08二次函数中平行四边形的存在性问题-中考数学复习专项（含答案）

第第页二次函数中平行四边形的存在性问题—中考数学复习专项一、综合题1．如图，抛物线y=12x2+x﹣3（1）求点A、B的坐标；（2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．2．如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是拋物线在x轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，DB（l）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积与△AOC的面积和为72（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'.(1)若抛物线过点C、A、A'，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标；(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．4．如图所示，已知抛物线y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx+b的图象相交于A(−1,−1)（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）当点P在直线AB上方时，求出△PAB面积最大时点P的坐标；（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC=（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=﹣（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．7．如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.8．如图，抛物线y=ax2+bx−3经过点A(2,−3)，与轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），其中点B（5，0），交y轴于点C（0，5），连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作PM//y轴交DE于点M，求PM的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将CB绕点C逆时针旋转a（0°＜a＜90°）得到CB'，使点B'恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、B'、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．二、实践探究题13．已知二次函数y=14x发现：点A的坐标为__________，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m0<m<8，当m为何值时，四边形PMED14．综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2，0)，B(4，0)两点，与y(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.15．【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=4m，宽AB=1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为xmx>0，加长后水池1的总面积为y1m2；设水池2的边EF的长为x（1）分别求出y1与x，y【问题解决】（2）求水池2面积的最大值：（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，求xm【数学抽象】（4）在图④的图象中，点P是此抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在以点C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】（1）点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）存在，E的坐标为（﹣1﹣22，2）或（﹣1+22，2）；（3）存在，F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2）2．【答案】（1）y=−2x2+2x+4；（2）m=32；（3）存在，M(0,0)或M(4,0)3．【答案】（1）y＝－x2＋3x＋4.；（2）x＝2时，△AMA'的面积最大，最大值为8，M(2，6)．（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（3+412，﹣4），P4（4．【答案】（1）y=−x2；y=−x−2；（2）S△PAB的最大值为338；此时，P125．【答案】（1）y=−x2−2x+3；（2）P−326．【答案】解：（1）∵抛物线过A、C两点，∴代入抛物线解析式可得：−1−b+c=0c=3解得：b=2c=3∴抛物线解析式为y=﹣令y=0可得，−x解x1=−1，∵B点在A点右侧，∴B点坐标为（3，0），设直线BC解析式为y=kx+s，把B、C坐标代入可得：3k+s=0s=3解得：k=−1s=3∴直线BC解析式为y=﹣x+3；（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∴M（∵P在线段OB上运动，∴M点在N点上方，∴MN=−m2+2m+3−（−m+3）=−∴当m=32时，MN有最大值，MN的最大值为93）3+212【解析】【解答】（3）∵PM⊥x轴，∴MN∥OC，当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，当点P在线段OB上时，则有MN=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=3，此方程无实数根，当点P不在线段OB上时，则有MN=−m+3−（∴m2﹣3m=3，解得m=3+212或m=综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为3+212或【分析】（1）根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线解析式可得抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，根据x轴上点的坐标特征可得B点坐标为（3，0），设直线BC解析式为y=kx+s，再根据待定系数法将点B，C坐标代入直线解析式即可求出答案.

（2）由题意可得M（m，−m7．【答案】(1)y=x2＋2x－3，y=x－1(2)存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形8．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）存在，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）9．【答案】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得4a−2b+c=0c=−2解得：a=1b=1c=−2，∴此函数解析式为：y＝x（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，解得：k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，∵MD∥y轴，∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB＝12MD•OA＝12×2（m2﹣2m）

＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）∵﹣2＜m＜0，∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1．（3）点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+5，1﹣5）或（﹣1﹣5，1+5）或（2，﹣2）．【解析】【解答】解：（3）设P（x，x2+x﹣2），

①如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，

∴Q的横坐标等于P的横坐标，

∵直线的解析式为y＝﹣x，则Q（x，﹣x），

由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，即|﹣x2﹣2x+2|＝2，

当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，∴Q（﹣2，2），

当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+5，x2＝﹣1﹣5，

∴Q（﹣1+5，1﹣5）或（﹣1﹣5，1+5），

②如图，当BO为对角线时，OQ∥BP，

∵直线AB的解析式为y=-x-2，直线OQ的解析式为y=-x，

∴A与P重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，∴BQ＝OP＝2，点Q的横坐标为2，

把x=2代入y＝﹣x得y=-2，∴Q（2，﹣2），

综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+5，1﹣5）或（﹣1﹣5，1+5）或（2，﹣2）．

【分析】（1）设此抛物线的函数解析式，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；（2）根据题意，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），由A、B坐标可求出直线AB的解析式，得到点D的坐标为（m，﹣m﹣2），得出MD的长度，进而求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标.10．【答案】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：0=−1−b+c5=c，解得b=4c=5，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；

（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：

在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0，

解得x＝5或x＝﹣1，

∴B（5，0），

∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，

∴∠CBO＝45°，

∵PD⊥x轴，

∴∠BQD＝45°＝∠PQH，

∴△PHQ是等腰直角三角形，

∴PH＝PQ2，

∴当PQ最大时，PH最大，

设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得0＝5k＋5，

∴k＝﹣1，

∴直线BC解析式为y＝﹣x＋5，

设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），

∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣52）2＋254，

∵a＝﹣1＜0，

∴当m＝52时，PQ最大为254，

∴m＝52时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（52，354）；

（3）存在，理由如下：

抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，

设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），

①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：

∴s+22=5+02−s2+4s+5+t2=0+52，解得s=3t=−3，

∴M（3，8），

②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：

∴s+52【解析】【分析】（1）根据题意将点A和点C的坐标代入函数解析式，进而即可求解；

（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，根据二次线函数与坐标轴的交点得到点B的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质得到∠CBO＝45°，PH＝PQ2，再运用待定系数法求出直线BC的函数解析式，设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），根据坐标系中两点间的距离结合题意求出二次函数的最值即可；

（3）根据二次函数的图象结合题意设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），进而分类讨论：①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，③11．【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）12．【答案】（1）y=x2−6x+5；（2）最大值为494，P(52,−13．【答案】发现：−2,0，直线BC的解析式为y=12x−4；拓展：P4,−6；探究：当14．【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2，0)，B(4，0)，

∴4a−2b+6=016a+4b+6=0，

解得：a=−34b=32，

∴抛物线的函数表达式为y=−34x2+32x+6；

(2)作直线DE⊥x轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，如图所示：

∵点A的坐标为(