新教材适用2025版高考数学一轮总复习练案56第九章统计成对数据的统计分析第三讲成对数据的统计分析

练案［56］第三讲成对数据的统计分析

6A组基础巩固9

一、单选题

1.（2024•广西柳州模拟）依据如下样本数据

X345678

—

y4.02.5-0.50.5-2.03.3

得到了阅历回来方程y=^+a,则（C）

A.a>0,b>0B.水0,b>0

C.a>0,ZXOD.水0,ZKO

［解析］画出散点图，易知选C.

2.（2024•山西吕梁学院附中期中）如图是相关变量x,y的散点图，现对这两个变量

进行线性相关分析，方案一：依据图中全部数据，得到线性向来方程尸=4*+胡，相关系数

为r.：方案二：剔除点（10,21）,依据剩下数据得到线性|可来直线方程y=Z>“+在，相关系

数为四.则（D）

30

27

20

10

51015

A.0<r)<72<lB.0<72<21<1

C.-l<2*)<^<0D.—l<r><?'i<0

［解析］由题可知必y负相关，且剔除点（10,21）后相关性更强.故选D.

3.（2024•沧州七校联考）通过随机询问200名性别不同的高校生是否爱好踢窗子运

动，计算得到统计量/的观测值人心4.892,参照附表，得到的正确结论是（C）

P^X^Xa)0.100.050.025

Xa2.7063.8415.024

A.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

4.（2024•课标I）某校一个课外学习小组为探讨某作物种子的发芽率y和温度双单

位：℃）的关系，在20人不同的温度条件下讲行种子发芽试验，由试验数据（%,跖）（，

1,2,…，20）得到下面的散点图:

由此散点图，在10Z至40°C之间，下面四个回来方程类型中最相宜作为发芽率y和

温度x的阅历回来方程类型的是（D）

A.y=a-\-bxB.y=a+bf

C.y=a+戾'D.y=a+blnx

［解析］视察题中散点图可知，散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数型函数的图

象，故选D.

5.（2024•陕西榆林质检）某公司为了确定下一年投入某种产品的宣扬费，需了解年宣

扬费爪单位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响.现收集了近5年的年宣扬费双单

位：万元）和年销售量近单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回来

方程为8.2,则下列结论错误的是（C）

X4681012

y1571418

A.x,y之间呈正相关关系

B.6=2.15

C.该回来直线肯定经过点（8,7）

D.当此公司该种产品的年宣扬费为20万元时，预料该种产品的年销售量为34800件

m—4+6+8+10+12—1+5+7+14+18”土心

［解析］因为、=-------5-------=8,y=-------5-------=%所以该回来直线

肯定经过点（8,9）,故9=86—8.2,解得。=2.15,即A,B正确，C不正确；将x=20代入y

=2.15%—8.2,得y=34.8,故当此公司该种产品的年宣扬费为20万元时，预料该种产品

的年俏售量为34800件，D正确.

6.（2024-山东“学情空间”区域教研共同体联考）已知变量x,y的关系可以用模型y

其中。为自然对数的底数）进行拟合，设z=ln八其变换后得到一组数据如下：

X46781()

z23456

由上表可得线性回来方程z=0.7x+a,则当*=12时;预料y的值为（D）

A.9.3B.e93

7.5

C.7.5Dn.e

rztn+rT,,-4+6+7+8+10—24-3+4+5+6

［解析］由表格数据计算可r知：X=-------3-------=7,z=-5—=4.

将x,z代入z=0.7x+a,解得a=-0.9.

所以z=0.7x-().9.

**4

所以尸ez=ea7i>所以当*=12时，

y=e°c79=e7.5.故逃D

二、多选题

7.(2024•山东师大附中期中)已知变量x,y之间的阅历回来方程为y=7.6—0.4筋

且变量x,y的数据如表所示，则下列说法正确的是(BCD)

X681012

y6m32

A.变量刈，之间呈正相关关系

B.变量x,y之间呈负相关关系

C.勿的值等于5

D.该回来直线必过点⑼4)

［解析］由阅历回来直线必过样本点中心(9,旦产)即红产=7.6—0.4X9,解得加

=5,故C正确；乂〃=一。.4<(),正确，A错误；该回来直线肯定过(9,4).故选BCD.

8.为了解阅读量多少与华蜜感强弱之间的关系，一个调查机构依据所得到的数据，绘

制了如下的2X2列联表(个别数据暂用字母表示)：

华蜜感强华蜜感弱总计

阅读量多m1872

阅读量少36n78

总计9060150

计算得:*=12.981,参照下表:

a0.100.050.0250.0100.0050.001

X。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

对于下面的选项，正确的为(BC)

A.依据小概率值。=0.()1()的独立性检验，可以认为“阅读量多少与华蜜感强弱无

关，，

B.勿=54

C.依据小概率值a=0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下

认为“阅读量多少与华蜜感强弱有关”

D.〃=52

［解析］VX2^12.981,〃（-26.635）=0.01,P{x^l.879）=0.005,

又12.981>6.635,12.981>7.879,

・•・依据小概率值。=0.010的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认

为“阅读量多少与华蜜感强弱有关”，依据小概率值Q=0.005的独立性检验，可以在犯

错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与华蜜感强弱有关"，・・・A错，C对；•・•

/77+36=90,184-/7=60,.*m=54,〃=42,...B对，D错.故选BC.

9.（2024•广东珠海模拟）已知由样本数据（笛，外）行=1,2,3,…，8）,组成的一个样

本，得到回来直线方程为y=2x-0.4且；=2,去除两个歧义点（一2,7）和（2,—7）后，得

到新的回来直线的斜率为3.则下列说法正确的是（ABD）

A.相关变量x,y具有正相关关系

B.去除歧义点后的回来直线方程为尸3x—3.2

C.去除歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小

D.去除歧义点后，样本（4,8.9）的残差为0.1（附：残差。,=匕一切）

［解析］由回来方程的斜率知变量心y具有正相关关系，故A正确；由}=2代入y=

——2X88—

2x—0.4得y=3.6,・••去除两个歧义点（一2,7）和（2,—7）后，得到新的才=二一=可，y

OC

•.•得到新的回来直线的斜率为3,

L--8

・•・由y—34=4.8—3><鼻=一3.2,

O

，去除歧义点后的回来直线方程为尸3x-3.2,故B正确；

由于斜率为3>1,故用关变量刈y具有正相关关系且去除歧义点后，由样本估计总体

的y值增加的速度变大，故C错误：

由匕=38—3.2=3Xl-3.2=8.8得e,=%一%=8.9-8.8=0.1.故D正确.故选ABD.

10.（2024•山东烟台期末）某高校为了解学生对学校食堂服务的满足度，随机调查了

50名男生和5（）名女生，每位学生对食堂的服务给出满足或不满足的评价，得到如图所示的

列联表.经计算♦的观测值箝比4.762,则下列结论正确的为（ACD）

满足不满足

男3020

女4010

0.1000.0500.010

Xa2.7063.8416.635

3

A.该学校男生对食堂眼务满足的概率的估计值飙

B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满足

C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

D.在犯错概率不超过5%的前提下认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

［解析］由表易知男生比女生对食堂服务满足率低，故B错；又

100X30X10-40X202十本从田

―70X30X50X50~乂・8>3.841,'ACD正确.故选ACD.

三、填空题

11.（2024•吉林市五地六校适应性考试）公司对2024年1〜4月份的获利状况进行了数

据统计，如下表所示:

月份x1234

利润〃万元566.58

利用线性回来分析思想，预料出2024年8月份的利润为11.6万元，则y关于x的线性

回来方程为？=0.95x+4.

［解析］设线性回来方程为尸力x+a,

因为亍=号，

Zo

51

3b+a=不

由题意可得,解得b=0.95,<2=4,

186+5=11.6,

即y=0.95x+4.

12.（2024•黑龙江大庆试验中学模拟）通过市场调查知某商品每件的市场价爪单位;

元）与上市时间近单位：天）的数据如下:

上市时间x天41036

市场价y元905190

依据上表数据，当aWO时，下列函数：

®y=ax-\rh②尸aV+bx+c；③尸alogd中能恰当的描述该商品的市场价y与上市

时间才的改变关系的是（只需写出序号即可）

［解析］依据表格供应数据可知，y随*先变小，后变大，即至少有递减和递增两个过

程，而①③对应的函数为单调函数，不符合题意.②为二次函数，有递减和递增两个区

间，a>0时，能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的改变关系.故答案为②.

13.某篮球联赛期间，某一电视台对年龄高于30岁和不高于30岁的人是否喜爱甲队进

行调查，对高于30岁的调查了45人，不高于30岁的调查了55人，所得数据绘制成如下列

联表：

年龄

是否喜爱中队

不喜爱甲队喜爱甲队合计

高于30岁PQ45

不高于30岁154055

合计p+15什40100

3

若工作人员从调查的全部人中任取一人，取到喜爱甲队的人的概率为『依据小概率值

4=0.005的独立性检验，推断年龄与是否喜爱甲队（填“有”或“无”）关联.

附-x=------------.

a+bc~\-曲+cb+(/

a0.0500.0100.0050.001

3.8416.6357.87910.828

g+40_3

［解析］由题知100一;解得g=2O,〃=25,

/+g=45，

g”10025X40—15X2（）22450°~…

所以*2=40X60X45X55=297249>7-879»

所以有99.5席的把握认为年龄与是否喜爱甲队有关.

四、解答题

14.（2024•广东四校联考）每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标记

之一就是有良好的睡眠，某机构为了调查参与体育熬炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄

层次的常参与体育熬炼和不常参与体育熬炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得

到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.

若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的

列为“睡眠不足”，请依据已知条件完成下列2X2列联表，并依据小概率值。=0.()1的独

立性检验，分析“睡眠足”与“常参与体育熬炼”是否有关？

睡眠足睡眠不足总计

常参与体育熬炼人员

不常参与体育熬炼人员

总计

［解析］依据频率分布直方图可得：

常参与体育熬炼且睡眠足的人数为：

100X4X(0.04254-0.0625+0.0625+0.02)=75,

常参与体育熬炼且睡眠不足的人数为：100—75=25,

不常参与体育熬炼且睡眠足的人数为：

100X4X(0.0725+0.035+0.015+0.015)=55,

不常参与体育熬炼且睡眠不足的人数为：

100-55=45,

绘制列联表如下:

睡眠足睡眠不足总计

常参与体育熬炼人员7525103

不常参与体育熬炼人员5545103

总计13070203

200X75X45-25X552

=100X100X130X70791>6.635,

因此有99%的把握认为“睡眠足”与“常参与体育熬炼”有关.

15.(2024•河北省阶段测试)某新型智能家电在网上销售，由于安装和运用等缘由，

必需有售后服务人员上门安装和现场教学示范操作，所以每个销售地区需配备若干售后服

务店，月地区通过几个月的网上销售，发觉每月利润(万元)与该地区的售后服务店个数有

相关性，下表中才表示该地区的售后服务店个数，y表示在有x个售后服务店状况下的月利

润额.

x（个）23456

y（万元）1934465769

（1）求y关于A■的线性回来方程；

（2）假设x个售后服务店每月需消耗资金2=3.8+0.51（单位：万元），请结合（1）中的

线性回来方程，估算力地区开设多少个售后服务店时，才能使力地区每月所得利润平均到每

个售后服务店最高.

附：回来直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

参考数据：2>y=l023.

/-I

［解析］(1)依据题意，可得：~7=2+3+?+5+9=4,

□

—19+34+46+57+69什

y=---------------5--------------=45,

E(X-x)(修一y)=Z(X,y-xy-Xiy+xy)

/=!/=!

5__

=£必必—5xy=1023—5X4X45=123,

£(x—x/=10,

/=l

・・・6=12.3,a=45-12.3X4=-4.2,

回来直线方程为y=12.3>—4.2.

(2)每月的净利润为z=y-1=12.3x-4.2-(0.5x+3.8)=-0.5"12.3A—8,

其平均利润为^=12.3一修+,卜12.3—4=8.3(万元),

当且仅当x=4时，取等号.

所以估算力地区开设4个售后服务店时，才能使力地区每月所得利润平均到每个售后服

务店最高.

6B组实力提升9

1.（多选题）下列说法正确的是（CD）

A.设有一个回来方程尸=3-5人变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位

B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1

C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

D.在线性回来模型中，相关指数尸越接近于1,说明回来的效果越好

［解析］A选项，因为y=3-5才，所以变量x增加一个单位时，y平均削减5个单位，

故A错：

B选项，线性相关性具有正负，相关性越强，则线性相关系数r的肯定值越接近于1,

故B错；

C选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟

合精度越高，故C正确；

D选项，在线性回来模型中，相关指数"越接近于：，说明模型拟合的精度越高，即回

来的效果越好，故D正确.故选CD.

2.（多选题）为了增加学生的身体素养，某校将冬天长跑作为一项制度固定卜来，每天

大课间例行跑操.为了调查学生喜爱跑步是否与性别有关，探讨人员随机调杳了相同人数

的男、女学生，发觉男生中有80%喜爱跑步，女生中有40%不喜爱跑步，且有95%的把握推

断喜爱跑步与性别有关，但没有99%的把握推断喜爱跑步与性别有关，则被调查的男、女

学生的总人数可能为（AB）

0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

A.120B.130

C.240D.250

［解析］依题意，设男、女学生的人数均为5X（X£N）,则被调查的男、女学生的总人

数为10尤建立如下2X2列联表：

喜爱跑步不喜爱跑步总计

男4%X5x

女3x2x5x

总计7x3x10x

则”=5—义5xX3>X7>=可'又3,841〈万-W6.635,

所以80.661<1OxW139.335.故选AB.

3.（2024•新高考I）为加强环境爱护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量

进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：pg/m3),得下表:

S02

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估计事务”该市一天空气中PM2.5浓度不超过7E,且S6浓度不超过150”的概率:

⑵依据所给数据，完成下面的2X2列联表：

S02

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

(3)依据(2)中的列联表，推断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与S0?

浓度有关.

nad-bt

a+beA-曲+cb-\-cf

0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

［解析］(1)依据抽查数据，该市100天的空气中FM2.5浓度不超过75,且S0?浓度不

超过15()的天数为32+18+6+8=64,因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?

64

浓度不超过150的概率的估计值为砺=0.64.

(2)依据抽查数据，可得2X2列联表:

SO，

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]6416

(75,115]1010

(3)依据(2)的列联表得

2100X64X10-16X102

系=--------------------弋484

80X20X74X267°

由于7.484>6.635=为@。，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?浓度有

关.

4.(2024•山东师范高校附中模拟预料)某探讨所为了探讨某种昆虫的产卵数y与温度

x之间的关系，现将收集到的温度％和一组昆虫的产卵数2,…，6)的6组观测数

据作J'初步处理，得到如图的散点图及一些统计数据.

/

§90

<80

70

60

50

40

30

20

10

2030

温

35馁

经计算得到以下数据:

__]6_166____6__

x=己2必=26,y=-^y,=33,Z（%-x）（必-y）=557,£（x—x）2=84,

/"I7-17—1/"I

6_6

£（%—y）2=3930,£（%—yM=236.64.

r-l7-1

（1）若用线性回来模型来拟合数据的改变关系，求y关于*的回来方程尸以+a（结果精

确到0.1）；

（2）若用非线性回来模型来拟合数据的改变关系，求得y关于x的回来方程;nO.OGe^30

3\且相关指数为"=0.9572.

①试与（1）中的回来模型相比，用下说明哪种模型的拟合效果更好；

②用拟合效果好的模型预料温度为35℃时该组昆虫的产卵数（结果四舍五入取整数）.

附参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（・小»）,（如㈤，…，（*“，G，

n__

EXLxy-y

--/-1八

其回来直线尸"+a截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：b=------------,a=

V〉,X—-X2

/=1

y-bx，

2y-yf

相关系数："=1-----------.参考数据：e&戢3~3167.

Zy/-72

/=1

6__

LXLxy-y

［解析］(D由题意可知力=----------------=吟七6.6,

ZXLX2

a=y~bx=33-6.6X26=-138.6,

・•・y关于x的线性回来方程是尸G.GA—138.G.

⑵①用指数回来模型拟合y与x的关系，相关指数〃比0.9672,

£…2

线性回来模型拟合y与x的关系，相关指数〃=1一二-------=1一瓷算20.9398,

6Jy15U

2修一丁

2=!

且0.9398<0.9672,

.••用y=0.06/2303'比y=6.6*—138.6拟合效果更好.

②/=0.06/加3'中，令x=35,

则尸0.O6e02303x35=0.06e80M3^0.06X3167比190,

故预料温度为35