高数第九章试题及答案

高数第九章试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.下列哪项是多元函数的定义范畴？（）A.只含一个自变量的函数B.含两个及以上自变量的函数C.常数函数答案：B2.函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处偏导数存在是函数在该点可微的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件答案：B3.设\(z=x^2y\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(2x\)答案：A4.已知\(z=e^{xy}\)，那么\(z_y\)（\(y\)的偏导数）为（）A.\(xe^{xy}\)B.\(ye^{xy}\)C.\(e^{xy}\)答案：A5.二元函数\(z=x^2+y^2\)的驻点是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((-1,-1)\)答案：A6.函数\(z=3x^2+3y^2\)在区域\(x^2+y^2\leqslant1\)上的最大值是（）A.0B.3C.6答案：B7.设\(z=\sin(xy)\)，则\(dz\)=（）A.\(y\cos(xy)dx+x\cos(xy)dy\)B.\(\cos(xy)dx+\cos(xy)dy\)C.\(-y\cos(xy)dx-x\cos(xy)dy\)答案：A8.已知\(z=\ln(x+y)\)，则\(z_{xy}\)（先对\(x\)后对\(y\)求偏导）=（）A.\(\frac{1}{(x+y)^2}\)B.\(-\frac{1}{(x+y)^2}\)C.\(\frac{1}{x+y}\)答案：A9.函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微，则函数在该点（）A.不连续B.连续C.不一定连续答案：B10.设\(z=x^y\)，则\(\frac{\partialz}{\partialy}\)=（）A.\(x^y\lnx\)B.\(yx^{y-1}\)C.\(x^y\)答案：A二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些属于多元函数的概念（）A.二元函数B.三元函数C.\(n\)元函数答案：ABC2.关于多元函数偏导数的说法正确的是（）A.反映函数沿坐标轴方向的变化率B.偏导数存在函数不一定连续C.求偏导数时把其他变量看作常数答案：ABC3.下列函数中，哪些是可微函数（）A.\(z=x+y\)B.\(z=x^2+y^2\)C.\(z=|x|+|y|\)答案：AB4.求多元复合函数偏导数时用到的法则有（）A.链式法则B.加法法则C.乘法法则答案：A5.多元函数的极值点可能是（）A.驻点B.偏导数不存在的点C.边界点答案：AB6.设\(z=f(x,y)\)，则\(dz\)与\(\Deltaz\)的关系是（）A.\(dz\)是\(\Deltaz\)的线性主部B.\(\Deltaz-dz\)是比\(\rho=\sqrt{\Deltax^2+\Deltay^2}\)高阶的无穷小C.\(dz=\Deltaz\)答案：AB7.以下哪些是求多元函数最值的步骤（）A.求驻点B.求偏导数不存在的点C.比较驻点、偏导数不存在的点以及边界点处的函数值答案：ABC8.已知\(z=f(u,v)\)，\(u=\varphi(x,y)\)，\(v=\psi(x,y)\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）A.\(\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialx}\)B.\(f_1'\varphi_x'+f_2'\psi_x'\)C.\(\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialv}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialu}{\partialx}\)答案：AB9.对于二元函数\(z=f(x,y)\)，以下说法正确的是（）A.若\(z_{xx}z_{yy}-(z_{xy})^2>0\)且\(z_{xx}>0\)，则有极小值B.若\(z_{xx}z_{yy}-(z_{xy})^2>0\)且\(z_{xx}<0\)，则有极大值C.若\(z_{xx}z_{yy}-(z_{xy})^2<0\)，则无极值答案：ABC10.多元函数连续、可偏导、可微之间的关系是（）A.可微必连续且可偏导B.连续不一定可偏导C.可偏导不一定可微答案：ABC三、判断题（每题2分，共10题）1.多元函数在某点连续，则在该点偏导数一定存在。（）答案：错2.函数\(z=f(x,y)\)的偏导数\(z_x\)，\(z_y\)在点\((x_0,y_0)\)连续，则函数在该点可微。（）答案：对3.驻点一定是极值点。（）答案：错4.多元函数的偏导数就是函数沿坐标轴方向的变化率。（）答案：对5.若\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)可微，则\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)连续。（）答案：对6.函数\(z=x^2y+1\)，\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=2x\)。（）答案：对7.多元复合函数求导时，复合关系不同求导公式也不同。（）答案：对8.函数\(z=f(x,y)\)在区域\(D\)内的最大值一定大于最小值。（）答案：错9.二元函数\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)在\((0,0)\)处偏导数不存在。（）答案：对10.若\(z=f(x,y)\)的全微分\(dz=Adx+Bdy\)，则\(A=z_x\)，\(B=z_y\)。（）答案：对四、简答题（每题5分，共4题）1.简述多元函数可微的定义。答案：设函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)的某邻域内有定义，若\(\Deltaz=f(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)-f(x_0,y_0)=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{\Deltax^2+\Deltay^2}\)），则称函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)可微，\(dz=A\Deltax+B\Deltay\)。2.求多元函数极值的一般步骤是什么？答案：首先求函数的驻点，即解方程组\(f_x=0\)，\(f_y=0\)。再求偏导数不存在的点。然后用判别式\(A=f_{xx}\)，\(B=f_{xy}\)，\(C=f_{yy}\)，根据\(AC-B^2\)的正负及\(A\)的正负判断驻点是否为极值点。3.简述多元复合函数求导的链式法则。答案：若\(z=f(u,v)\)，\(u=\varphi(x,y)\)，\(v=\psi(x,y)\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialy}\)。4.说明二元函数连续、可偏导、可微之间的关系。答案：可微能推出连续且可偏导；连续不一定可偏导；可偏导不一定可微；偏导数连续则函数可微。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论多元函数偏导数与方向导数的联系与区别。答案：联系：偏导数是方向导数在坐标轴方向的特殊情况。区别：偏导数只考虑沿坐标轴方向的变化率，方向导数可考虑沿任意方向的变化率。偏导数用极限定义，方向导数是函数沿某一方向的变化率，通过特定极限公式计算。2.在实际问题中，如何运用多元函数极值的知识来求解最值？答案：先根据实际问题建立多元函数模型，确定自变量和因变量。再求函数的驻点和偏导数不存在的点。结合实际问题的定义域，判断驻点等是否为最值点，有时还需考虑边界情况，比较各点函数值大小得出最值。3.讨论多元函数全微分在近似计算中的应用原理。答案：当\(\Deltax\)，\(\Deltay\)很小时，\(\Deltaz\approxdz\)。已知\(z=f(x,y)\)，\(dz=f_x\Deltax