ）

【答案】B

【解析】因为丁=sinf2x--1,

6)

所以因数的单调递增区间为Y产…;故选：B

【变式4-1])，=sin(-2”的单调增区间是()

A.—+2k^,—+2k^(AcZ)B,[乃+2日,3万+2k司(keZ)

22

c「万，34，

乃，—(keZ)D.一?+k乃，:+女乃(kwZ)

C..44r+Z"

【答案】c

【解析】由)，=疝(-2司,

rr371

令一+2%乃工-+4,4eZ,

37T7C

解彳导—-；—k7t＜x＜一■＜一k冗,kGZ,

44

艮|]-与+*江＜丫＜一?+4"/(=7,艮|]?+〃万＜丫＜,+上万,〃(=7,故选：C.

【变式4.2】函数小）=4表2）在[0,句上的增区间是（）

—「万万]'「乃

A.匕71刁"|_B,\匕T1C.[-，5y]D.仁"

【答案】C

【解析】由题知〃”『巾-高，又皿0,句，所以2.品-今野：，

TC—T[37c>r—।兀/5/Z"

<2^--<—,解彳导,

2o236

所以函数/（”）=s喉—2%）在[0,句上的增区间是样用.故选：C.

【变式4-3】设。〉0,若函数/*）=2sins在卜孑q上单调递增，则”的取值范围是（)

（11（31「3一

A.0,-B.1,；C.0,-D.（0,1］

【答案】D

冗兀c_CO7TCO7T

【解析】由xc-了］,①>。,可得①xw,

根据正弦函数的单调性，可得：共2,又0>0,

---«—

22

所以0<3<1,即3€（。/］.故选：D.

【变式4.4】已知函数/（x）=sg+a）在xjq昌上单调递增，则。的值可以是（

)

【答案】B

［解析】当xe（一时，x+ae（_?+Y+\

11、兀…

-----+a>——+2女乃

则42，&wZ,解彳导一工+2女尸4。《生+2Z;r,%eZ,

—+a<—+lk7r

32

当2=0时，-2，结合选项可知，只有B选项符合,故选：B.

题型五正弦型函数的奇偶性

［例5］已知函数f*）=sin*+0）为偶函数，贝」。I的取值可以为（）

A.-yBJC.gD.0

NJ

【答案】A

【解析】因函数/（©=sin。+8）为偶函数，贝1|。=而+］入Z,

显然a=-1时/=£，即A满足，B,C,D都不满足.故选：A

【变式5-1］若函数〃x）=2sin（2x-?是奇函数，则。的值可以是（）

AA-—6nB-—2cC-3D-2

【答案】C

【解析】若函数"x）=2sin（2Aq+,是奇函数，

则一.+0=也k/Z，得9=5+%乃,丘2=＞左=-1，9=-用故选：C

【变式5-2】设函数〃x）=sin2x户cR，若，40,乃），函数/（1+。）是偶函数，则。的值为（）

A•五或历B•%或7C.1或彳D•§或彳

【答案】C

【解析】因为〃x+S=sin（2x+2夕）是偶函数，

rrjr

所以2夕=彳+4乃,keZ+尿、kwZ,

又同。㈤，所以。=5或.故选：C.

【变式5-3］已知函数/（力=m的+。）（0＞0,。＜。＜乃），且小）与/（X+0均为偶函数，则。的

最小值是_______.

【答案】3

【解析】因函数〃x）=sin®+0）是偶函数，则方氏+多壮Z,

=sin(s+4=coss

又0<°<万则A=()@g,f(x)

I2)

此时，f（x+g）=8s®x+等），而f（x+g）为偶函数，＜y＞0,

JJJ

因此，争二版，,即0=3%,keW,于是得/n=3,

所以。的最小值是3.

题型六求正弦型函数的最值或值域

【例6】函数/3=sin（2x+£）,xe0,y的最大值和最小值分别为（）

A.1,-1B.g-gC.\D.1,

【答案】D

【解析】由题设，2x+—e，故小『访伍+?）引-；,1],

666V672

所以最大值和最小值分别为1,故选：D

【变式6-1】函数/（x）=2sin（9W）在区间[0H的值域为（）

A.,11B.[1f73]C.[1,2]D.[6,2]

【答案】C

【解析】当X€[。，划时，+g片,sin（yX+-^）GJ』,｝闫1,2],故选：C

j—j.

【变式6-2]若函数〃x）=asin⑵1*）-2〃+1]|同＜5在行9处取得最小值3那么。的值为）

AA-—3aR•—4Q，-6Un•—12

【答案】C

【解析】当。=0时，8）=1,不合题意，

2

若。＞。,由已知得-"勿+1=3,解得。=-],与心。矛盾,舍去；

若“V。,由已知得4+1=3,解得〃=-2,=-（p=2k7T+系kw7」）,

JJ

解得W=£-2壮（kwZ）,又罔＜9,所以°=£,故选：C.

o2o

【变式6-3】若函数/3=2gY）在区间与。）内存在最小值，则。的值可以是（）

【答案】B

【解析】由神停。)，得2"%停2丐).

若在开区间管。)内存在最小值,

则2。+?用，解得"牛，故选B

4Zo

题型七根据函数图像求解析式

管=(

。>0,1初后J的部分图象如图所示,贝V)

D-T

【答案】C

【解析】由图象可知丁=44,从而/，

Asin(^+“

=0

在函数图象上,

将停喷。,-1)3

Asin^>=-

2

1冗’2不)=3siC.

可彳导：e=-£,A=3J(x)=3sin—X-----吟《故选：

6126广

【变式7-1］如图是函数"x)=Asin(s+*)心0.@>0,0<04的图象的TB分，则函数/⑺的

71

A./(x)=2si•n2cx+—B./(x)=2sin2x+g

I6XJ

nD./(x)=2sin(2xj

C./(x)=sinx+—

3

【答案】B

【解析】由图象可知：/(x)最小正周期r=4x^|-£|=*/.◎=学=2;

又/传卜Asin管+。)一，

，磊+。=?+2匕r(ZwZ),解得：。=?+2版■(ZwZ),

■n八几兀.•./(x)=Asin12x+?,

又o<e<5,

/(O)=Asin^=^-A=\/3,3=2,••J(x)=2sin(2x+?)故选：B.

【变式7-2］函数/(x)=4sin(5+Q)的部分图象如图所示，则八制=()

C.msin(3x+?D.#sin

【答案】B

【解析】由图象可得：7=2倍+目=乃,・・・吁4=2,

再根据五点法作图可得2乂,哥+8=>2丘丘2,"="+2丘丘2,

f(x)=4sin(2x+,

又/(0)=Asin与=6,・\A=2,

,+印故选：B

/(x)=2sin

【变式7-3】函数/(x)=|Asin(«r+0)+l|(A＞OJ*|＜g的部分图象如图所示，则()

【答案】A

【解答】由图可得：A+1=3且|-A+l|=lnA=2；

,函数f(x)=|Asin(x+*)+11(A>0,15的部分图象过(0,2)；

/.2=2sin<9+1=>sinIl<­；:.(p=—.

226

【变式7-4】设偶函数启)=加皿3+9)(40,口＞0,0＜夕＜兀)的部分图象如图所示,AKLM为等

腰直角三角形，NKML=90。，KL=1,则大＜)的值为.

【答案】乎

【解析】由题意知，点M到上轴的距离是:，根据题意可设/&)=如3,

又由题图叫着二1,所以M=7l,所以,/W玲OSTLX,

故点玲os台兴

题型八正弦型函数图像变换

【例8】已知函数/(x)=2sin)+S,则函数的图象可以由)，=2sin\的图象()

A.向左平移(得到B.向右平移;得到

C.向左平移g得到D.向右平移?得