骨灰级考研试题及答案

骨灰级考研试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数$f(x)=x^3-3x$的驻点是（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=\pm1$D.$x=0$2.下列级数中收敛的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}n$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$3.设$A$为$n$阶方阵，且$|A|=0$，则（）A.$A$中必有两行（列）元素对应成比例B.$A$中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合C.$A$中必有一行（列）元素全为零D.$A$的秩为$n$4.已知向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，向量组$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$，则向量组$\beta_1,\beta_2,\beta_3$（）A.线性相关B.线性无关C.可能线性相关也可能线性无关D.秩为25.设随机变量$X$服从正态分布$N(1,4)$，则$P(X\leq1)$的值为（）A.0B.0.5C.1D.0.256.若$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$与$\int_{a}^{b}f(t)dt$（）A.相等B.互为相反数C.不一定相等D.仅当$a=b$时相等7.函数$y=\lnx$在点$(1,0)$处的切线方程是（）A.$y=x-1$B.$y=-x+1$C.$y=x+1$D.$y=-x-1$8.设$z=x^2y+y^3$，则$\frac{\partialz}{\partialx}$等于（）A.$2xy$B.$x^2+3y^2$C.$2xy+3y^2$D.$x^2$9.行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的值为（）A.-2B.2C.10D.-1010.设$X$是离散型随机变量，其分布律为$P(X=k)=\frac{c}{2^k}$，$k=1,2,3,\cdots$，则常数$c$的值为（）A.1B.2C.$\frac{1}{2}$D.4二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在其定义域内可导的有（）A.$y=|x|$B.$y=x^3$C.$y=\sinx$D.$y=\ln(x^2+1)$2.以下哪些是向量组线性相关的判定方法（）A.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示B.向量组对应的行列式的值为零C.向量组的秩小于向量组中向量的个数D.向量组中存在两个向量对应成比例3.下列关于定积分性质的说法正确的有（）A.$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数）B.$\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$C.若$f(x)\leqg(x)$在$[a,b]$上成立，则$\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx$D.$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$4.设$A,B$为$n$阶方阵，下列等式成立的有（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$C.$|AB|=|A||B|$D.$(kA)^T=kA^T$（$k$为常数）5.对于正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，以下说法正确的是（）A.均值$\mu$决定正态分布曲线的位置B.标准差$\sigma$决定正态分布曲线的形状C.正态分布曲线关于直线$x=\mu$对称D.当$\sigma$固定时，$\mu$越大，曲线越“矮胖”6.下列哪些函数是偶函数（）A.$y=x^2+1$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=x\sinx$7.已知函数$f(x)$在$x_0$处可导，则以下极限存在的有（）A.$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$B.$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$C.$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}$D.$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$8.以下哪些是二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2-4x_2x_3+5x_3^2$的矩阵的性质（）A.实对称矩阵B.正定矩阵C.可逆矩阵D.正交矩阵9.设随机变量$X$与$Y$相互独立，且$X\simN(1,1)$，$Y\simN(2,4)$，则（）A.$X+Y\simN(3,5)$B.$X-Y\simN(-1,-3)$C.$2X+Y\simN(4,8)$D.$X-2Y\simN(-3,17)$10.下列级数中，绝对收敛的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}$三、判断题（每题2分，共10题）1.若函数$f(x)$在$x_0$处极限存在，则$f(x)$在$x_0$处一定连续。（）2.向量组中向量个数大于向量的维数时，向量组一定线性相关。（）3.若$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,b]$上一定连续。（）4.方阵$A$可逆的充要条件是$|A|\neq0$。（）5.若随机变量$X$与$Y$的协方差$Cov(X,Y)=0$，则$X$与$Y$相互独立。（）6.函数$y=x^3$在$R$上是单调递增函数。（）7.设$A,B$为$n$阶方阵，若$AB=0$，则$A=0$或$B=0$。（）8.级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛的必要条件是$\lim_{n\to\infty}u_n=0$。（）9.若$f(x)$是奇函数，则其原函数一定是偶函数。（）10.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的极值。答案：先求导$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$和$x=2$。当$x\lt0$时，$f^\prime(x)\gt0$；$0\ltx\lt2$时，$f^\prime(x)\lt0$；$x\gt2$时，$f^\prime(x)\gt0$。所以极大值$f(0)=2$，极小值$f(2)=-2$。2.已知向量组$\alpha_1=(1,2,3)$，$\alpha_2=(2,3,4)$，$\alpha_3=(3,4,5)$，求该向量组的秩。答案：构造矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}$，对其进行初等行变换，$A\to\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&-2&-4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&0&0\end{pmatrix}$，所以向量组的秩为2。3.计算定积分$\int_{0}^{1}x^2dx$。答案：根据定积分基本公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，则$\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}$。4.简述线性方程组有解的判定定理。答案：线性方程组$Ax=b$，有解的充要条件是系数矩阵$A$的秩等于增广矩阵$(A|b)$的秩，即$r(A)=r(A|b)$。当$r(A)=r(A|b)=n$（$n$为未知数个数）时，有唯一解；当$r(A)=r(A|b)\ltn$时，有无穷多解。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$在区间$(0,2)$上的连续性与可导性。答案：$f(x)=\frac{1}{x-1}$在$x=1$处无定义，所以在区间$(0,2)$上不连续。在除$x=1$外的区间内，根据求导公式可得$f^\prime(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$，即在$(0,1)$和$(1,2)$内可导，$x=1$处不可导。2.讨论矩阵相似对角化的条件。答案：$n$阶方阵$A$可相似对角化的充要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量。充分条件是$A$有$n$个不同的特征值。若$A$的每个特征值对应的线性无关的特征向量个数等于该特征值的重数，$A$也可相似对角化。3.讨论随机变量独立性的意义及应用场景。答案：随机变量独立性意味着一个