现代控制理论知识点

第一章控制系统的状态空间表达式

1.状态空间表达式

x=AJC+Bu

n阶w:rx1y:/??x1A:nxnB:nxrC:mxnD:mxr

y=Cx+Du

A称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；B为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状

态变量的作用情况；C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，D直接传递矩阵，表

示输入对输出的直接传递关系。

2.状态空间描述的特点

①考虑了“输入一状态一输出”这一过程,它揭示了问题的本质.即输入引起了状态的变化.而

状态决定了输出。

②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。

④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤:a选择状态变量;b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组;

c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。

3.模拟结构图（积分器加法器比例器）

己知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在

适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的

加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

4.状态空间表达式的建立

①由系统框图建立状态空间表达式：a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构

图；b每个积

分器的输出选作七，输入则为c由模拟图写出状态方程和输出方程。

②由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容_L的电压和电感_L的电流

作为状态变量。

利用KVL和KCL列微分方程，整理。

③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即

实现问题。实现是非唯一的。

方法：微分方程f系统函数-模拟结构图f状态空词表达式。熟练使用梅森公式。

注意：a如果系统函数分子某次等于分母鼎次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。

b模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28

c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。

5.状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式

的系数也是系统的不变量。

特征矢量P,的求解：也就是求（Ai/-A）x=O的非零解。

状态空间表达式变换为约旦标准型（A为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时,

各特征矢量按列排。b有重根时，设3阶系统，4=4，4为单根，对特征矢量〃-P?求法与

前面相同，〃2称作儿的广义特征矢量，应满足（4/—A）p2=-乃。

系统的并联实现：特征根互异：有重根。方法：系统函数7部分分式展开f模拟结构图f

状态空间表达式。

6.由状态空间表达式求传递函数阵W(s)

W(s)=C(sl-AY]+B+Dmxr的矩阵函数[%]W"表示第j个输入对第i个输出的传

递关系。

状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵W(s)是不变的。

子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递困数阵W(s)。方法：画出系统

结构图，理清关系，用分块矩阵表示。

7.离散系统的状态空间表达式及实现(模拟结构图)

x(k+1)=Gx(k)+Hu

y(k)=Cx(k)+Du

8.时变系统：四个矩阵是时间t有关的。

非线性系统：各微分方程组的右端含有状态变量的非线性项。利用泰勒级数可以线性化。

第二章控制系统状态空间表达式的解

A,

一.线性定常系统齐次状态方程(比=40的解：x(t)=ex0

二.矩阵指数函数一一状态转移矩阵

1.。“)二«"表示尺0)到1«)的转移。5个基本性质。

2.的计算：

a定义；b变换为约旦标准型A(nJcJ)=AT,=Tex,T-}^JeJ,T-}

c用拉氏反变换e"=Z/[(s/-A)”]记忆常用的拉氏变换对

c1/\ii/、11-at1ti〃！-af1•①S

d(r)—l;l(r)<->-;r<->----\t——-\te—------7；sincot<->—-----;cos<yr——----

ss~s+as(s+〃)-s~4-6W~s-+co

d应用凯莱-哈密顿定理

三.线性定常系统非齐次方程(土=4x+的解.：MO=0(7)x(0)+1，(，-r)8〃(w)dr。

可由拉氏变换法证明(当然给出拉氏变换法的求解思路)。求解步骤：先求。“)二，"，然后将B

和u⑴代入公式即可。特殊激励下的解。

四.线性时变系统的解

1.状态转移矩阵用。Q/o)来表示。

2.0(fJo)的计算：当4彳)4万=4万必力(，)时，^(r,r0)=exp[£A(r)i/r]；

通常不等。不满足乘法可交换条件时，一般采用级数近似法：

阿,/0)=I+£A(r)6/r+£A(r0)£^(r,

3.解为：x(t)=^(r,r0)x(f0)+£^(r,r)B(r)w(r)Jr

五.离散时间系统状态方程的解(递推法和Z变换法)

1.递推法

楸)=Gk为状态转移矩阵；满足处+1)=G(Kk)4(0)=1

AT*-i

解为，x(k)=0(幻x(0)+£。(左一j一l)H〃(j)d域x(k)=0(Z)x(O)+工。(k-j-1)Hu(j)clr

j-0y-0

直接计算。伏)=G上有•定困难，可采用这样的步骤：先将原状态方程化为约旦标准型，求变换

矩阵T,x(k)=7x(k),再求出T(Z),再得到x(k)。当然3(左)=A3楸)=Gk=T$(k)T-'。

2.Z变换法公式不用记忆，现推最好。

x⑹=Z-'KzZ-G)-'zr(0)]+Z-l[(zl-G)-lHu(z)]；可见。(幻=Gk=Z"[(z/—G『zj;

计算x(幻的用到的内容：部分分式展开(先除Z后乘z);ZT对储"一J—r=—；/：＞()

azz-a

六.连续时间状态空间表达式的离散化

1.定常系统的离散化

x=Av+Bux(k+1)=G(T)x(k)+H(T)u(k)

a.G(T)=eAT

y=Cx+Duy(k)=Cx(k)+Du(k)

x《k+1)7)=(TA+l)x(kT)+TBu(kT)

b.近似离散化即G(T)=TA+I;H(T)"B

y(k)=Cx(k)+Du(k)

2.时变系统的离散化略

第三章线性控制系统的能控性和能观性

一.能控性及能观性定义(线性连续定常、时变系统，离散时间系统)

二.线性定常系统的能控性判别(具有一般系统矩阵的多输入系统)

判别方法(一)：通过线性变换x=Ax^Bu-^z=T-]ATz-^T-]Bu

1.若A的特征值互异，线性变换(x=Z)为对角线标准型，\=T-]AT,能控性充要条件:

778没有全为0的行。变换矩阵T的求法。

2.若A的特征值有相同的，线性变换(x=7z)为约当标准型，J=T~lAT,能控性充要条

件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的中最后一行元素没有全为0的。②

丁"8中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为0的。变换矩阵T的求法。

这种方法要求先计算出状态转移矩阵，如果无法写成闭解，则失去工程意义。

2.使用A«)即)信息

Qc(0=(B.(0,B式0…,Bn(0)，其中用(0=B⑴,B«)=一4。3“⑺+$7⑴

如果存在某个时刻。〉0,使得用〃封2(。)=〃，则系统在。上是状态完全能控的。

3.能观性判别与能控性类似，也可以使用格拉姆矩阵叱,仇,。)，但工作量太大。可使用

««)、

A(t)C")信息：R(t)=02，),其中C1Q)=CQ),B,(/)=A(/)C,

如果存在某个时刻0>0,使得，〃成R(o)=〃，则系统在［0,。］上是状态完全能观测的。

六.能控性与能观性的对偶原理

1.若4=A：,B?=C：,C2=,则£］(A，B］,CJ与ZIA?,层,。?)对偶。

对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。

2.%与二对偶，则z能控性等价于［能观性，％能观性等价于1能控性。

时变系统的对偶原理？？？？

七.能控标准型和能观标准型

对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较

方便。

1.能控标准I型(如果已知系统的状态空间表达式)

①判别系统的能控性。②计算.特征多项式|加一A|=/l"+%_|下1+…4伉+劭，即可写出彳。

P1"

③求变换矩阵〃=P\A，PI=。0,…J］也M，…人237。④求计算

-0-

01

b=T：b=.,c=cTci,也可以验证是否有A=7；JAT；」。

*

2.能控标准口型

①判别系统的能控性。②计算特征多项式|"一4|二万+%_“"+…即可写出

鼠

③求变换矩阵&=g，4,…，41句。④求刀J，计算5=，2»=:，5=c7；2,也可以

*

0

验证是否有彳=7；2一乂〃。

3.能观标准I型

①判别系统的能观性。②计算特征多项式I幻一A1=*++…a/+g,即可写出了。

c

③求变换矩阵，/=?。④求配,计算B=7；「%，c=cToi=[10…0],也可以

“2

验证是否有Z=7；jA7；心

4.能观标准n型

①判别系统的能观性。②计算特征多项式|4/一A|=/r+%_0I+…。候+g,即可写出A。

③求变换矩阵&=h，A7p…,4-(],计算石="/%，

c=cT{n=[00…1],也可以验证是否有不二刀；]?；?。

5.如果己知传递函数阵，可直接写出能控标准I型和能观标准II型的状态空间表达。

0n-\S"7+戊.2/"+…+’[S+A

W(s)=

s"।+a〃_]S"i+a,i-2s，＞2T-----卜qs+〃o

010•••0o-

00100

能控标准I型：A=••・・・•b=•C=10o4…A-11

000•••10

_-«0~a\~a2…一a„-\一_1_

-

■()0…0-a--

QA)

100—6Z)A

•*

能观标准II型：A=01­••0-a2b=c=[00…1]

・・*・・・*A,-2

00…1一%人A,-._

A.线性系统的结构分解

1.按能控性分解(状态不完全能控，即=通过非奇异变换女二&£完成。

&：=（&R?…Rni…&）,前勺个列矢量是M中〃।个线性无关的列，其他列矢量保

证均非奇异的条件下是任意的。

2.按能观性分解（状态不完全能观，&|JrankN=//,<n）,通过非奇异变换犬=R/完成。

/f

段

R；

V=:，前多个行矢量是N中多个线性无关的行，其他行矢量保证《「非奇异的条件卜

是任意的。

3.按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐,

但直观。

步骤：①首先按能控性分解（xc能控状态，5不能控状态）。②对不能控子系统按能观性分解（

不能控能观状态，x所不能控不能观状态）。③将能控子系统按能观性分解（超。能控能观状态，工而

能控不能观状态）。④综合各步变换结果，写出最后的表达式。

另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。

九.传递函数阵的实现问题

1.实现的定义：由W（s）写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问

题。

条件：①传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；②元是s的真有理分式。

注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵o=]imW"）。

2.能控标准型和能观标准型实现

单入单出系统，W（s）是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能

观标准2型实现。

多输入多输出系统，W（s）是矩阵，将W（s）整理成和单入单出系统传递函数相类似的形式，

即w（s）=：；—外+反；此时的4B、…A』是"?X，.维常数

S+*_]S++…+。[5+《）

阵。其能控标准型和能观标准型实现与单入单出系统类似，只是各矩阵中的0变为全零矩阵，1

变为单位矩阵I,常数变为常数乘单位矩阵，即-旬一―斯/。注意：能控标准型实现的维数是

nxr；能观标准型实现的维数是

3.最小实现（维数最小的实现）

x=Ax+Bu

「为W(s)最小实现的充要条件是E(AB,C)是完全能控能观的。

y=Cx

步骤：对给定的W(s),初选一种实现(能控标准型或能观标准型)，假设选能控标准型，判断是

否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现：否则进行能观性分解，进一步找出能控能观部分,

即为最小实现。

注意：传递函数阵W(s)的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。

卜.传递函数W(s)中零极点对消与能控性和能观性之间的关系

对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递函数没

有零极点对消。而对多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是最小实现的充分条件，

也就是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控能观的(pl47例3-19)。

对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底是不能控还是不能观,

还是既不能控乂不能观。

第四章稳定性与李雅普诺夫方法

一.稳定性的定义

李雅普诺夫给出r对任何系统都普遍适用的稳定性定义。

1.平衡状态

i=/*,/)为齐次状态方程。满足对所有t,都有/区J)三0成立的状态矢量x,称为系统的平

衡状态。

稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。通常只讨论坐标原点处的稳定性。

2.稳定性的几个定义

①李雅普诺夫意义下稳定，(相当于自控里的临界稳定)；②渐近稳定，(相当于自控里的稳定)；

③大范围渐近稳定，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间只有一个平衡状态；④不稳定。

二.李雅普诺夫笫一法(间接法)

1.线性定常系统的稳定判据

状态稳定性：平衡状态4=0渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有负实部。

输出稳定性：充要条件是传递函数的极点位于s的左半平面。

2.非线性系统的稳定性

线性化处理。©=A=笠，若A的所有特征值具有负实部，则原非线性系统在

平衡状态Z渐近稳定。若A的所有特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态兀

不稳定。若若A的所有特征值至少有实部为零，则稳定性不能有特征值的符号来确定。

三.李雅普诺夫第二法(直接法)借助于一个李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做出

判断。

1.预备知识

V(x)是由n维矢量x定义的标量函数，且在x=()处，恒有V(x)=0,对任何非零矢量x,

如果V(x)>0,则称之为正定；如果V(x)v0,则称之为负定：如果V(x)20则称之为半正定

或非负定；如果丫(人)SO则称之为半负定或非正定；如果丫(人)>0或Va)vO,则称之为不定。

V(x)=/口为二次型标量函数，P为实对称阵。要判别V(x)的符号只要判别P的符号即

可。

尸的定号判据(希尔维恃斯判据)：首先求出产的各阶顺序主子式△：,若所有的△,>(),则

P(V(x))正定；若，=偶数的>0,i=奇数的A,YO则P(V3))负定；

2.李雅普诺夫函数

对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数V(x),而R(x)是负定的，则这个系统

是渐近稳定的，这个标量函数V(x)叫做李雅普诺夫函数。

李雅普诺夫第二法的关健问题就是寻找李雅普诺夫函数V(x)的问题。

3.稳定性判据

①设i=/(x),平衡状态为xe=0,如果存在标量函数V(x)是正定的，即x=0时，有V(x)=0,

xw()时，有V(x)>0,且满足U(x)<0,则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当网foo时,

V(x)f8,则系统是大范围渐近稳定的。

②设尤=f(x),平衡状态为乙=0,如果存在标量函数V(.r)是正定的，即x=0时，有V(x)=0,

xwO时，有V(x)>(),且满足V(x)WO,但除x三()外，即女工()，W(x)不恒等于0,则称原

点平衡状态是渐近稳定的；如果当料|f8时，V(x)->oo,则系统是大范围渐近稳定的。

③设i=f(x),平衡状态为xe=0,如果存在标量函数V(x)是正定的，即x=0时，有V(x)=0,

时，有V(x)>0,且满足u")40,但任意的XHO,U*)恒等于0,则称原点平衡状

态是李雅普诺夫意义下稳定的。

④设i=f(x),平衡状态为xe=0,如果存在标量函数VQ)是正定的，即x=0时，有V(x)=0,

xw()时，有丫(x)>0,且满足U(x)>0,,则称原点平衡状态是不稳定的。

需要注意：①这些判据定理知识充分条件，也就是说，没有找到合适的李雅普诺夫函数来证

明原点的稳定性，不能说明原点一定是不稳定的。②如果鹏幻是可找到的，那么通常是非唯一的,

但不影响结论。③V(x)最简单的形式是二次型标量函数，但不一定都是简单的二次型。④构造

V(幻需要较多技巧。

四.李雅普诺夫方法在线性系统中的应用

1.线性定常连续系统渐近稳定判据

定理：x=若A是非奇异的，原点儿.二0是唯一的平衡点。原点大范围渐近稳定的充要条

件是对任意对称实正定矩阵0,李雅普诺夫方程A/p+PA=-。，存在唯一的对称正定解P。

该定理等价于A的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值复杂。

步骤：选定正定矩阵。，通常为代入李雅普诺夫方程，确定出P,判断是否正定，

进而做出系统渐近稳定的结论c

2.线性时变连续系统渐近稳定判据

定理：x=A(t)x,在平衡点乙=0大范围渐近稳定的充要条件是对任意对称实正定矩阵Q”)，

李雅普诺夫方程P(t)=-A(t)TPQ)--。⑺，存在唯一的对称正定解P(f)。

3.线性定常离散系统渐近稳定判据

定理：M〃+l)=Gx(口在平衡点乙=0渐近稳定的充要条件是，对任意对称实正定矩阵。，离

散李雅普诺夫方程GTpG-P=-Q,存在唯一的对称正定解P。

该定理等价于G的特征值均在单位圆内。

步骤：选定正定矩阵。，通常为Q=/，代入离散李雅普诺夫方程，确定出P,判断是否正定，

进而做出系统渐近稳定的结论。

五.非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

1.雅可比矩阵法

步骤：x=f(x),写出/(x),计算雅可比矩阵13)=更，对给定正定矩阵P(通常P=/),

ox

Q(x)=-[JU)TP+尸/0)]为正定的。并且V(x)=/『(Xi'。)为系统的一个李雅普诺夫函数。

2.变量梯度法

第五章线性定常系统的综合

综合：常规综合，使系统性能满足某种笼统指标要求；最优综合，使系统性能指标在某种意义下

达到最优。

线性反馈控制系统的基本结构及其特性

1.状态反馈将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相

加，作为受控系统的控制输入。K称为状态反馈增益阵，r设原受控系统Z°=(A8,C),

D=0o

状态反馈闭环系统的状态空间表达式"+简称

y=Cx

=(A+BK,B,C)

与原受控系统Z。=(A2C)比较，状态反馈增益阵K的引入，并不增加系统的维数，但可

以通过K的选择改变闭环系统的特征值，从而使获得所要求的性能。

2.输出反馈由输出端y引入输出反馈增益阵H(rxm),然后反馈到输入端与参考输入相

加，作为受控系统的控制输入。状态空间表达式为X=(A+BH)x+Bv简称

y=Cx

=(A+BHC,B,C)

通过H的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能，但可供选择的自由度远比K小

(通常〃？<n)o

3.从输出到状态变策导数i的反馈从输出y引入反馈增益阵G(nxm｝到状态变量的

x=(A+GC)x+Bu_

导数比，所得状态空间表达式为简称=(A+GC,仇C)

y=Cx

通过G的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能。

以上三种反馈的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环与闭环同维，其次，反馈增益阵

都是常数矩阵，反馈为线性反馈。

4.闭环系统的能控性与能观性

a状态反馈不改变受控系统二(A,8,C)的能控性，但不保证系统的能观性不变。

b输出反馈不改变受控系统Zo=(A民C)的能控性和能观性。

二.极点配置问题就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望

的位置，以获得所希望的动态性能。只讨论单输入单输出系统

1.采用状态反馈对系统Zo=(A仇C)任意配置极点的充要条件是Eo完全能控。

给定£o=(A,4c),给定期望的极点，设计状态反馈控制器的方法：

⑴能控规范型法，适合于〃23。①首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。②通过线

性变换x=化为能控标准1型，得到5=(瓦瓦为。③加入状态反馈增益矩阵

改=[廉改，…氏I],得到闭环系统5K=(X+5K,5I)状态空间表达式，求出对应的闭环特征

多项式/(2)=|〃-(W+BK)|。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式

(㈤=FIG-4：)。⑤将f⑷与/*⑷比较，即可得到匠=R,Z…。⑥把对应与手

的不，通过K=%7；J=化),匕,…⑦进一步画出模拟结构图。

⑵当阶次较低时，/?<3,可直接由反映物理系统的A,b矩阵求状态反馈增益矩阵

K=[&oM”…，匕一],不通过非奇异变换，使设计工作简单。①首先判断是否完全能控，是，则

存在状态观测器。②加入状态反馈增益矩阵K=k°,占,…，幻_/，得到闭环系统

=(A+〃K,4c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式)(㈤斗力一(A+0|。③

由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式/(田=na-V)-④将/U)与广⑷比较，

即可得到K=£),勺,…，儿/。⑤进一步画出模拟结构图。

注意，如果给定的是传递函数，则先画出其要求的模拟结构图，写出状态空间描述，然后做

其他工作。

2.采用输出反馈

不能任意极点配置，正是输出线性反馈的基本弱点。

3.采用从输出到£的反馈对系统Z。=(A,〃,c)任意配置极点的充要条件是完全能观。

设计X。从输出到上的反馈阵G的问题就是其对偶系统设计状态反馈阵K的问题。

方法：(1)能观标准型法，适合于3。①首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈

G。②通过线性变换x二7,2无化为能观标准2型，得到5=(无，瓦0。③加入输出反馈增益矩阵

恐二【就，乐，…，£iF，得到闭环系统=(彳+GZ5兄)状态空间表达式，求出对应的闭环特

征多项式/(4)=|幻-(印+GOI。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式

/(/i)=na-v)o⑤将/(㈤与厂(㈤比较，即可得到了=[00,豆,…，瓦1T⑥把对应与

5的4,通过G=7^1=[g0,g1,…,g“_J。⑦进一步画出模拟结构图。

⑵当阶次较低时，〃工3,可直接由反映物理系统的A,c矩阵求状态反馈增益矩阵

G=[go，g「…,g”_J，不通过非奇异变换，使设计工作简单。①首先判断是否完全能观，是，

则存在输出反馈G。②加入从输出到比的反馈增益矩阵G=[g0,品，…,Mi],得到闭环系统

ZG=(A+Gc,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式/(2)=|%/—(A+Gc)\。③由

给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式/=—④将/(㈤与/(/1)比较，

即可得到6=30送#一送〃_/。⑤进一步画出模拟结构图。

三.系统镇定问题

所谓系统镇定，是对受控系统Z°二(AB,C)通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为

渐近稳定。

镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况，它只要求把闭环极点配置在根平面的左侧，而并

不要求将闭环极点严格地配置在期望极点上。

状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐近稳定。

输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中能控能观子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统

是渐近稳定的。

输出到、的反馈实现镇定的充要条件是不能观子系统为渐近稳定。

四.系统解藕问题

1.目的是寻求适当的控制规律，使输入输出相互关联的多变量系统实现每•个输出仅受相应的

一个输入控制，每一个输入也仅能控制相应的一个输出，这样的问题称为解藕问题。

2.定义：若系统Z=(A4c)m维输入m维输出，其传递函数矩阵是一个对角线有理多项式矩

阵，则称该系统是解藕的。

.w”⑸o-

W(s)=C(sl-A)-}B=

_0%”(s)

3.方法：①前馈补偿器解耦：待解耦系统Z。=(A,A,c)的传递函数阵W0(s),在其前面串接一

个前馈补偿器传递函数为W,，(s),使整个系统的传递函数阵为W(s)=叱/(s)Wo(s),满足对角线

有理多项式特点。其中叱/(s)="j(s)W(s)。

②状态反馈解藕。如何设计K和F,使系统从v到y是解藕的。设计步骤。

五.状态观测器

作用；闭环极点的任意配置、系统解藕以及最优控制系统都离不开状态反馈。但状态变量并

不是都能直接检测，有些根本无法检测，这就提出状态观测或状态重构问题。龙伯格提出的状态

观测器理论，解决的状态重构问题，使状态反馈成为一种可实现的控制律。

1.定义：动态系统£以Eo的输入u和输出y作为输入量，产生一组输出量、逼近于x,即

lim|x-x|=0,则称之为I。的一个状态观测器。构造原则：必须是完全能观或不能观子系

/—>00

统是渐近稳定的；£的输出£应以足够快的速度渐近于/；£在结构上尽可能简单(具有尽可能

低的维数)，以便于物理实现。

2.等价性指标

3X=Ax+Bul土=Av+Bu

动态系统E原系统E。

y=cxy=ex

Al

x-x=A(x-£)得到x-x=e(x0-i0)

只要系统是稳定的，即A的特征值具有负实部，就可做到£与1是稳态等价的。

3.重构状态方程

原因：①系统的状态是不能直接量测的，因此很难判断是否有元逼近十X;②小•定能保证

A的特征值均具有负实部。克服这个困难，用对输出量的差值)£的测量代替对状态误差

x—戈的测量，当lim|x—£|=0,有lim|y-g|=lim—戌|=lim|c(x—£)|=()。同时,

/->oo/->oor->00

引入反馈阵G,使系统的特征值具有负实部。

状态重构方框图为p2135.16(a)要求熟练记忆，这种状态观测器称为渐近观测器。

状态观测器方程为屋+8—圮为

±=（A-GC,B,G）

这里的G称为输出误差反馈矩阵。可以证明，如果A-GC的特征值具有负实部，那么状态

误差将逐渐衰减到0,即估计状态£逼近于实际的状态工。逼近的速度取决于G的选择，

即A—GC的特征值的配置。

4.观测器的存在性

对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的。

观测器存在的充要条件是Z。不能观子系统是渐近稳定的。

5.观测器的极点配置

定理：线性定常系统Zo=（A,3,C）,其观测器£=（A—GC,8,G）可以任意配置极点，即具有

任意逼近速度的充要条件是Zo=（4在。）完全能观测。

极点配置方法：（1）能观标准型法，适合于〃23.①首先判断是否完全能观，是，存在观

测器可以任意极点配置。②通过线性变换工=去化为能观标准2型，得到5=（瓦瓦3）。③加

入输出误差反馈阵G=[然，豆，…,瓦"]7',得到闭环系统状态空间表达式

i=（A-Gc）i+Bu+Gy）,求出对应的闭环特征多项式/（⑷耳加—（川―恐。I。④由给定

的期望极点，求出期望的闭环特征多项式/*（㈤=n（4—4”）。⑤将/（团与广（团比较，即可

得到G=[藐，豆，…，瓦1了。⑥把对应与5的I,通过G=E=[g。,©,…,g〃_J。⑦得观

测器方程，t=（A-Gc）£+B〃+Gy或+G（丁一角，进一步画出模拟结构图。

⑵当阶次较低时，〃K3,可由特征值不变原理求状态反馈增益矩阵G=[g0,g1,…,不通

过非奇异变换，使设计工作简单。①首先判断是否完全能观，是，则存在观测器可以任意极点配

置。②引入输出误差反馈矩阵6=凶0,80一，5./，得到观测器系统火=5-6。,伐6）状态空

间表达式t=（A-Gc）£+B〃+G），。③求出对应的闭环特征多项式/（4）=|幻一（A—Gc）|。©

由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式/"（㈤=11（/1一4：）。⑤将/（㈤与r（大）比较，

即可得到6=出0，8|,…,⑤得观测器方程，进一步画出模拟结构图。

5.降维观测器

观测器维数与受控系统相同，称为全维观测器。如果有些状态变量能由输出y直接获得，那

么仅对其余的状

态变量用降维观测器进行重构即可。

步骤：①通过线性变换把状态按能检测性分解。（n-m）维状态变量凡需要重构，m维状态变

量当由直接获得v②对工构造（n-m）维观测器“详细步骤通过实例熟悉.

六.利用状态观测器实现状态反馈的系统（带观测器的状态反馈闭环系统）

1.系统的结构与状态空间表达

结构框图要非常熟悉p221图5.21

前提：受控系统完全能控能观，状态反馈闭环系统和观测器都可以任意极点配置。

「x=Ax+Bu

受控系统Zo=（A8,C）*I

y=ex

式

状态观测渊X。=（A-GC,B.G）x=Ax+Bu^-G（y-y）=（A-GC）x+Gy+Bu大?

y=Cr

式

反馈控制率〃=u+心*3

式

x=Ax+BKx+Bv

整理得整个闭环系统的状态空间表达式i=GCx+（A-GC）x+Gy+Bv也可写成矩阵形式

y=Cx

显然，这是一个2rl维的闭环控制系统。

2.闭环系统的基本性质

（1）分离性复合系统（由观测器构成的状态反馈闭环系统）其特征多项式等于矩阵A+和

A-GC特征多项式的乘积.即闭环系统的极点等于直接状态反馈（A+8K）的极点和状态观

测器（4-GC）的极点总和，且相互独立。所以输出误差反馈阵G和状态反馈阵K可以分别进

行设计。

（2）传递函数矩阵的不变性

可以推出复合系统的传递函数为W（s）=C[sI-（A+BK）]-1B,等于直接状态反馈闭环系统

的传递函数。或者说它与采用观测相反馈无关。

（3）观测器反馈与直接状态反馈的等效性

稳态时，两者等价。

选择K,可以改变闭环系统的极点到期望极点，从而改善系统性能。

选择G,可以改变观测器的极点，从而加速使状态误差衰减到0。一般取观测器的极点比

闭环系统的期望极点（（A+3K）的极点）略负，既保证状态误差有较快的衰减速度，又不致引

人更多的噪声干扰。

3.设计步骤（只给出低阶系统的设计步骤）：

①判断原受控系统的能控性能观性，是完全能控能观，则状态反馈阵K和观测器输出误差反馈阵

G存在，且闭环系统和观测器极点可以任意配置。②设计状态反馈阵K：求A+4K的特征多项

式〃（㈤，由期望的闭环极点得期望的特征多项式//（团，比较系数，从而得到K。③设计观

测器输出误差反馈阵G：求A-GC的特征多项式入（4），由观测器期望的配置极点得期望的特

征多项式右⑷，比较系数，从而得到G。④给出观测器方程即*2式。⑤结合*1式和*3式,

画出相应的模拟结构图。

第六章最优控制

三种设计最优控制系统的方法：古典变分法、极小值原理、动态规划

一.概述

在最优控制系统中，由于受控对象是一个动态系统，所有变量都是时间的函数，所以这是动

态最优化问题。这时目标函数不再是普通的函数，而是时间函数的函数，称为泛函。

在上目标泛函为，基本约束条件是受控对象的状态方程

x=/[%(/),u(r),d，

./是标量泛函数，L标量函数(是矢量u(t),x⑴的函数)，x(t)是n维状态矢量，u⑴是r维控制矢

量C

二.研究最优控制的前提条件

(1)给出受控系统的动态描述，即状态方程连续土=/[/(/),〃")/]离散

x(k+1)=f[x(k),u(k),k]

(2)明确控制作用域

(3)明确初始条件通常。给定，若Mf。)给定，称为固定始端。若尤"0)任意，则称谓自由始

端。

(4)明确终端条件固定终端自由终端可变终端

(5)给出目标泛函即性能指标

N-1

连续离散/=0[x(N)]+2心(——

k=%

等式右边第一项反映对终端性能的要求，称为终端指标函数。第二项L为状态控制过程中对

动态品质及能量或燃料消耗n勺要求等，称为动态指标函数。若不考虑终端指标函数，仅有第二项

则称为拉格郎日型(或积分型)。若仅有第一项，则称为终端型(梅耶型)。

最优控制问题就是在约束条件下寻求最优控制u(l),受控系统在[I。,。]上，从初始状态M0)

转移到终端状态x(。)时，性能指标J取极值。满足条件的u⑴称为最优控制〃*«),这时状态方

程的解称为最优轨线f(/),此时的性能指标J称为最优指标

三.静态最优化问题的解

(1)多元函数的极值J=/(«)这里〃=(%,%，…，“”)7

取极值的必要条件是更二o,取极小值还需满足装＞()海赛矩阵正定。

dudu2

(2)具有等式约束的极值

a嵌入法先从目标函数解出一个变量，代入目标函数，即成为没有目标约束的函数。

b拉格朗口乘子法将约束条件乘以人,与目标函数相加，构成一个新的可调整的没有约束的

多元函数。

目标函数约束条件g(x,〃)=0,新函数"=+丸是与g同维

的列矢量。

AHAHH

目标函数存在极值的必要条件是空=0—=0—?=0

dxdudZ

四.泛函及其极值一一变分法

动态最优控制中的目标函数是一个泛函数，因此动态最优化问题可以归结为求泛函极值问题。

1.变分法概念

在控制系统中，自变量是t,宗量函数是状态矢量X”），因此尢“〃，而

x=f[x,uj],所以，J可以写成/=r人力，是积分型泛函。J的值取决于函数

“（f）,所以J是〃«）的泛函。求最优控制J"）,就是寻求使性能泛函J取极值的

泛函的变分：泛函4M幻]的变分定义为，㈤二＜4y（幻+。协，（x）]

OG4=0

多元函数的变分：#=—J'tji+aSyx,y2+。»2,…，L+，◎'”〕

da0=0

多元函数取极值的必要条件是R=0

2.泛函极值的必要条件一一欧拉方程

求泛函/=P4X,尢小〃的极小值，就是确定工"）使J达到极小值。

九

定理：设曲线无什）的始点为4，0）=/，终点为1（。.）=七，则使性能泛函乂上取

极值的必要条件是：x«）是二阶微分方程0一4（当=0的解。当一且（当=0称为欧

dxdtdxdxdtdx

拉方程。

廿,d.oL.d0dLdx0OLdx0dLdl

其中咨苏）=

dtdxdxdxdtdxdxdtdtdxdt

实例熟悉步骤。欧拉方程是二阶微分方程，求解时有两个常数待定。对固定端点问题，给定

x«o）=Xo，N。）二,•边界条件，可以确定常数。对于自由端点问题，应有横截条件来补足。

dL

=0匹=0

dx%

3.多元泛函的极值条件一一欧拉方程组

X”，无，兀，…，文〃，/M/取极值的必要条件是：毛⑺是二阶

Jro

微分方程喷/勖=0的解。

实例熟悉步骤。p252

4.可变终端问题和综合型性能泛函的情况略

五.用变分法求解连续系统最优控制问题一一有约束条件的泛函极值

前面讨论的是没有约束的泛函极值问题.

有约束条件的泛函极值，解决思路：应用拉格朗口乘子法，构造增广泛函，转化为没有约束

条件的极值问题。

1.问题描述

受控系统的状态方程为、=〃（/）"］,给定初始状态x«o）=Xo,求最优控制小⑺，

在％,。］上使目标性能泛函为J=。次（0）］+『〃〃取得极值。

最优控制是一类条件泛函极值问题，求解时首先要定义哈密顿函数

H=L（x,u,t）+A!f（x,u,t）

2.不同边界状态下的最优捽制必要条件

（1）末态无约束，但末态时间。固定。此时最优控制的必要条件（由欧拉方程推出的）为

8H八dHdH.一,、"、河,，、

=0丸5=--———=x=