专题85空间直线平面的平行（举一反三）（人教A版2019）（原卷版）

专题8.5空间直线、平面的平行【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1证明线线平行】 3【题型2直线与平面平行的判定】 4【题型3平面与平面平行的判定】 5【题型4由线面平行的性质判定线线平行】 7【题型5由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 9【题型6由线面平行求线段长度】 10【题型7面面平行性质定理的应用】 11【题型8平行问题的综合应用】 13【知识点1空间中的平行关系】1.直线与直线平行(1)基本事实4

①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.

②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.

③作用：判断或证明空间中两条直线平行.(2)空间等角定理

①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.2.直线与平面平行(1)判定定理①自然语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.(2)性质定理①自然语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.(3)性质定理的作用①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.

②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.3.平面与平面平行(1)判定定理①自然语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语售.该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.(2)判定定理的推论①自然语言如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语言.(3)性质定理①自然语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.(4)两个平面平行的其他性质①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.

②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.

③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.

⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.【题型1证明线线平行】【例1】（2023下·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（

）①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a//b，c//d，且a//d，那么b//c.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③【变式11】（2023下·全国·高一专题练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（

）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直【变式12】（2023·上海·高二专题练习）下列命题中，正确的结论有(

)①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式13】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（

）A．3条 B．4条C．5条 D．6条【题型2直线与平面平行的判定】【例2】（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式21】（2023·全国·模拟预测）已知三棱柱ABC−A1B1C1中，D，①直线BC1∥平面A1DC；

③直线A1D∥平面B1EC；

其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式22】（2023下·北京房山·高一校考阶段练习）如图甲，在梯形ABCD中，AB//CD，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面①AF//平面BCD；②BE//平面CDF；③CD//平面BEF．A．0 B．1 C．2 D．3【变式23】（2023·河南新乡·统考二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【题型3平面与平面平行的判定】【例3】（2023下·全国·高三校联考阶段练习）给出下列4个命题，其中正确的命题是（

）①垂直于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一平面的两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行.A．①② B．③④ C．②③ D．①④【变式31】（2023·四川遂宁·四川校考模拟预测）在正方体ABCD−A1B①AD②平面AB1D③AD④AD1//A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【变式32】（2023下·江西·高一赣州市第四中学校考期末）在正方体ABCD−A′BA．BDC′与B′D′C．B′D′D与BDA【变式33】（2023下·全国·高一专题练习）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．其中正确的有（）A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③【知识点2平行关系的相互转化及综合应用】1.平行关系的相互转化及综合应用(1)证明线线平行的常用方法

①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.

②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.

③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.

④利用平行线分线段成比例定理.

⑤利用线面平行的性质定理.

⑥利用面面平行的性质定理.

⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.(2)证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.

②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.

③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥.

④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.(3)平面与平面平行的判定方法

①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.

②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.

③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行.

④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.

⑤利用反证法.(4)平行关系的相互转化常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示.【题型4由线面平行的性质判定线线平行】【例4】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD//BC，AD=2BC=2AB=4，PA=2，且∠ABC=60∘，点E为棱PD上一点（不与P,D重合），平面BCE交棱求证：BC//【变式41】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，点D、E分别为棱A1C1、B1【变式42】（2023上·江苏连云港·高三统考期中）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABFE与平面CDEF的交线为EF.(1)证明：EF∥(2)若平面FBC⊥平面ABCD，H为BC的中点，FH=2，FC=2.5，EF=1.5，求该几何体的体积.【变式43】（2023·全国·高一随堂练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：AP//HG．【题型5\o"由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168438/_blank"由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】【例5】（2023下·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥P−ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则AFFC的值为（

A．1 B．2 C．12 D．【变式51】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是菱形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP=λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为（

）A．1 B．32 C．3 【变式52】（2023下·河南洛阳·高一统考期中）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB//α，设α与SM交于点N，则SNSMA．13 B．12 C．23【变式53】（2022·高一课时练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM=tMC，若PA//平面MQB，则t等于（A．12 B．13 C．14【题型6\o"由线面平行求线段长度"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168438/_blank"由线面平行求线段长度】【例6】（2023·全国·高一专题练习）已知正方体AC1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1CA．12 B．22 C．2 【变式61】（2023·全国·高一专题练习）已知直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱和底面边长均为1，M，N分别是棱BC，A1B1上的点，且A．34 B．23 C．12【变式62】（2023下·天津武清·高一校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面A．2,52 B．324,【变式63】（2023·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱ABC−A′B′C′中，ΔABC为边长为2的等边三角形，AA′=4，点E、F、G、H、M分别是边AA′、AB、BB′、A′B′、A．4 B．23 C．2π D．【题型7面面平行性质定理的应用】【例7】（2023·高一课时练习）如图，已知平面α//平面β，点P为α，β外一点，直线PB，PD分别与α，β相交于A，B和C，D，则AC与BD的位置关系为（

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面【变式71】（2023下·高一课时练习）如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，DEEB=1

A．12 B．13 C．23【变式72】（2023下·江苏无锡·高一锡东高中校考期中）如图，在多面体ABC−DEFG中，平面ABC//平面DEFG,EF//DG，且AB=DE,DG=2EF，则()A．BF//平面ACGD B．CF//平面ABEDC．BC//FG D．平面ABED//平面CGF【变式73】（2023·全国·高一专题练习）如图，平面α/平面β，A，C是α内不同的两点，B，D是内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列所有正确判断的编号是（

①当AB，CD共面时，直线AC//BD②当AB=2CD时，E，③当AB，CD是异面直线时，直线EF一定与α平行④可能存在直线EF与α垂直A．①③ B．②④ C．①② D．③④【题型8平行问题的综合应用】【例8】（2023下·全国·高一期中）如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的中点.

(1)求证：MN//平面PAD(2)设平面PBC∩平面PAD=