现代控制理论(第3版) 课后答案

现代控制理论第3版课后全部答案

第一章答案

1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下：

系统的状态方程如下：

令0(s)=y,则y=X]

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

1-2有电路如图1-28所示。以电压〃«)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2

上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令=司,，2输出量y=此々

/?内+M+X3=〃

有电路原理可知：L既得

2X2+R2X2=X3

X]=x2+Cx3

写成矢量矩阵形式为：

1-4两输入人，两输出乃，力的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示：

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令％]=y,x2=y9x3=y,则有

相应的模拟结构图如下：

1-6(2)已知系统传递函数W(s)=6：+J)之，试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图

1()1

W(s)=—6($+”,-43

解:_।3+-----+3

s(s+2)(s+3产(s+3)~5+3s+2

1-7给定下列状态空间表达式

y=[()0\x2

(I)画比其模拟结构图

(2)求系统的传递函数

解：

s-10

(2)W(s)=(s/-A)=25+30

1-1s+3

1-8求下列矩阵的特征矢量

-01o-

(3)4=302

-12-7-6

4-10

解：A的特征方程|2/-A|=-3A—2=才+6矛+114+6=0

1274+6

解之得：A1=-UA2=-2^=-3

0

当4二一1时，3

-12

解得：/%=P3nl令为=1得

（或令二一1,得片

0

当4二一2时,3

-12

P122

解得：〃22=-2p12，〃32=g〃l2令〃12=2

得P?=P12=-4

〃32__1.

(或令pl2=1»得g

0

当％=-3时,3

-12

解得：〃23二一383，〃33=3化3令PlG得

1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）

M120

2-4-12

解：A的特征方程|2/-A|=-14-2=(2-l)U-3)2=0

-11A-3

41

当4=3时，1（）

1-1

解之得p2i=PM=P11令P”=1得

■41-2Pu~PiT

当4=3时，102P21=3P214-1

1-13__Py\.A.1

解之得Pl2=P22+L〃22=。32令P12=1得

4

当々-1时,1

1

解之得〃13=°，〃23=2〃33令由3=1得

约旦标准型

1-10已知两系统的传递函数分别为W|⑸和W2（s）

试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵,并讨论所得结果

解：（1）串联联结

（2）并联联结

1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

求系统的闭环传递函数

解：

1-11（第2版教材）己知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

求系统的闭环传递函数

解：

1-12已知差分方程为

试将其川离散状态空间表达式表示，并使融动函数u的系数b（即控制列阵）为

1

(I)b=

1

解法I:

解法2：

求T,使得广5=।得L=所以

01

所以，状态空间表达式为

第二章习题答案

2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数e*。

1n

(2)A二

[41J

解：第一种方法:令同一4=0

/I—1—1

则,即(4_1)2_4=0。

-42-1

求解得到4=3,4=-1

当4=3时，特征矢量P1=

由AP|=/P],得:1P"=:P"

L413P2]

川J〃n+〃2i=3purr

即Lc，可令Pi=八

4p”+P2i=3〃21_2_

当4二-1时，特征矢量“2=

…小

12一〃12

由4〃2=4〃2，得=

1022~P12

P\2^P22=~Pn1

即《，可令〃2=

4巧2+〃22=一〃22-2

11厂1=24

则7=

2-2_

,2~4

第二种方法，即拉氏反变换法：

第三种方法.即凯莱一哈密顿定理

由第一种方法可知4=3,4=-1

2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与方对应的A阵。

-/+*)

4二十力

(3)o(r)=(4)①(。=

/十叫

2

10

解：(3)因为0)(0)==/,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

01

10

(4)因为①(())==/,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

01

2-6求下列状态空间表达式的解:

初始状态x(°)=；

，输入时单位阶跃函数。

01

解：4=

00

0

因为B=

%和〃2为分段常数。

解：将此图化成模拟结构图

列出状态方程

则离散时间状态空间表达式为

由G(T)=不和”(T)=力3得:

/0

当T=1时+1)=x(%)+

l-e_,1ke~l-1

第三章习题

3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取

值条件如何?

解：由图可得:

状态空间表达式为:

由于修、工3、匕与〃无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与.有关，因而系统为不完全

能观的，为不能观系统。

(3)系统如下式:

解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行

元素不能为0，故有。工0,人工0。

要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有cwo,"wo。

3-2时不变系统

试用两种方法判别其能控性和能观性。

解：方法一：

方法二：将系统化为约旦标准形。

11

--

2

TT21

1-

--

22

T"B中有今为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。

3.3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数％和力

解：构造能控阵：

要使系统完全能控，则%，即%+1工。

构造能观阵：

要使系统完全能观，则，即4-%+1，。

3-4设系统的传递函数是

（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？

（2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。

（3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。

）心）_s+a

解：（1）方法1：卬⑸二

〃(s)(s+l)(s+3)(s+6)

系统能控且能观的条件为W（s）没有零极点对消。因此当a=l,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

方法2：

系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=l,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

（2）当a=l,a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型

（3）根据对偶原理，当a=l,a=2或a=4时，系统的能观标准H型为

3-6已知系统的微分方程为：y+611y+6y=6u

试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。

解：aQ=6,a,=11,a2—6»c73=3>%=6

系统的状态空间表达式为

传递函数为

其对偶系统的状态空间表达式为：

传递函数为W（s）=-------------

53-652-115+6

3-9已知系统的传递函数为

试求其能控标准型和能观标准型。

s2+6s+82s+5

解:W(s)==1+

1+4s+3/+4s+3

系统的能控标准I型为

能观标准n型为

3-10给定不列状态空间方程,试判别具是否变换为能控和能观标准型。

01

解：4=-2-3C=[001]

-11

3-11试将下列系统按能控性进行分解

2

(1)4=01-11]

0-4

解:

0-4

M=\bAbA2/7]=000rankM=2<3,系统不是完全能控的。

139

0

构造奇异变换阵4：%=b=0其中&是任意的，只要满足（满秩。

1

0-1030

即Rt=001得RT=-10

I3001

3-12试将下列系统按能观性进行结构分解

12-I0

(1)0I0,b=0,C=[1-11]

0-43

12-1

解:由已知得4=0101]

0-43

C1-11

则有N=CA2-32

CA24-74

rankN=2<3,该系统不能观

1-11

构造非奇异变换矩阵有发；2-32

001

3-1-1

则凡广2-10

001

3.13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解

10

(1)A=2212]

-20

1

解：由已知得知=「人AbAb2=21226

一70-2

rankM=3,则系统能控

rankN=3,则系统能观

所以此系统为能控并且能观系统

1

-7

4-

一11-4

1

21

则

取=瑶=-

102I262

2-53

1

-

-4

I-24

0021

则回

10-5,B=T；；b=0,c=cle2=[71323]

0140

3-14求下列传递函数阵的最小实现。

111

(1)w(s)=

7+Tii

1-10

解:%=1，B（）=A=

110-1

101100

B<.=»C=

01c1100

系统能控不能观

取R-]=，则%=

010

-1011

所以X=XiA&二，月=综区=

0-101

-1000

C=CR=[,D=

000

1A

B,n=[111,Cm=00

所以最小实现为4=i,，a=

wLJ”[00

验证：瓦\\=卬6)

•JI111

3-15设Z利％是两个能控且能观的系统

(1)试分析由2和7所组成的串联系统的能控性和能观性，弃写出其传递函数;

(2)试分析由乙和7所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。

解:

(1)Z和7串联

当之的输出,是％的输入〃2时，刍二

0

x=-3y=[001卜

2

则rankM=2<3,所以系统不完全能控。

当％得输出为是%的输入/时

01

x=-3—4产[210]x

00

001

因为M=[Z?AbA%]=01-6

1-2-4

rankM=3则系统能控

c210

因为N=cA-3-21

“2654

rankN=2<3则系统不能观

(2)%和％并联

01

-3-4V=[21心

00

因为rankM=3,所以系统完全能控

因为rankN=3,所以系统完全能观

现代控制理论第四章习题答案

4-1判断下列二次型函数的符号性质:

(1)Q{x)=一x；-3x；-1lx；+2X1X2-x2x3-2%与

(2)V(x)=X；++X；-2中2-6/刍-2中3

解：(1)由已知得

1

A,=-l<0,A=2>0,1

2~27<°

-11

2

因此。（x）是负定的

（2）由已知得

-1-1

-1

A)=1>0,A=3>0,△4-3=-16<0

24

-31

因此Q。）不是正定的

4-2已知二阶系统的状态方程:

试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。

解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。

即:

有解，旦解具有负实部。

aa

&P：qI+a22<0且q【a”>\i2\

方法（2）：系统的原点平衡状态七=0为大范围渐近稳定，等价于A7P+P4=-。。

匕片2

取。=/,令夕二，则带入TP+P4=-Q,得到

片2^22

2%0

若

%a2]=4（an+。22）（%〃22一。12。21），则此方程组有唯一解。即

02a2。

其中detA=同=4

要求P正定，则要求

因此a“十。22<。，且detA>0

4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。

-1

(1)x=x

2

(2)x=x

解：（1）系统唯一的平衡状态是七=0。选取Lyapunov函数为=>0,则

V*）是负定的。8,有VQ）-8。即系统在原点处大范围渐近稳定。

(2)系统唯一的平衡状态是七=0。选取Lyapunov函数为V*)=x；+x；>0,则

0")是负定的。国f8,有VO)-8。即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-6设非线性系统状态方程为：

试确定平衡状态的稳定性。

解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：

取P=/

很明显，Q(x)的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为V(x)=x；+旺>0,则

句幻是负定的。||x||->oo,有V(x)-8。即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-9设非线性方程：

试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。

解：(1)采用克拉索夫斯基法，依题意有：

N-8，有V(X)->8。

取用/

则。⑴』°,一"3汇］，根据希尔维斯特判据，有：

_-l+3x,22

A,=0,A.=°,3片一1=(31;_1)2〉0,Q(x)的符号无法判断。

一1+3占2

(2)李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为丫(入-)=］司4+；尺>0，则

自幻是负定的。忖|f8,有V*)-8。即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数

解：假设V。)的梯度为：

计算V。)的导数为：

选择参数，试选旬=%=1,%=%=°，于是得:

vv=fx,L显然满足旋度方程>=>，即如=强=0,表明上述选择的参数是允许的。则有：

cv2oxyox2ox］

如果1-2中2>0图w<；，则O(x)是负定的，因此，X&是不和莅的约束条件。

计算得到V。)为：

V*)是正定的，因此在1-2XR>0即玉工2<K范围内，工=0是渐进稳定的。

4

现代控制理论第五章习题答案

5-1已知系统状态方程为:

试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1,-2,-3。

解：依题意有：

-01「

M=[bAhA2h'\=012rankM=3,系统能控。

112

系统Zo=（A,Z?,C）的特征多项式为：

-010][0-

则将系统写成能控标准I型，则有元=001x+0

-1-231

引入状态反馈后，系统的状态方程为：x=（A+bK）x+buf其中K为1x3矩阵，设长=[匕k、k2],则系统

ZK=（A〃K。的特征多项式为：

根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：

比较/（%）与/“（⑷各对应项系数，可解得：k°=-5k、=—9刈=-9,则有：K=[5-9-9]o

5-3有系统：

（1）画加模拟结构图。

（2）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？

（3）若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵。

解（1）系统模拟结构图如下：

（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统Zo=（A〃，C）完全能控。

对于系统Zo=（A〃,C）有:

rankM=2f系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。

（3）系统Zo=（A〃，C）的特征多项式为:

010

则将系统写成能控标准I型，则有x=x+

-2-31

引入状态反馈后，系统的状态方程为：x=（A+bK）x+bu,设