2025年春沪科版七年级下册数学教案 第8章 15 课题：因式分解方法的综合运用

课题：因式分解方法的综合运用【学习目标】1．综合运用提公因式法和公式法分解因式．2．理解并掌握运用分解因式的一般步骤．【学习重点】熟练用公因式法与公式法进行因式分解．【学习难点】灵活运用提公因式法和公式法进行因式分解．旧知回顾：什么是提公因式法？什么是运用公式法？答：把多项式的公因式提到括号外面，这种分解因式的方法叫作提公因式法，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b).知识模块一先提公因式再套公式因式分解阅读教材P84例4，完成下列问题：怎样综合运用提公因式法和公式法分解因式？答：一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再考虑用公式进行因式分解；同时因式分解要彻底，直到每一个因式都不能再分解为止。范例1.分解因式：(1)ax4－ay4；解：原式＝a(x4－y4)＝a(x2＋y2)(x2－y2)＝a(x2＋y2)(x＋y)(x－y)；(2)x3y－2x2y2＋xy3；eq\a\vs4\al(解：原式＝xy(x2－2xy＋y2),＝xy(x－y)2；)(3)x5－x3;eq\a\vs4\al(解：原式＝x3(x2－1),＝x3(x＋1)(x－1)；,)(4)x2(x－y)＋(y－x).解：原式＝x2(x－y)－(x－y)＝(x－y)(x2－1)＝(x－y)(x＋1)(x－1).仿例1.将多项式a3－16a进行因式分解的结果是 (A)A．a(a＋4)(a－4)B．(a－4)2C．a(a－16)D．(a＋4)(a－4)仿例2.分解因式：(1)9a3b3－ab;解：原式＝ab(9a2b2－1)＝ab(3ab＋1)(3ab－1);(2)－a＋2a2－a3；eq\a\vs4\al(解：原式＝－a(1－2a＋a2),＝－a(1－a)2；)(3)x3y2－4x;eq\a\vs4\al(解：原式＝x(x2y2－4),＝x(xy＋2)(xy－2)；,)(4)x5y－xy5.解：原式＝xy(x4－y4)＝xy(x2＋y2)(x2－y2)＝xy(x2＋y2)(x＋y)(x－y).知识模块二两次运用公式因式分解阅读教材P84例5，完成下列问题：分解因式的一般步骤是什么？答：因式分解的一般步骤是：一提、二套、三分组，先考虑提公因式，再考虑能否用公式．用公式法进行分解因式时，注意观察各项之间的关系，灵活选择完全平方公式和平方差公式，最后分解到每个因式不能再分解为止．范例2.分解因式：(1)(x2＋4y2)－16x2y2；解：原式＝(x2＋4y2－4xy)(x2＋4y2＋4xy)＝(x－2y)2(x＋2y)2;(2)256－x4；解：原式＝(16＋x2)(16－x2)＝(16＋x2)(4＋x)(4－x)；(3)(x2＋x)2－(x＋1)2;解：原式＝(x2＋x＋x＋1)(x2＋x－x－1)＝(x2＋2x＋1)(x2－1)＝(x＋1)2(x＋1)(x－1)＝(x＋1)3(x－1);(4)(m2＋n2)2－4m2n2.解：原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2(m－n)2.仿例1.把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为__(3b－a)2__．仿例2.分解因式：(1)16x4－8x2y2＋y4;解：原式＝(4x2－y2)2＝(2x＋y)2(2x－y)2;(2)a4－2a2＋1；解：原式＝(a2－1)2＝(a＋1)2(a－1)2；(3)(a2＋4)2－16a2;解：原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4－4a)(a2＋4＋4a)＝(a＋2)2(a－2)2;(4)(a2＋ab＋b2)2－9a2b2.解：原式＝(a2＋ab＋b2＋3ab)(a2＋ab＋b2－3ab)＝(a2＋4ab＋b2)(a－b)2.1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．