云南省玉溪市峨山县三中2025届高二数学第二学期期末考试试题含解析

云南省玉溪市峨山县三中2025届高二数学第二学期期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是（）A．-40 B．-20 C．20 D．402．已知函数，若方程有三个实数根，且，则的取值范围为（）A． B．C． D．3．已知，则的大小关系为()A． B． C． D．4．已知高为3的正三棱柱ABC-A1B1C1的每个顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，则此正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为()A． B． C． D．185．直线与圆有两个不同交点的充要条件是（）A． B． C． D．6．设，，则与大小关系为()A． B．C． D．7．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程至多有一个实根”时，则下列假设中正确的是（）A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根C．方程恰好有两个实数根 D．方程至多有两个实根8．命题；命题.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或9．正方体中，直线与平面所成角正弦值为（）A． B． C． D．10．函数的极小值点是（）A．1 B．（1，﹣） C． D．（﹣3，8）11．甲乙丙丁4名师范院校的大学生分配至3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，且甲、乙两人不能分配在同一所学校，则不同分配方法数为（）A．30 B．42 C．50 D．5812．已知奇函数是定义在上的减函数，且，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足x≥1y≥-1x+y≥3，则z=x+2y14．在四面体中，，已知，，且，则四面体的体积的最大值为_______.15．用一块半径为2分米的半圆形薄铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，若衔接部分忽略不计，则该容器的容积为________立方分米.16．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，曲线在点处的切线平分圆C：的周长.（1）求a的值；（2）讨论函数的图象与直线的交点个数.18．（12分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，过点且倾斜角为的直线与交于不同的两点.（1）求曲线的普通方程；（2）求的中点的轨迹的参数方程（以为参数）.19．（12分）设点F1，F2分别是椭园C：x22t2+y2t2=1(t>0)的左、右焦点，且椭圆C上的点到F2(1)求椭圆C的方程；(2)当F1N⋅(3)当|F2N20．（12分）深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：球队胜球队负总计甲参加22b30甲未参加c12d总计30en（1）求b,c,d,e,n的值，据此能否有97.7%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：0.2,0.5,0.2,0.1，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：0.4,0.2,0.6,0.2.则：当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828.21．（12分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目，，的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过，，每个项目测试的概率都是.（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的概率分布和数学期望.22．（10分）已知函数在处取得极值．确定a的值；若，讨论的单调性．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由题意先求得a＝﹣1，再把（2x+a）5按照二项式定理展开，即可得含x3项的系数．【详解】令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二项式（x+1）（2x+a）5＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展开式中含x3项的系数是﹣40+80＝40故选D．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．2、B【解析】

先将方程有三个实数根，转化为与的图象交点问题，得到的范围，再用表示，令，利用导数法求的取值范围即可.【详解】已知函数，其图象如图所示：因为方程有三个实数根，所以，令，得，令，所以，所以，令，所以，令，得，当时，，当时，，所以当时，取得极小值.又，所以的取值范围是：.即的取值范围为.故选：B本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.3、A【解析】分析：由，，，可得，，则，利用做差法结合基本不等式可得结果.详解：，，则，即，综上，故选A.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4、C【解析】

根据体积算出球O的半径r,再由几何关系求出地面三角形的边长，最后求出其体积即可。【详解】因为球O的表面积为，所以球O的半径又因高为3所以底面三角形的外接圆半径为，边长为3底面三角形面积为正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为本题考查正三棱柱的体积公式，考查了组合体问题，属于中档题。5、A【解析】

由已知条件计算圆心到直线的距离和半径进行比较，即可求出结果【详解】圆，圆心到直线的距离小于半径，由点到直线的距离公式：，，故选本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意将其转化为圆心到直线的距离，然后和半径进行比较，较为基础．6、A【解析】,选A.7、C【解析】

由二次方程实根的分布，可设方程恰好有两个实根．【详解】证明“设a，b为实数，则方程至多有一个实根”，由反证法的步骤可得第一步假设方程恰好有两个实根，故选：C．本题考查反证法的运用，注意解题步骤，以及假设及否定的叙述，考查推理能力，属于基础题．8、B【解析】

首先解出两个命题的不等式，由为假命题，为真命题得命题和命题一真一假．【详解】命题，命题．因为为假命题，为真命题．所以命题和命题一真一假，所以或，选择B本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题．9、C【解析】

作出相关图形，设正方体边长为1，求出与平面所成角正弦值即为答案.【详解】如图所示，正方体中，直线与平行，则直线与平面所成角正弦值即为与平面所成角正弦值.因为为等边三角形，则在平面即为的中心，则为与平面所成角.可设正方体边长为1，显然，因此，则，故答案选C.本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想象能力.10、A【解析】

求得原函数的导数，令导数等于零，解出的值，并根据单调区间判断出函数在何处取得极小值，并求得极值，由此得出正确选项.【详解】，由得函数在上为增函数，上为减函数，上为增函数，故在处有极小值，极小值点为1.选A本小题主要考查利用导数求函数的极值点，属于基础题.11、A【解析】

根据题意将4人分成3组，再进行排列，两步完成.【详解】第一步，将甲乙丙丁4名同学分成3组，甲、乙两人不在同一组，有5种分法第二步,将3组同学分配到3所学校，有种分法所以共有种分配方法故选：A解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配.12、C【解析】

根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系.【详解】，即：又是定义在上的减函数又为奇函数，即：本题正确选项：本题考查根据指数函数、对数函数单调性，结合奇偶性比较函数值的大小关系，关键是能够通过函数得单调性，利用临界值的方式得到自变量之间的大小关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

画出不等式组表示的可行域，将z=x+2y变形为y=-x2+【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由z=x+2y可得y=-x平移直线y=-x2+z2，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线y=-由x+y=3y=-1解得x=4所以点A的坐标为(4,-1)．所以zmin故答案为1．利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中z的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．14、【解析】

作与，连接，说明与都在以为焦点的椭球上，且都垂直与焦距，，取BC的中点F，推出当是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可.【详解】解：作与，连接，则平面，，由题意，与都在以为焦点的椭球上，且都垂直与焦距且垂足为同一点E，显然与全等，所以，取BC的中点F，，要四面体ABCD的体积最大，因为AD是定值，只需三角形EBC面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当是等腰直角三角形时几何体的体积最大，，，，所以几何体的体积为：,故答案为：.本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题.15、【解析】

先由题意得到半圆形的弧长为，设制作的圆锥形容器的底面半径为，求出底面半径与圆锥的高，从而可求出结果.【详解】半径为2分米的半圆形的弧长为，设制作的圆锥形容器的底面半径为，则，则；则圆锥形容器的高为，所以容器的容积为.故答案为：本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于常考题型.16、【解析】

利用侧面展开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之比.【详解】设正方形的边长为，圆柱的底面半径为，则，，所以圆柱的全面积为，故侧面积与全面积之比为，填.圆柱的侧面展开图是矩形，其一边的长为母线长，另一边的长为底面圆的周长，利用这个关系可以得到展开前后不同的几何量之间的关系.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）求得曲线在点处的切线，根据题意可知圆C的圆心在此切线上，可得a的值.（2）根据得出极值，结合单调区间和函数图像，分类讨论的值和交点个数。【详解】（1），∴，，所以曲线在点处的切线方程为由切线平分圆C：的周长可知圆心在切线上，∴，∴（2）由（1）知，，令，解得或当或时，，故在，上为增函数；当时，，故在上为减函数.由此可知，在处取得极大值在处取得极小值大致图像如图：当或时，的图象与直线有一个交点当或时，的图象与直线有两个交点当时，的图象与直线有3个交点.本题考查利用导数求切线，研究单调区间，考查数形结合思想求解交点个数问题，属于基础题.18、（1）（2）（为参数，）.【解析】

（1）根据变换原则可得，代入曲线的方程整理可得的方程；（2）写出直线的参数方程，根据与曲线有两个不同交点可确定倾斜角的范围；利用直线参数方程中参数的几何意义和韦达定理得到，求得后，代入直线参数方程后即可得到所求的参数方程.【详解】（1）由得：，代入得：，的普通方程为.（2）由题意得：的参数方程为：（为参数）与交于不同的两点，即有两个不等实根，即有两个不等实根，，解得：.设对应的参数分别为，则，且满足，则，.又点的坐标满足的轨迹的参数方程为：（为参数，）.本题考查根据坐标变换求解曲线方程、动点轨迹方程的求解问题；求解动点轨迹的关键是能够充分利用直线参数方程中参数的几何意义，结合韦达定理的形式求得直线上的动点所对应的参数，进而代入直线参数方程求得结果.19、（1）x28+【解析】

(1)根据椭圆的简单性质可得a-c=2t-t=22-2，求解(2)可设N(22cosθ,2sinθ)(3)向量F1M与向量F2N平行，不妨设λF1M=F2N，设M(【详解】(1)点F1、F2分别是椭圆C：x22t∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为22-2解得t=2，∴椭圆的方程为x2(2)由(1)可得F1(-2,0)，F2(2,0可设N(22∴F1N∵F1N解得cosθ=0，sinθ=1，∴△F1N(3)∵向量F1M与向量F2∵|F2N|-|F设M(x1,∴λ(x1+2)=x∵x22∴[λx∴4λ(λ+1)x1=(1-3λ)(λ+1)∴y12∴|F1M|=λ+12λ，∴(λ-1)⋅λ+12∴x1=1λ-3=-8∴kF1M=23-0-83∴直线F2N的方程为y-0=-(x-2)，即为本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质，向量的运算，直线斜率，属于难题．20、(1)有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.(2)见解析.【解析】分析：（1）根据表中的数据，求得的值，进而求得的值，利用附表即可作出结论；（2）设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋”；表示“乙球员担当后卫”；表示“乙球员担当守门员”；表示“球队输掉某场比赛”，利用互斥事件和独立事件的概率公式