知识讲解：线性规划中关于特殊点与可行域的有关问题

4/4线性规划中关于特殊点与可行域的有关问题在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示它对应的直线某一侧的所有点组成的平面区域，在分析是直线的哪一侧的区域时，我们可以在直线的某一侧取一个特殊点，然后从的结果的正负即可判断出表示该直线哪一侧的平面区域．下面就以判断表示的平面区域是在直线的哪一侧的平面区域问题来加以分析：⑴当C时，取原点（0，0），当原点坐标使得成立时，就是含有坐标原点的区域；当不成立的时，就是不含坐标原点的区域。⑵当时，取点（0，1）或者（1，0）进行验证，使不等式成立的就是含取点的一侧；不成立时就是另一侧。总之，线性规划中判断可行域的步骤为：①作出直线；②取特殊点；③代入求值；④判断区域．下面举例对该问题加以剖析：例1：如图所示，其中可以表示右图中阴影部分所表示的区域的不等式组为。分析：首先根据右边的图像我们可以求出图中阴影区域的三条边所对应的三条直线分别为：，然后我们利用我们经常用的三个特殊点中的不在直线上的一个进行点验证，从而可以分析出阴影区域所对应的部分是在直线的哪一侧，进而我们可以列出一个满足条件的不等式组。解析：由已知条件和阴影区域我们可以得出：斜线过(0，eq\f(1,2))，(eq\f(1,2)，1)，则直线为x－y＋eq\f(1,2)＝0，从而我们可以列出：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(1,2),\f(1,2)≤y≤1,x－y＋\f(1,2)≥0))，该不等式组就是图中所对应的阴影区域。点评：解决本题的关键就是首先要根据图形中的特殊点，求出三条对应的直线方程，然后利用特殊点定域来确定阴影区域表示的是直线的哪一侧，从而最终我们可以得出满足条件的不等式组。变式训练：如果点在上面的例题中的阴影区域内，则点P的纵坐标的取值范围为（）A.B.C.D.答案：A提示：根据已知条件，由于点P的横坐标为，带入其中的两条限制直线方程中，我们可以求出此时纵坐标的取值范围，从而答案为A。例2：求不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域的面积.

分析：本题在处理的时候我们可以先把不等式组对应的三条直线画出来：x－y＋6＝0；x＋y＝0，x＝3；然后利用三个特出点中的其中不在该直线上的一个来判断出其所对应的区域，继而可以求出该区域的面积。解析：利用点（0，0）进行验证，我们不难可以得出：不等式x－y＋6≥0表示直线x－y＋6＝0的含有原点的那部分区域，即表示该直线上面得点及右下方的点的集合；同理，利用点（1，0）我们可以判断出：不等式x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，不等式x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，从而我们可以得出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0，,x＋y＝0，,x≤3))表示的平面区域如图所示.由图形我们可以看出该区域面积也就是△ABC的面积.根据已知条件容易求得B点坐标为(3，－3)，C点的坐标为（3，9），A点的坐标为（-3，3）。故BC=12，点A到直线BC的距离为6.∴S△ABC＝eq\f(1,2)×12×6=36.故原不等式组表示的平面区域的面积等于36.点评：本题在画出直线方程之后，再利用特殊点定域找出所对应的直线所对应的区域，最后由三条直线确定出区域为一个三角形，然后任意其中两条直线联立解出交点坐标，然后便可以求出所对应的面积。变式练习：利用上述例题的已知条件，则以C（3，0）为圆心的圆全部在阴影区域内，则此圆的面积的最大值为（）A.B.C.D.答案：B提示：根据已知条件，因为圆必须在阴影区域内，而圆心坐