同步练习：双曲线2

1/12.2双曲线一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.双曲线的焦距为（）A.3 B.4 C.3 D.42.“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（）A.1 B.2 C.3 D.44.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.5.与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为（） A.B.C.D.6.已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为（）A.－=1 B.C. D.7.如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（）A. B. C. D.8.双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）A.B.C.D.9.已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于（）A.B.C.D.10.连接双曲线与的四个顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的的四个焦点构成的四边形的面积为S2，则S1：S2的最大值是（）A.2 B.1 C. D.11.设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A.B.C.D.12.为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13.若曲线表示双曲线，则的取值范围是.14.已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为.15.过双曲线的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______.16.方程所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则；②若曲线C为双曲线，则或；③曲线C不可能为圆；④若曲线C表示焦点在上的双曲线，则.以上命题正确的是.（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）已知双曲线经过点M（），且以直线x=1为右准线.（1）如果F（3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程；（2）如果离心率e=2，求双曲线方程.18.（本题满分12分）设双曲线的方程为，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线上的任一点，引，AQ与BQ相交于点Q.（1）求Q点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，求的取值范围.19.（本小题满分12分）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（Ⅱ）设过点的直线与曲线相交于不同的两点、.若△的面积等于，求直线的方程.20.（本小题满分12分）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列，且与同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.OFxyPM第21题图H21.（本题满分12分）如图，F为双曲线C：的右焦点.P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点OFxyPM第21题图H（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程.22.（本小题满分14分）已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是.（I）证明为常数；（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D解：由双曲线方程得，于是，故选D.2.A解：“双曲线的方程为”“双曲线的准线方程为”但是“准线方程为”“双曲线的方程”，反例：.故选A.3.D解：取顶点,一条渐近线为故选D.4.B解：如图在中，，，故选B.5.A解：由双曲线与曲线共焦点知焦点在轴上，可排除B、D，与曲线共渐近线可排除C，故选A.6.C解：，所以，故选C.7.A解：由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上.又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，故点到轴的距离是.选A.8.C解：而双曲线的离心率故选C.9.C解法一：∵双曲线中∴∵∴作边上的高，则∴∴的面积为故选C.解法二：∵双曲线中∴设，则由得又∵为的右支上一点∴∴∴即解得或（舍去）∴∴的面积为故选C.10.C，∴，故选C.11.A解：对于椭圆，，曲线为双曲线，，标准方程为：.故选A.12.B解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9，故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13解：.14.解：如图由题设，，所以双曲线方程为15.解：双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为，建立方程组，得交点纵坐标，从而.16.②④解：若曲线C为椭圆，则，∴①错误；若曲线C为双曲线，则，∴②正确；当时曲线C方程为，表示圆，∴③错误；若曲线C表示焦点在上的双曲线，则，∴④正确.三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解：（1）设P（x，y）为所求曲线上任意一点，由双曲线定义得=化简整理得（2）因此，不妨设双曲线方程为，因为点M（）在双曲线上，所以，得，BPOBPOAQ18.解：（1）设∵∴，∵，∴，∴，化简得：，经检验，点不合题意，∴点Q的轨迹方程为（2）由（1）得的方程为，，∵，∴，∴.19.解：（Ⅰ）解法1：以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，，依题意得∴曲线是以原点为中心，为焦点的双曲线.设实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则，，∴曲线的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得.∴曲线是以原点为中心，为焦点的双曲线.设双曲线的方程为＞0，b＞0）.则由解得,∴曲线C的方程为(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理，得.∵直线与双曲线相交于不同的两点,∴∴.设，则由①式得于是=而原点到直线的距离,∴若，即解得,满足②.故满足条件的直线有两条，其方程分别为和解法2：依题意，可设直线的方程为,代入双曲线C的方程并整理，得. ①∵直线与双曲线C相交于不同的两点，∴∴ ②设，则由①式得. ③当在同一支上时（如图1所示），；当在不同支上时（如图2所示），综上得，于是由及③式，得.若，即,解得,满足②.故满足条件的直线有两条，方程分别为和20.解：（Ⅰ）设，，由勾股定理可得：得：，，由倍角公式，解得,则离心率.（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立将，代入，化简有将数值代入，有,解得故所求的双曲线方程为.21.解：∵四边形是平行四边形，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，.（Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，解得，则，所以为所求.22.解：由条件知，设，.（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，此时.当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入，有.则是上述方程的两个实根，所以，，于是.综上所述，为常数.（II）解法一：设，则，，，，由得：