湖北省随州市广水市广才中学2025届八年级数学第二学期期末综合测试试题含解析

湖北省随州市广水市广才中学2025届八年级数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．某市招聘老师的笔试和面试的成绩均按百分制计，并且分别按40%和60%来计算综合成绩．王老师本次招聘考试的笔试成绩为90分，面试成绩为85分，经计算他的综合成绩是（）A．85分 B．87分 C．87.5分 D．90分2．函数的自变量的取值范围是()A． B． C． D．3．平面直角坐标系中，将直线l向右平移1个单位长度得到的直线解析式是y=2x+2，则原来的直线解析式是()A．y=3x+2B．y=2x+4C．y=2x+1D．y=2x+34．如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，添加下列条件后，能使▱ABCD成为矩形的是（）A．AB=AD B．AC=BD C．BD平分∠ABC D．AC⊥BD5．已知a＞b，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（）A．a-c＞b-c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．ac＜bc6．2018年一季度，华为某销公营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程()A．2x=22%+30% B．1+xC．1+2x=1+22%1+30%7．下列四边形中是轴对称图形的个数是()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．在RtABC中，∠C90，AB3，AC2,则BC的值（）A． B． C． D．9．下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（

）．A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形10．已知函数y1＝和y2＝ax+5的图象相交于A（1，n），B（n，1）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x≠1 B．0＜x＜1 C．1＜x＜4 D．0＜x＜1或x＞411．下列说法中正确的是（）A．在△ABC中，AB2+BC2＝AC2B．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB2+BC2＝AC2D．AB、BC、AC是△ABC的三边，若AB2+BC2＝AC2，则△ABC是直角三角形12．如图，在矩形中，对角线相交于点，且，则图中长度为3的线段有（）A．2条 B．4条 C．5条 D．6条二、填空题（每题4分，共24分）13．在反比例函数的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．14．如图，以正方形ABCD的BC边向外作正六边形BEFGHC，则∠ABE＝___________度．15．如图，梯形中，，点分别是的中点.已知两底之差是6，两腰之和是12，则的周长是____.16．若函数y=（a-3）x|a|-2+2a+1是一次函数，则a=．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1．作一边的垂直平分线交另一边于点D，则CD的长是______．18．如图，在四边形中，，，，，且，则______度.三、解答题（共78分）19．（8分）（题文）如图，四边形ABCD中，AB//CD，AC平分∠BAD，CE//AD交AB于E.求证：四边形AECD是菱形.20．（8分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．21．（8分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．班级平均分方差中位数众数合格率优秀率一班2.11792.5%20%二班6.854.28810%根据图表信息，回答问题：（1）直接写出表中，，，的值；（2）用方差推断，班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，班的阅读水平更好些；（3）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些。你认为谁的推断比较科学合理，更客观些，为什么？22．（10分）因式分解（1）；（2）．23．（10分）如图①，已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连接PQ、DQ、CQ、BQ，设AP＝x．（1）BQ＋DQ的最小值是_______，此时x的值是_______；（2）如图②，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD＝90°．①求证：点E是CD的中点；②求x的值．（3）若点P是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值．24．（10分）“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙，学校计划分阶段引导学生读这些书，计划先购买《论语》和《孟子》供学生使用，已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元.（1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少？（2）学校准备一次性购买这两种书本，但总费用不超过元，那么这所学校最多购买多少本《论语》？25．（12分）如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．（1）请补全下表：30°45°60°90°120°135°150°S1（2）填空：由（1）可以发现正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把菱形的面积S记为S(α)．例如：当α＝30°时，；当α＝135°时，．由上表可以得到(______°)；(______°)，…，由此可以归纳出．（3）两块相同的等腰直角三角板按如图的方式放置，AD＝，∠AOB＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．26．关于的方程,其中分别是的三边长.(1)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；(2)若为等边三角形，试求出这个方程的解.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】

根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．【详解】解：王老师的综合成绩为：90×40%+85×60%=87（分），

故选：B．【点睛】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．2、C【解析】

根据分母不为零分式有意义，可得答案．【详解】解：由题意，得

2019-x≠0，

解得x≠2019，

故选：C．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．3、B【解析】在直线上取一点（-1，0），向左平移一个单位后坐标为（-2，0），设平移前的直线解析式为：y=2x+b，把（-2，0）带入，得b=4，所以y=2x+4，故选：B.点睛：此题考查了图形的平移与函数解析式之间的关系.在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上点的平移相同.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系.4、B【解析】

根据矩形的判定方法逐一进行分析即可.【详解】A.若添加AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD为菱形，故不符合题意；B.若添加AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判断四边形ABCD是矩形，故符合题意；C.若添加BD平分∠ABC，则有∠ABD=∠DBC，∵平行四边形ABCD中，AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠DBC=∠CDB，∴BC=DC，∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意；D.若添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD是菱形，故不符合题意，故选B.【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关的判定定理是解题的关键.5、A【解析】

根据不等式的性质，应用排除法分别将各选项分析求解即可求得答案.【详解】A、∵a＞b，c是任意实数，∴a-c＞b-c，故本选项正确；B、∵a＞b，c是任意实数，∴a+c＞b+c，故本选项错误；C、当a＞b，c＜0时，ac＞bc，而此题c是任意实数，故本选项错误；D、当a＞b，c＞0时，ac＜bc，而此题c是任意实数，故本选项错误．故选A.6、D【解析】

利用两种方法算出2019年第一季度的收入，因所得结果是一致的，进而得出等式即可．【详解】解：如果2017年第一季度收入为a，则根据题意2019年第一季度的收入为：a（1+22%）（1+30%），设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，根据题意又可得2019年第一季度收入为：a1+x2，此a（1+22%）（1+30%）=a1+x2，即故选择：D.【点睛】此题主要考查了根据实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．7、B【解析】

根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可.【详解】平行四边形不是轴对称图形，故不符合题意；矩形是轴对称图形，故符合题意；菱形是轴对称图形，故符合题意；正方形是轴对称图形，故符合题意，所以是轴对称图形的个数是3个，故选B.【点睛】本题考查了轴对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.8、A【解析】

根据勾股定理即可求出.【详解】由勾股定理得，.故选.【点睛】本题考查的是勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.9、D【解析】试题分析：根据中心对称图形与轴对称图形的概念依次分析即可．正方形、菱形、矩形均既是轴对称图形又是中心对称图形，平行四边形只是中心对称图形，故选D.考点：本题考查的是中心对称图形与轴对称图形点评：解答本题的关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．10、D【解析】

根据对称性确定直线AB的解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题.【详解】解：如图：∵A、B关于直线y=x对称，∴AB⊥直线y=x，∴直线AB的解析式为y=-x+5，∴A（1，4），B（4，1），当y1>y2时，x的取值范围是0<x<1或x>4，故选：D.【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.11、D【解析】

根据勾股定理即可解答【详解】A、在△ABC中，不一定能够得到AB2+BC2＝AC2，故选项错误；B、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故选项错误；C、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故选项错误；D、AB、BC、AC是△ABC的三边，若AB2+BC2＝AC2，则△ABC是直角三角形，故选项正确．故选：D．【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于掌握勾股定理的内容12、D【解析】

矩形的对角线相等且平分，所以，由题中条件可得是等边三角形，可知.【详解】解：四边形ABCD是矩形又是等边三角形所以图中长度为3的线段有OA、OB、OC、OD、BC、AD,共6条.故答案为D【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，有一个角是的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等，灵活运用矩形及等边三角形的性质求线段长是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、m＞1．【解析】

根据反比例函数的性质得到m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：∵在反比例函数y＝的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小，

∴m-1＞0，

∴m＞1．

故答案为m＞1．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了反比例函数的性质．14、1【解析】

分别求出正方形ABCD的内角∠ABC和正六边形BEFGHC的内角∠CBE的度数，进一步即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵六边形BEFGHC是正六边形，∴∠CBE=，∴∠ABE=360°－(∠ABC+∠CBE)=360°－(90°+120°)=1°．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角问题，属于基础题型，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．15、1.【解析】

延长EF交BC于点H，可知EF，FH，FG、EG分别为△BDC、△ABC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案．【详解】连接AE，并延长交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．∴BE=DE，在△AEB和△KED中，，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，∴EF=CK=（DC-DK）=（DC-AB），∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC，又FG为△ACD的中位线，∴FG=AD，∴EG+GF=（AD+BC），∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即DC-AB=6，∴EG+GF=6，FE=3，∴△EFG的周长是6+3=1．故答案为：1．【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．16、-1．【解析】

∵函数y=（a-1）x|a|-2+2a+1是一次函数，∴a=±1，又∵a≠1，∴a=-1．17、或【解析】

分两种情况：①当作斜边AB的垂直平分线PQ，与BC交于点D时，连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；②当作直角边的垂直平分线PQ，与斜边AB交于点D时，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线性质求得CD．【详解】解：当作斜边AB的垂直平分线PQ，与BC交于点D时，连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（1-x）2，解得x=，∴CD=BC-DB=1-=；当作直角边的垂直平分线PQ或P′Q′，都与斜边AB交于点D时，连接CD，则D是AB的中点，∴CD=AB=，综上可知，CD=或．故答案为：或．【点睛】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．18、1【解析】

根据勾股定理可得AC的长度，再利用勾股定理逆定理可证明∠DAC=90°，进而可得∠BAD的度数．【详解】∵AB=2，BC=2，∠ABC=90°，∴AC=,，∠BAC=45°，

∵12+（2）2=32，

∴∠DAC=90°，

∴∠BAD=90°+45°=1°，

故答案是：1．【点睛】考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．三、解答题（共78分）19、证明见解析.【解析】证明：∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=∠DAC，∴AD=DC，∴四边形AECD是菱形．20、(1)见解析;(2)见解析.【解析】

（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．【详解】（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，又∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE（SAS），∴DF＝AE，又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF；（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝AD＝AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用．21、（1）；（2）二；一；（3）乙，理由见解析．【解析】

（1）求出一班的成绩总和除以人数即可得出一班的平均分；观察图即可得出一班众数；把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，即可得到二班的中位数；用二班合格的人数除以二班总人数即可得到二班的合格率；（2）利用方差、优秀率、合格率的意义下结论即可；（3）从平均数、众数、中位数对整体数据影响的情况考虑分析即可．【详解】解：（1）通过观察图中数据可得：；；二班共有：人，∵图中数据已经按照从小到大的顺序排列，∴中位数为20、21的平均数，即：；二班合格的人数有：人，总人数为40人，∴，故答案为：；（2）一班方差为：2.11，二班方差为4.28，∴二班的成绩波动较大，一班优秀率为20%，合格率为92.5%，二班的优秀率为10%，合格率为85%，∴一班的阅读水平更好些；故答案为：二；一；（3）乙同学的说法较合理，平均分受极端值的影响，众数、中位数则是反映一组数据的集中趋势和平均水平，因此用众数和中位数进行分析要更加客观，二班的众数和中位数都比一班的要好，因此乙同学推断比较科学合理，更客观．【点睛】本题考查了众数、中位数、方差的意义及各个统计量反映数据的特征，准确把握各个统计量的意义是解决此类题目的关键．22、（1）；（2）【解析】

(1)首先找出公因式，进而利用平方差公式分解因式即可；

(2)利用完全平方公式分解因式即可.【详解】解：（1）=2m(m2-4)=;（2）=【点睛】此题主要考查了提公因式法以及公式法进行分解因式，正确找出公因式是解题关键．23、（1），;(3)①理由详见解析；②;(3)3﹣或或3+．【解析】试题分析：(1)根据两点之间,线段最短可知,点Q在线段BD上时BQ＋DQ的值最小,是BD的长度,利用勾股定理即可求出;再根据△PDQ是等腰直角三角形求出x的值;(3)①由对称可知AB=BQ=BC,因此∠BCQ=∠BQC.根据∠BQE=∠BCE=90°,可知∠EQC=∠ECQ,从而EQ=EC.再根据∠CQD=90°可得∠DQE+∠CQE=90°,∠QCE+∠QDE=90°,而∠EQC=∠ECQ,所以∠QDE=∠DQE，从而EQ=ED.易得点E是CD的中点；②在Rt△PDE中，PE=PQ+QE=x+，PD=1﹣x，PQ=x，根据勾股定理即可求出x的值.(3)△CDQ为等腰三角形分两种情况:①CD为腰,以点C为圆心,以CD的长为半径画弧,两弧交点即为使得△CDQ为等腰三角形的Q点;②CD为底边时,作CD的垂直平分线,与的交点即为△CDQ为等腰三角形的Q点,则共有3个Q点,那么也共有3个P点,作辅助线,利用直角三角形的性质求之即得.试题解析：（1），．（3）①证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠BCD=90°．∵Q点为A点关于BP的对称点，∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，∴∠BQC=∠BCQ，∴∠EQC=∠EQB﹣∠CQB=∠ECB﹣∠QCB=∠ECQ，∴EQ=EC．在Rt△QDC中，∵∠QDE=90°﹣∠QCE，∠DQE=90°﹣∠EQC，∴∠QDE=∠DQE，∴EQ=ED，∴CE=EQ=ED，即E为CD的中点．②∵AP=x，AD=1，∴PD=1﹣x，PQ=x，CD=1．在Rt△DQC中，∵E为CD的中点，∴DE=QE=CE=，∴PE=PQ+QE=x+，∴，解得x=．（3）△CDQ为等腰三角形时x的值为3-，，3+．如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3．此时△CDQ1，△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形．作CD的垂直平分线交弧AC于点Q3，此时△CDQ3以CD为底的等腰三形．以下对此Q1，Q3，Q3．分别讨论各自的P点，并求AP的值．讨论Q₁:如图作辅助线，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为1，∴，．在四边形ABPQ1中，∵∠ABQ1=30°，∴∠APQ1=150°，∴△PEQ1为含30°的直角三角形，∴PE=．∵AE=，∴x=AP=AE-PE=3-．②讨论Q3，如图作辅助线，连接BQ3，AQ3，过点Q3作PG⊥BQ3，交AD于P，连接BP，过点Q3作EF⊥CD于E，交AB于F．∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AQ3=BQ3．∵AB=BQ3，∴△ABQ3为等边三角形．在四边形ABQP中，∵∠BAD=∠BQP=90°,∠ABQ₂=60°,∴∠APE=130°∴∠EQ3G=∠DPG=180°-130°=60°，∴，∴EG=，∴DG=DE+GE=-1，∴PD=1-，∴x=AP=1-PD=．③对Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合．∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC=1，∴，，∴．在四边形ABQ3P中∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，∴∠EPF=30°，∴EP=,EF=．∵AE=，∴x=AP=AE+PE=+3．综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为3﹣，，3+．考点：⒈四边形综合题;⒉正方形的性质;⒊等腰三角形的性质.24、（1）《孟子》的单价为25元/本，《论语》单价为40元/本；（2）最多购买12本.【解析】

（1）本题中有两个相等关系：《孟子》的单价=《论语》的单价－15元，用500元购买《孟子》的数量=用800元购买《论语》的数量；据此设未知数列出分式方程，再解方程即可；（2）设购买《论语》本，据题意列出关于a的不等式，求出不等式的解集后，再取解集中的最大整数即可.【详解】解：（1）设《孟子》的单价为元/本，则《论语》单价为元/本