江苏省南京市燕子矶中学2024-2025学年高二数学第二学期期末经典模拟试题含解析

江苏省南京市燕子矶中学2024-2025学年高二数学第二学期期末经典模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．恰有一个红球与恰有二个红球D．至少有一个红球与至少有一个白球2．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，，，则球的体积为（）A． B． C． D．3．若函数在其定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．5．若，则等于（）A． B． C． D．6．函数f(x)=3A． B． C． D．7．某样本平均数为，总体平均数为，那么（）A． B． C． D．是的估计值8．把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（）A． B． C． D．9．下列命题:①在一个列联表中,由计算得,则有的把握确认这两类指标间有关联②若二项式的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中的系数是③随机变量服从正态分布,则④若正数满足，则的最小值为其中正确命题的序号为()A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④10．若函数在区间上为减函数，则的取值范围为（）A． B． C． D．11．若满足约束条件，则的最大值为（）A．9 B．5 C．11 D．312．函数的大致图象为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球，，，共有种取法，在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和个白球，共有种取法，即有等式成立，试根据上述思想，化简下列式子：________，14．在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，D是AB的中点，若CD=1且(a-15．将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当等于__________时，方盒的容积最大．16．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为.（1）将极坐标方程化为直坐标方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值.18．（12分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：（1）随机变量ξ的分布列；（2）随机变量ξ的均值．19．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证：函数和在公共定义域内，恒成立；（3）若存在两个不同的实数，，满足，求证：．20．（12分）如图，平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.21．（12分）已知函数（1）计算；（2）若在上单调递减，求实数的范围22．（10分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.2、B【解析】

根据所给关系可证明，即可将三棱锥可补形成长方体，即可求得长方体的外接球半径，即为三棱锥的外接球半径，即可得球的体积.【详解】因为平面BCD，所以，又AB=4，，所以，又，所以，则．由此可得三棱锥可补形成长方体如下图所示：设长方体的外接球半径为，则，所以球的体积为，故选:B.本题考查了三棱锥外接球体积的求法，将三棱锥补全为棱柱是常用方法，属于中档题.3、B【解析】分析：求出导函数，求得极值点，函数在含有极值点的区间内不单调．详解：，此函数在上是增函数，又，因此是的极值点，它在含有的区间内不单调，此区间为B．故选B．点睛：本题考查用导数研究函数的极值，函数在不含极值点的区间内一定是单调函数，因此此只要求出极值点，含有极值点的区间就是正确的选项．4、A【解析】分析：先构造函数，再根据函数单调性解不等式.详解：令，因为，所以因此解集为，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等5、D【解析】

中最大的数为，包含个数据，且个数据是连续的正整数，由此可得到的表示.【详解】因为，所以表示从连乘到，一共是个正整数连乘，所以.故选：D.本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：的运用.6、B【解析】

取特殊值排除得到答案.【详解】f(x)=3x故答案选B本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.7、D【解析】

统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值.【详解】解：样本平均数为，总体平均数为，

统计学中，利用样本数据估计总体数据，

∴样本平均数是总体平均数的估计值.

故选：D.本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题.8、B【解析】

把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9人中选一个正组长，甲被选定为正组长的概率，与组里每个人被选中的概率相等．【详解】由题意知，把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9个人中选一个正组长，∴甲被选定为正组长的概率是．故选B．本题考查了等可能事件的概率应用问题，是基础题目．9、B【解析】

根据可知①正确；代入可求得，利用展开式通项，可知时，为含的项，代入可求得系数为，②错误；根据正态分布曲线的对称性可知③正确；由，利用基本不等式求得最小值，可知④正确.【详解】①，则有的把握确认这两类指标间有关联，①正确；②令，则所有项的系数和为：，解得：则其展开式通项为：当，即时，可得系数为：，②错误；③由正态分布可知其正态分布曲线对称轴为，③正确；④，，（当且仅当，即时取等号），④正确.本题正确选项：本题考查命题真假性的判断，涉及到独立性检验的基本思想、二项展开式各项系数和与指定项系数的求解、正态分布曲线的应用、利用基本不等式求解和的最小值问题.10、B【解析】

对参数进行分类讨论，当为二次函数时，只需考虑对称轴和区间的位置关系即可.【详解】当时，，满足题意；当时，要满足题意，只需，且，解得.综上所述：.故选：B.本题考查由函数的单调区间，求参数范围的问题，属基础题.11、A【解析】

先作出不等式组所表示的可行域，然后平移直线，观察直线在轴上的截距取最大值时对应的最优解，将最优解代入函数即可得出答案。【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，点的坐标为，平移直线，当该直线经过点，它在轴上的截距取最大值，此时，取最大值，即，故选：A.本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，解题思路就是作出可行域，平移直线观察在坐标轴上的截距变化寻找最优解，是常考题型，属于中等题。12、D【解析】

判断函数的奇偶性和对称性，利用的符号进行排除即可．【详解】，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，排除，故选：．本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

在式子中，从第一项到最后一项分别表示：从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，从装有球中取出个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．【详解】在中，从第一项到最后一项分别表示：从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，故从装有球中取出个球的不同取法数.故答案为：本题结合考查推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．14、15【解析】

由题意及正弦定理得到a2+b2-c2=ab2，于是可得cosC=14，sin【详解】如图，设∠CDA=θ，则∠CDB=π-θ,在ΔCDA和ΔCDB中，分别由余弦定理可得cosθ=两式相加，整理得c2∴c2由(a-12b)整理得a2由余弦定理的推论可得cosC=a2把①代入②整理得a2又a2+b所以4≥2ab+ab2=所以SΔABC即ΔABC面积的最大值是155故答案为155本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．15、【解析】

先求出方盒容积的表达式，再利用导数根据单调性求最大值.【详解】方盒的容积为：当时函数递减，当时函数递增故答案为本题考查了函数的最大值的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.16、[－1，＋∞)【解析】

对于，不等式恒成立，等价于的图象在的图象上方，根据数形结合可求出实数的取值范围.【详解】不等式f(x)≥g(x)恒成立如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．故答案为[－1，＋∞)．本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）最大值为，最小值为.【解析】

（1）利用两角差的余弦值将圆的极坐标方程展开，并由，代入可得出圆的普通方程，并将圆的方程表示为标准方程，可得出圆的参数方程；（2）设，，代入，利用三角恒等变换思想将代数式化简，可得出的最大值和最小值.【详解】（1），即，即，所以，圆的普通方程为，其标准方程为，因此，圆的参数方程为（为参数）；（2）设，，则，的最大值为，最小值为.本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，以及圆的参数方程的应用，解题时要熟悉圆的参数方程与极坐标形式，并熟悉圆的参数方程的应用，结合三角恒等变换思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18、(1)见解析；(2)【解析】

（1）一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由ξ～B，能求出Eξ．【详解】（1）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故，即有，.由此可得的分布列为012345（2），.本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的合理运用．19、（1）增区间为,减区间为；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）构造函数，对函数求导，得到得到导函数的正负，进而得到单调区间和极值；（2）构造函数,对函数和求导研究函数的单调性进而得到函数的最值，使得最小值大于2即可；（3）要证原式只需要证，故得到即证：，变量集中设即可,转化为关于t的不等式.详解：(1)函数的定义域为,,故当时,,当时,,故函数的单调增区间为,单调减区间为;(2)证明:函数和的公共定义域为,,设,则在上单调递增,故;设,当时有极大值点,;故;故函数和在公共定义域内,.(3)证明:不妨设,由题意得,,;所以;而要证,只需证明;即证明;即证明;即证明,;令,则;即证明;设;则,故函数在区间上是增函数,所以,即;所以不等式成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先