北师大版七年级数学下册全部知识点归纳

第一章：整式的运算

单项式

「整式

多项式

一同底数篇的乘法

塞的乘方

［积的乘方

转运算同底数邪的除法

——零指数邪

负指数募

i'整式的加减

r单项式与单项式相乘

J单项式与多项式相乘

、整式的乘法i多项式与多项式相乘

整式运算平方差公式

完全平方公式

;单项式除以单项式

整式的除法

多项式除以单项式

一、单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中全部字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或一1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或一1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不确定是单项式。

4、整式不确定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减

1、整式加减的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以与乘法安排率。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后精确合并同类项，

3、几个整式相加减的一般步骤：

(1)列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

(2)按去括号法则去括号。

(3)合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：

(1)代数式化简。

(2)代入计算

(3)对于某些特别的代数式，可采纳“整体代入”进行计算。

五、同底数塞的乘法

1、n个相同因式(或因数)a相乘，记作”，读作a的n次方(塞)，其中a为底数,

n为指数，a11的结果叫做骞。

2、底数相同的塞叫做同底数需。

3、同底数塞乘法的运算法则：同底数塞相乘，底数不变，指数相加。即：am.an=am+%

4、此法则也可以逆用，即：am+n=am.a%

5、起先底数不相同的簿的乘法，假如可以化成底数相同的簿的乘法，先化成同底数

籍再运用法则。

六、事的乘方

1、塞的乘方是指几个相同的塞相乘。(陵)n表示n个am相乘。

2、塞的乘方运算法则：靠的乘方，底数不变，指数相乘。(am)n=amno

3、此法则也可以逆用，即：amn=(am)n=(an)m

七、积的乘方

1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的

幕相乘。即(ab)n=anb\

3、此法则也可以逆用，即：anbn=(ab)%

八、三种“塞的运算法则”异同点

1、共同点：

(1)法则中的底数不变，只对指数做运算。

(2)法则中的底数(不为零)和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式(单项

式或多项式)。

(3)对于含有3个或3个以上的运算，法则仍旧成立。

2、不同点：

(1)同底数零相乘是指数相加。

(2)幕的乘方是指数相乘。

(3)积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。

九、同底数塞的除法

1、同底数幕的除法法则：同底数塞相除，底数不变，指数相减，即:am+an=amn(aw。)。

2、此法则也可以逆用,即：am-n=am4-an(a#0)°

十、零指数"

1、零指数塞的意义：任何不等于。的数的。次塞都等于1,即：a°=lg力0)。

十一、负指数骞

1、任何不等于零的数的一P次幕，等于这个数的P次幕的倒数，即：小=小。#0)

注：在同底数帚的除法、零指数扉、负指数卷中底数不为0。

十二、整式的乘法

(一)单项式与单项式相乘

1＞单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的基分别相乘,

其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、系数相乘时，留意符号。

3、相同字母的塞相乘时，底数不变，指数相加。

4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。

5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

(二)单项式与多项式相乘

1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是依据安排率用单项式去乘

多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mco

2、运算时留意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

4、混合运算中，留意运算依次，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。

(三)多项式与多项式相乘

1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另

一个多项式的每一项，再把所得的积相加。UP：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nbo

2、多项式与多项式相乘，必需做到不重不漏。相乘时，要按确定的依次进行，即一

个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于

两个多项式项数的积。

3、多项式的每•项都包含它前面的符号，确定积中每•项的符号时应用“同号得正,

异号得负“。

4、运算结果中有同类项的要合并同类项。

5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面

的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。

十三、平方差公式

1>(a+b)(a-b)=a2-b2,即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。

3、平方差公式可以逆用,即：a2-b2=(a+b)(a-b)o

4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成

(a+b)・(a-b)的形式，然后看a?与b2是否简洁计算。

十四、完全平方公式

1、(〃+与2=/+2"+/,(〃一〃)2=42_2帅+〃2,即：两数和(或差)的平方，等于它们的

平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。

2、公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式。

3、驾驭理解完全平方公式的变形公式：

(1)a2+h2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+lab=+(a-Z?)2]

(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab

(3)ab=i[(a+b)2-(a-b)1]

4、完全平方式：我们把形如：/+2"+/,/_2"+卜2,的二次三项式称作完全平方式。

5、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算。

6、完全平方公式可以逆用,即：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.

十五、整式的除法

()单项式除以单项式的法则

1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数卷分别相除后,

作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因

式。

2、依据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字

母与不相同字母三部分分别进行考虑。

（二）多项式除以单项式的法则

1、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除

以单项式，再把所得的商相加。用字母表示为：（。+〃+。）+m="〃2+〃+机+。+，九

2、多项式除以单项式，留意多项式各项都包括前面的符号。

其次章平行线与相交线

V余角

余角补角

,补角

角［两线相交^对顶角

F;同位角

亍

殳三线八角内错角

5

H同旁内角

/平行线的判定

平行线

平行线的性质

尺规作图

一、余角与补角

1、假如两个角的和是直角，则称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是

另一个角的余角。

2、假如两个角的和是平角，则称这两个角互为补角，简称为互补，称其中•个角是

另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的

位置无关。

4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：

（1）/1+/2=90。（180。）,/1+/3=90。（180。）,贝1」/2=/3（同角的余角（或补角）相等

（2）/1+/2=90。（180°）,/3+/4=9（）。（180°）,且/1=/4,贝11/2=/3（等角的余角（或补角）

相等）。

6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。

二、对顶角

1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

3、对顶角的性质：对顶角相等。

4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用特别广泛，它是证明两个角相等的依据与

重要桥梁。

5、对顶角是从位置上定义的，对顶角确定相等，但相等的角不确定是对顶角。

三、同位角、内错角、同旁内角

1、两条直线被第三条直线所裁，形成了8个角。

2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样

的一对角叫做同位角。

3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的

一对角叫做内错角。

4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第二条直线（截线）的同旁，这样

的一对角叫同旁内角。

5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常状况下，它们之间不存在固定的大小

关系。

四、六类角

1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。

2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。

3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。

4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。

五、平行线的判定方法

1、同位角相等，两直线平行。

2、内错角相等，两直线平行。

3、同旁内角互补，两直线平行。

4、在同一平面内，假如两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行，

5、在同一平面内，假如两条直线都垂直于第三条直线，则这两条直线平行，

六、平行线的性质

1、两直线平行，同位角相等。

2、两直线平行，内错角相等。

3、两直线平行，同旁内角互补。

4、平行线的判定与性质具备互逆的特征，其关系如下：

月仲州相笫风Q角相等

内僚用相争..内情用相等

日有内用《朴日育内角

在应用时要正确区分主动向上的题设和结论。

七、尺规作线段和角

1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

3、尺规作图中直尺的功能是：

(1)在两点间连接一条线段；

(2)将线段向两方延长。

4、尺规作图中圆规的功能是：

(1)以随意一点为圆心，随意长为半径作一个圆；

(2)以随意一点为圆心，随意长为半径画一段弧；

5、娴熟驾驭以下作图语言：

(1)作射线XX;

(2)在射线上栈取XX=XX;

(3)在射线XX上依次截取XX=XX=XX;

(4)以点X为圆心，XX为半径画弧，交XX于点X;

(5)分别以点X、点x为圆心，以XX、XX为半径作弧，两弧相交千点X；

(6)过点X和点X画直线XX(或画射线XX)；

(7)在NXXX的外部(或内部)画NXXX=NXXX；

6、在作较困难图形时，涉与基本作图的地方，不必重复作图的具体过程，只用一句

话概括叙述就可以了。

(1)画线段Xx=xX;

(2)画/XXx=ZXXX;

第三章生活中的数据

单位换算

,科学记数法

近似数

生活中的数据精确数

有效数字

精确度

统计图(象形统计图)

一、单位换算

1、长度单位：

(1)百万分之一米又称微米，即1微米=106米。

(2)1。亿分之一米又称纳米，即1纳米=10-9米。

(3)1微米=1。3纳米。

(4)1米=10分米=100厘米=1。3毫米=1。6微米=109纳米。

2、面积单位

(1)10一6千米2=1米2=102分米2=104厘米2=1。6毫米2=1。12微米2=1018纳米2。

3、质量单位

(1)1吨=1。3千克=1()6克。

二、科学计数法表示确定值小于1的较小数据

1、用科学计数法表示确定值小于1的较小数据时，也可以表示为axicr的形式，具

中14IaIvio,n为负整数，n等于这个数的第一个不为零的数字前面全部零的个数

(包括小数点前面的一个零)的相反数。

三、近似数与精确数

1、精确数是指一个物体或描述一事务的真实数值。

2、近似数是指用测量或统计的方法、四舍五入、估计等得到的数。

3、近似数产生的缘由有：

(1)由于测量工具和测量方法的局限性不行能得到物体的精确值；

(2)有些事务也不行能或没有必要得出它的精确值。

4、近似数a的真值的范围大于或等于a与它的最末位的半个单位的差而小于a与它

的最末位的半个单位的和。例如近似数1.60的真值范围为大于或等于1.595而小于

1.605o

四、有效数字

1、对干一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，全部的

数字都叫这个数的有效数字。

2、对于科学计数法型的近似数，由axICT(14|aI<10)中的a来确定，a的有

效数字就是这个近似数的有效数字。与X10n无关,

3、对带有记数单位的近似数，由数字来确定，与单位无关。

五、近似数的精确度

1、近似数的精确度是近似数精确的程度。

2、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

3、精确度是由该近似数的最终一位有效数字在该数中所处的位置确定的。

4、对于单独•个近似数，依据最终•位有效数字在该数中所处的位置干脆确定精确

度。

5、对用科学记数法表示的数应留意将其还原为原来的数后，再确定其精确度。

6、对带单位的近似数，也要还原为原来的数后再确定其精确度。

7、对近似数进行取舍时须要留意一般形式与科学记数法形式。

六、统计图(表)

1、条形统计图：能清晰地表示出每个项目的具体数目。

2、折线统计图：能清晰地反映事物的改变状况。

3、扇形统计图：能清晰地表示出各部分在总体中所占的百分比。

4、象形统计图：能直观地反映数据之间的意义。

5、从统计图中获得更多的有用信息，应做到以下几步：

(1)审清统计图横轴和纵轴代表的意义，若是象形统计图则要看准每个形象图标代

表什么意义；

(2)把各部分的数据找出来；

(3)以图中读出的信息作为参考(已知)，推想相关量的改变趋势或规律；

(4)对须要计算后回答的信息要精确地进行计算。

6、制作象形统计图

(1)象形统计图比一般的统计图更直观、更简洁生动，极富有特性和情感，但精确

性差一些。

(2)制作象形统计图没有固定的格式，须要具有较强的想像力和创建力。

(3)制作象形统计图：

一是要明确制作的统计图的特点；

二是要结合具体问题，分析数据特点和规律，通过设计简明、直观、形象的统计

图，加深对问题的理解。

第四章概率

,必定事务

“事务不行能事务

J不确定事务

概率〔等可能，衽—>嬉戏的公允性

/概率的定义

概率几何概率

设计概率模型

一、事务

1、事务分为必定事务、不行能事务、不确定事务。

2、必定事务：事先就能确定确定会发生的事务。也就是指该事务每次确定发生，不

行能不发生，即发生的可能是100%(或1)。

3、不行能事务：事先就能确定确定不会发生的事务。也就是指该事务每次都完全没

有机会发生，即发生的可能性为零。

4、不确定事务：事先无法确定会不会发生的事务，也就是说该事务可能发生，也可

能不发生，即发生的可能性在0和1之间。

5、三种事务都是相对于事务发生的可能性来说的，若事务发生的可能性为1。。％,

则为必定事务；若事务发生的可能性为0,则为不行能事务；若事务不确定发生，即

发生的可能性在Osl之间，则为不确定事务。

6、简洁地说，必定事务是确定会发生的事务；不行能事务是确定不行能发生的事务;

不确定事务是指有可能发生，也有可能不发生的事务。

7、表示事务发生的可能性的方法通常有三种：

(1)用语言叙述可能性的大小。

(2)用图例表示。

(3)用概率表示。

二、等可能性

1、等可能性：是指几种事务发生的可能性相等。

2、嬉戏规则的公允性：就是看嬉戏双方的结果是否具有等可能性。

(1)首先要看嬉戏所出现的结果的两种状况中有没有必定事务或不行能事务，若有

一个必定事务或不行能事务，则嬉戏是不公允的；

(2)其次假如两个事务都为不确定事务，则要看这两个事务发生的可能性是否相同;

即看双方获胜的可能性是否相同，只有双方获胜的可能性相同，嬉戏才是公允的。

(3)嬉戏是否公允，并不确定是嬉戏结果的两种状况发生的可能性都是二分之一，

只要对嬉戏双方获胜的事务发生的可能性一样即可，

三、概率

1、概率：是反映事务发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示,

P(A)=事务A可能出现的结果数/全部可能出现的结果数。

2、必定事务发生的概率为1,记作P(必定事务)=1;

3、不行能事务发生的概率为0,记作P(不行能事务)=0;

4、不确定事务发生的概率在Osl之间，记作OvP(不确定事务)<1。

5、概率是对“可能性”的定量描述，给人以更干脆的感觉。

6、概率并不供应确定无误的结论，这是由不确定现象造成的。

7、概率的计算：

(1)干脆数数法：即干脆数出全部可能出现的结果的总数n,再数出事务A可能出

现的结果数m,利用概率公式P(A)=々干脆得出事务A的概率。

(2)对于较困难的题目，我们可采纳“列表法”或画“树状图法

四、几何概率

1、事务A发生的概率等于此事务A发生的可能结果所组成的面积(用SA表示)除以

全部可能结果组成图形的面积(用S全表示)，所以几何概率公式可表示为P(A)=SA/S

全，这是因为事务发生在每个单位面积上的概率是相同的。

2、求几何概率:

(1)首先分析事务所占的面积与总面积的关系；

(2)然后计算出各部分的面积；

(3)最终代入公式求出几何概率。

五、设计概率模型(嬉戏或事务)

1、设计符合要求的简洁概率模型(嬉戏或事务)是对概率计算的逆向运用,

2、设计通常分四步：

(1)首先分析设计应符合什么条件；

(2)其次确定选用什么图形表示更合理；

(3)然后再按确定要求和操作阅历来设计模型；

(4)最终再通过计算或其他方法来验证设计的模型是否符合条件。

第五章三角形

三角形三边关系

V

<三角形［三角形内角和定理

r角平分线

三条重要线段中线

J高线

全等图形的概念

全等三角形的性质

'rsss

"<J

三角形SAS

全等三角形全等三角形的判定ASA

AAS

HL（适用于RtA）

全等三角形的应声利用全等三角形测距离

作三角形

一、三角形概念

1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用

符号表示。

2、顶点是A、B、C的三角形，记作“AABC”，读作“三角形ABC”。

3、组成三角形的二条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC,有时也用a,b,c

来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b,c来表示；

4、NA、NB、NC为AABC的三个内角。

二、三角形中三边的关系

1、三边关系：三角形随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边。

用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a;a-b<c,a-c<b,b-c<ao

2、推断三条线段a,b,c能否组成三角形：

(1)当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；

(2)当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边(未知边)的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边

的和，即\a-b\<c<a+b.

三、三角形中三角的关系

1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180。。

2、三角形按内角的大小可分为三类：

(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；

(2)直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtA”表示“直角三

角形”，其中直角NC所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三

角形的直角边。

注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

(3)钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

3、判定一个三角形的形态主要看三角形中最大角的度数。

4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

5、随意•个三角形都具密六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和二内

角之和为180。的性质。

6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。

四、三角形的三条重要线段

1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。

2、三角形的角平分线：

(1)三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的

线段叫做三角形的角平分线。

(2)随意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。

3、三角形的中线：

(1)在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

(2)三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。

4、三角形的高线：

(1)从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫

做三角形的高线，简称为三角形的高。

(2)随意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。

区别相同

中线平分对边三条中线交于三角形内部

角平分线平分内角三条角平分线交于三角表内部(1)都是线段

锐角三角形：三条高线都在三角形(2)都从顶点画出

垂直于对

内部(3)所在直线相交于

高线边(或其

直角三角形：其中两条恰好是直角一点

延长线)

边

钝角三角形：其中两条在三角表外

部

五、全等图形

1、两个能够重合的图形称为全等图形。

2、全等图形的性质：全等图形的形态和大小都相同。

3、全等图形的面积或周长均相等。

4、推断两个图形是否全等时，形态相同与大小相等两者缺一不行。

5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍旧全等。

6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。

六、全等分割

1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。

2、对一个图形全等分割：

(1)首先要视察分析该图形，发觉图形的构成特点；

(2)其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采纳计算、沟通、探讨等方法完成。

七、全等三角形

1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“灯”连接，读作“全等于”。

2、用“四”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相

等的重要依据。

4、两个全等三角形，精确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。

八、全等三角形的判定

1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。

3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。

4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

5、留意以下内容

(1)三角形全等的判定条件中必需是三个元素，并且确定有一组边对应相等。

(2)三边对应相等，两边与夹角对应相等，一边与随意两角对应相等，这样的两个

三角形全等。

(3)两边与其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。

6、娴熟运用以下内容

(1)娴熟运用三角形判定条件，是解决此类题的关键。

(2)已知“SS”，可考虑A:第三边，即“SSS"；B:夹角，即“SAS”。

(3)已知“SA”，可考虑A：另一角,即“AAS”或“ASA”；B：夹角的另一边,

即“SAS”。

(4)已知“AA”，可考虑A：随意一边，即“AAS”或“ASA”。

7、三角形的稳定性：依据三角形全等的判定方法(SSS)可知，只要三角形三边的

长度确定了，这个三角形的形态和大小就完全确定了，三角形的这特性质叫做三角形

的稳定性。

九、作三角形

1、作图题的一般步骤：

(1)已知，即将条件具体化；

(2)求作，即具体叙述所作图形应满意的条件；

(3)分析，即找寻作图方法的途径(通常是画出草图)；

(4)作法，即依据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；

(5)证明，即验证所作图形的正确性(通常省略不写)。

2、娴熟以下三种二角形的作法与依据。

(1)已知三角形的两边与其夹角，作三角形。

(2)已知三角形的两角与其夹边，作三角形。

(3)已知三角形的三边，作三角形。

十、利用三角形全等测距离

1、利用三角形全等测距感，事实上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形,

运用全等三角形的性质(对应边相等)，把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段

或较简洁测量的线段的长度，从而得到被测距离。

2、运用全等三角形解决实际问题的步骤：

(1)先明的确际问题应当用哪些几何知道解决；

(2)依据实际问题抽象出儿何图形；

(3)结合图形和题意分析已知条件；

(4)找到解决问题的途径。

十一、百角三角形全等的条件

1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜

边、直角边”或“HL”。

2、“HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的；

3、书写时要规范，即在三角形前面必需加上“Rt”字样。

十二、分析-综合法

1、我们在平常解几何题时，采纳的解题方法通常有两种，综合法与分析法，

2、综合法：从问题的条件动身，通过分析条件，依据所学学问，逐步探究，直到得

出问题的结论。

3、分析法：从问题的结论动身，不断找寻使结论成立的条件，直至已知条件。

4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来运用，既运用综合法，又运用分析法。

第六章变量之间的关系

「自变量

’变量的概念

,因变量

变量之间的关系表格法

,关系式法

变量的表达方法J速度时间图象

图象法

路程时间图象

一、变量、自变量、因变量

1、在某一改变过程中，不断改变的量叫做变量。

2、假如一个变量y随另一个变量x的改变而改变，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

3、自变量与因变量的确定：

(1)自变量是先发生改变的量；因变量是后发生改变的量。

(2)自变量是主动发生改变的量，因变量是随着自变量的改变而发生改变的量。

(3)利用具体情境来体会两者的依存关系。

二、表格

1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获得信息、探讨不同量之间的关系。

(1)首先要明确表格中所列的是哪两个量；

(2)分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；

(3)结合实际情境理解它们之间的关系。

2、绘制表格表示两个变量之间关系

(1)列表时首先要确定各行、各列的栏目；

(2)一般有两行，第一行表示自变量，其次行表示因变量；

(3)写出栏目名称，有时还依据问题内容写上单位；

(4)在第一行列出自变量的各个改变取值；其次行对应列出因变量的各个改变取值。

(5)一般状况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的依次排列，这样便于反映

因变量与自变量之间的关系。

三、关系式

1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量(用字母表示)

的代数式表示因变量(也用字母表示)，这样的数学式子(等式)叫做关系式。

2、关系式的写法不同于方程，必需将因变量单独写在等号的左边。

3、求两个变量之间关系式的途径：

(1)将自变量和因变量看作两个未知数，依据题意列出关于未知数的方程，并最终

写成关系式的形式。

(2)依据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；

(3)依据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式;

(4)依据图象写出与之对应的变量之间的关系式。

4、关系式的应用：

(1)利用关系式能依据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；

(2)同样也可以依据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；

(3)依据关系式求值的实质就是解一元一次方程(求自变量的值)或求代数式的值

(求因变量的值)。

四、图象

1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是特别直观、形象。

2、图象能清晰地反映出因变量随自变量改变而改变的状况。

3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(又称横轴)上的点表示

自变量，用竖直方向的数轴(又称纵轴)上的点表示因变量。

4、图象上的点：

(1)对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量

的取值；

(2)过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。

(3)由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，

过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示

的数据即为因变量的相应值。

(4)把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。

5、图象理解

(1)理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；

(2)看该点所对应的横轴、纵轴的位置(数据)；

(3)从图象上还可以得到随着自变量的改变，因变量的改变趋势。

五、速度图象

1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；

2、精确读懂不同走向的线所表示的意义：

（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；

（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；

（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。

六、路程图象

1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；

2、精确读懂不同走向的线所表示的意义：

（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；

（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；

（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。

七、三种变量之间关系的表达方法与特点：

表达方法特点

表格法多个变量可以同时出现在同一张表格中

关系式法精确地反映了因变量与自变量的数值关系

图象法直观、形象地给出了因变量随自变量的改

变趋势

第七章生活中的轴对称

{轴对称图形

（轴对称分类

轴对称

「角平分线

{

轴对称实例〔线段的垂直平分线

等腰三角形

等边三角形

生活中的轴对称

/轴对称的性质

轴对称的性质

镜面对称的性质

/图案设计

轴对称的应用

镶边与剪纸

一、轴对称图形

1、假如一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫

做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、理解轴对称图形要抓住以下几点:

(1)指一个图形；

(2)存在一条直线(对称轴)；

(3)图形被直线分成的两部分相互重合；

(4)轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；

(5)线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；

二、轴对称

1、对于两个图形，假如沿一条直线对折后，它们能相互重合，则称这两个图形成轴

对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

2、理解轴对称应留意：

(1)有两个图形；

(2)沿某一条直线对折后能够完全重合；

(3)轴对称的两个图形确定是全等形，但两个全等的图形不确定是轴对称图形；

(4)对称轴是直线而不是线段；

轴对称图形轴对称

区分是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系

对称轴可能不止一条对称轴只有一条

共同点沿某条直线对折后都能够相互重合

假如轴对称的两个图形看作一个整体，则它就是一个轴对称图形；

假如把轴对称图形分成两部分(两个图形)，则这两部分关于这条对称轴成轴

对称。

三、角平分线的性质

1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

四、线段的垂直平分线

1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段

的中垂线。

2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

五、等腰三角形

1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；

3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；

4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴(等边三角形除外)，其底边上的高或顶

角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。

6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的

对称轴。

7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线相互重合，简称为“三线

合一”。

8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。

9、“三线合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高和中线，

这三线，并非其他。

10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。

11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：

(1)两条边相等的三角形是等腰三角形；

(2)假如•个二角形有两个角相等，则它们所对的边也相等相等，简写为“等角对

等边，

六、等边三角形

1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特别的三角形。

2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的全部

性质。

3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对

称轴。

4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是60。。

图形定义性质

■1、两腰相等，两底角相等。

有两

2、顶角=180°-2X底角。底角=（180°-

边相

等腰三顶角）/2。

Z.等的

角形3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三

三角

线合一”。